2.1.1 线性方程组(克莱姆法则)

x3 =
a31
a11
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 四元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a13 x3 + a24 x4 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3 a x + a x + a x + a x = b 41 1 42 2 43 3 44 4 4
−1
由于 det A ≠ 0 −1 A 可逆， 故Ａ可逆， 存在 −1 −1 由 A AX = A B
A −1 B 得X=
因此,方程组(2.1) 因此,方程组(2.1) 有解, 且解必为 有解, −1 X=A B 存在唯一. 从而 解存在唯一.
X = A B 是方程组( 2.1 )的唯一解. 是方程组( 的唯一解. )的唯一解
a22 a11 x1 + a12 x2 = b1 − a12 a21 x1 + a22 x2 = b2
− a21 a11 x1 + a12 x2 = b1
即当
a11 a 21 a12 a 22
a11 a21 x1 + a22 x2 = b2
(a11a22−a12a21) x1 = b1a22−b2a12 (a11a22−a12a21) x2 = b2 a11 −b1a21
三元线性方程组
x1 =
b1 a12 b2 a22 b3 a32
a13 a23 a33
a11 b1 a13 a21 b2 a23
a11 a21
a12 b1 a22 b2 a32 b3
a12 a13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x2 =
a31 b3 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
两个条件: 三个结论: 两个条件: 三个结论:
证
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 将方程组 a x + a x + ... + a x = b 21 1 2 ( 2.1) 22 2 2n n M an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
设有两个 n 元线性方程组
如果方程组(Ⅰ) 都是方程组(Ⅱ)的解; (Ⅱ)的解 如果方程组(Ⅰ)的每个解 都是方程组(Ⅱ)的解; (Ⅰ)的解 方程组(Ⅱ)的每个解, 都是方程组(Ⅰ)的解, 同时 方程组(Ⅱ)的每个解, 都是方程组(Ⅰ)的解, 同解. 则称这两个方程组 同解.
§２.１线性方程组 首先讨论： 首先讨论： 未知量的个数 = 方程的个数 的方程组. 的方程组.
b1 a13 a11 a12 a13 b2 a23 a21 a22 a23
a31 a32 b3 a41 a42 b4 a11 a12 a21 a22 a33 a33 a43 a43 a13 a23
a31 a32 a33 a41 a42 a43
b1 a14 a24 b2 a34 b3 a44 b4 a14 a24 a34 a44
a12 a22
x2 =
a11 a21 a11 a21
b1 b2 a12 a22
克莱姆(Cramer) (Cramer)法则 一、克莱姆(Cramer)法则 二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
a11 a12 方程组有唯一解： 当 det A = a a22 ≠0 时,方程组有唯一解： 21 a11 b1 b1 a12 a21 b2 det B2 b2 a22 det B 1 = x2 = x1 = = det A a11 a12 a11 a12 det A a21 a22 a21 a22
定理2.1(克莱姆法则) 定理2.1(克莱姆法则) 2.1(克莱姆法则 线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 M an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
这一结果可以推广到一般的含有n 这一结果可以推广到一般的含有n个未知量 含有 方程的线性方程组. n个方程的线性方程组.
