质点系的动能定理 功能原理 机械能守恒定律(修改)

第三节
质点系的动能定理 功能原理机 械能守恒定律
一、什么是保守力 作功与路径无关， 作功与路径无关，只与始末位置有关 的力为保守力， 的力为保守力，作功与路径有关的力为非 保守力。 保守力。 二、势能 1.势能：由于物体的位置（或状态）的变 势能： 势能 由于物体的位置（或状态） 化而具有的能量为势能。 化而具有的能量为势能。 质点系; ①质点系 2.引入势能条件： ②保守力作功。 引入势能条件： 引入势能条件 保守力作功。 重力、弹簧的弹力，电场力都是保守力。 重力、弹簧的弹力，电场力都是保守力。
F → 0 ; 若此时 v → 0 则 v v 1 mE m 2 h E = mv 2 + ( −G ) `````` 2 RE
r → ∞,
= E k∞ + E p∞ = 0
1 mE m 2 E = mv 2 + ( − G )=0 2 RE
v2 =
计算得
v v
h
``````
2 Gm E = RE
2mg k= R
B
Ep = 0
所以
四 宇宙速度
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图， 牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 ） 第一宇宙速度 所需的最小速度 . 设 地球质量
v1，是在地面上发射人造地球卫星
mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE .
F弹
o
x
x0
F弹
x
x 可知，弹力作功与路径无关， 可知，弹力作功与路径无关，只与始末两 态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。 态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。 1 2 定义弹性势能： 定义弹性势能： E p = kx 2
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
o
W弹 = E p 0 − E p = −( E p − E p0 ) = − ∆E p
解 取抛体和地球为一系统 ， 系统的机械能 E 守恒 .
1 2 E = m v1 + ( − G 2 1 = m v 2 + (−G 2
mm E ) RE mm E ) RE + h
h
``````
v v
1 2 mmE 1 2 mmE Q E = mv1 + (−G ) = mv + (−G ) 2 RE 2 RE + h
解 以弹簧、物体、地球为系统，取弹簧自然伸长处为原点，沿斜面向 下为x轴正向，且以原点为弹性势能和重力势能零点，则由功能原理式 (2.46)，在物块向上滑至x处时，有
1 1 1 mv 2 + kx 2 − mgx sin θ − kl 2 − mgl sin θ = − µ mg cos θ ( l − x ) 2 2 2
联立以上两式即可解得车顶的最小长度为
Mv 2 l= 2 µ g ( M + m)
二 质点系的功能原理 质点系动能定理
W
i
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
in c in nc
W
in
= ∑ Wi = W + W
in
W
in c
= − ( ∑ E pi − ∑ E pi 0 ) = E p − E p 0
弹力作功等于势能增量的负值； 弹力作功等于势能增量的负值；或弹 力作功物体的势能减少。 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳， 单位：焦耳，J 注意几点： 注意几点： 1.弹力是保守力，作功与路径无关。 弹力是保守力， 弹力是保守力 作功与路径无关。 2.弹力作功等于势能增量的负值。 弹力作功等于势能增量的负值。 弹力作功等于势能增量的负值 1 2 3.弹性势能总是大于等于 。 E p = kx 弹性势能总是大于等于0。 弹性势能总是大于等于 2 4.弹性 势点一般选在弹簧的平衡位置。 弹性0势点一般选在弹簧的平衡位置 弹性 势点一般选在弹簧的平衡位置。
物块静止位置与v＝0对应，故有
1 2 1 kx − mgx( sin θ + µ cos θ ) + mgl (sin θ + µ cos θ ) − kl 2 = 0 2 2
解此二次方程，得
x= 2mg( sin θ + µ cos θ ) −l k
另一根x＝l，即初始位置，舍去.
三
机械能守恒定律 功能原理 当 W
守恒定律的意义 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论， 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上， 如图的系统， ， 置于光滑的桌面上，
之间摩擦因数均不为零， 物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 ， 后拆除外力， 弹开过程中， 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 、 B、C、D 组成的系统 、 、 （A）动量守恒，机械能守恒 . ）动量守恒， （B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒， （C）动量不守恒，机械能不守恒 . ）动量不守恒， （D）动量守恒，机械能不一定守恒 . ）动量守恒， C A D B C A D B
ex
W + W = ( Ek + Ep ) − ( Ek 0 + Ep0 )
ex in nc
in + W nc = 0 时，有 E = E 0
只有保守内力作功的情况下， 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
Ek − Ek0 = −(Ep − Ep0 )
∆E k = − ∆E p
i i
ex in nc
非保守 力的功
W + W = ( Ek + Ep ) − ( Ek 0 + Ep0 )
机械能
E = Ek + Ep
W + W = E − E0
ex in nc
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
例2.12 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端， 量为m的物块 物块与斜面的摩擦系数为µ， 的物块， 量为 的物块，物块与斜面的摩擦系数为 ，弹簧的劲度系数 为k，斜面倾角为 ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 后由静 ，斜面倾角为θ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸l后由静 止释放，物块第一次静止在什么位置上？ 如图 如图2.25) 止释放，物块第一次静