a11 a12 a13 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 当 det A = a21 a22 a23 ≠ 0 a31 a32 a33 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 方程组有唯一解： 时, 方程组有唯一解： 31 1 32 2 33 3 3
det B1 =
b1 a12 b2 Βιβλιοθήκη Baidu22 M M bn a n2
... a1n ... a2n M ... ann
a11 det B2 = a21 M an1
b1 a13 b2 a23
M M bn an3
... a1n ... a2n ... M ... ann
a11 a12 ... b 当 det A ≠ 0 时, 有且仅有唯一解： 有且仅有唯一解： 1 a21 a22 ... b2 det Bn det B1 det B2 ... xn = x1 = x2 = det Bn= det A det A det A M M M an1 an2 ... bn
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b (Ⅰ) 21 1 22 2 2n n 2 M am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm c11 x1 + c12 x2 + L + c1n xn = d1 c x + c x +L + c x = d 2n n 2 与 21 1 22 2 (Ⅱ) M ck 1 x1 + ck 2 x2 + L + ckn xn = d k
表为矩阵形式
a11 a12 ... a1n x1 b1 a a22 ... a2 n x2 b2 21 = M M M M M a an 2 ... ann xn bn n1
↑

≠0 时
当 a11a22 − a12 a 21 ≠ 0 时，
b1a22 −b2a12 x1 = a11a22 − a12a21 b2a11 −b1a21 x2 = a11a22 − a12a21
b1
方程组有唯一解： 方程组有唯一解：
a12 a 22 b2
x1 =
a11 a21
第二章 线性方程组 线性方程组的一般形式为
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 M am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
方程组的求解问题: 本章讨论 方程组的求解问题: 何时有解？何时无解？ 1) 解的存在性 ( 何时有解？何时无解？) 怎样求解？ 2) 解的求法( 怎样求解？) 3) 解的个数 ( 有多少个解？) 有多少个解？ 4) 解的结构 ( 解与解之间的关系 )
2 j 其中det B1j是将系数行列式detA 中第 1 列元素对应 2是将系数行列式detA 后得到的行列式. 地换为 地换为方程组的常数项 b1 , b2 ,..., bn 后得到的行列式.
( j = 1, 2,..., n )
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a11 a12 ... a1n a x + a x + ... + a x = b a a22 ... a2 n 21 1 22 2 2n n 2 d et A = 21 M M M M an1 an 2 ... ann an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
即 AX = B 阶方阵. A是n阶方阵.
A
↑
↑
X
B
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ( 2.1) M an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn a11 a12 ... a1n x1 b1 a x b a22 ... a2 n 21 2 = 2 M M M M an1 an 2 ↑ ... ann x n bn A AX = B
a11 a12 a13 a14
当 det A = a21 a22 a23 a24 ≠ 0 时,
a31 a32 a33 a34
a41
a42
a43
a44
方程组有唯一解： 方程组有唯一解：
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a13 x3 + a24 x4 = b2 a x + a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 34 4 3 a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = b4 a111 a12 ab1 a14 b a12 13 ab2 a22 a23 a24 a22 b2 21 ab3 a32 a33 a34 a32 b3 31 ab a42 a43 a44 a42 b 41 4 x = x31 = 4 x4 = x2 = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
( 2.1)
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n 当其系数行列式 d et A = ≠0时 ≠0时, M M M an1 an 2 ... ann det Bn det B2 ... det B1 xn = x2 = 有且仅有唯一解 x1 = det A det A det A
基本概念： 基本概念：
c c cn = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ≡ b1 a x + a x +L+ a x = b 21 c1 22 c2 2 n cn ≡ 2 2 1 n 对于方程组 M a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a m n x n ≡ bm c1 c2 cn =
−1 det A ≠ 0 时, 方程组(2.1) (2.1)有唯一解 方程组(2.1)有唯一解 X = A B 即 当 11b1+ A21b2 + ... + An1bn A x1 A11 A21 ... An1 b1 A b + A b + ... + A b x 1 A A ... b 1 12 1 22 2 n 2 n An 2 2 12 22 2 = = M M M M det A M A M A b + A b + ... + A b A1n A2n ... Ann b nn n 1n 1 2 n 2 xn n det B1 det B1 x = det B2 ... x = det Bn n 2 det A 1 det B2 即 x1 = det A det A = det A M det B 证毕 n
如果存在 n个数 c1 , c2 ,..., cn , 使得当 x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn = cn 时，方程组的 m 个等式 都成立, 则称 都成立,
x1 = c1, x2 = c2 , ..., xn = cn 为该方程组的一个解． 为该方程组的一个解
称为方程组的解集. 称为方程组的解集. 解集 方程组的全体解构成的集合， 方程组的全体解构成的集合，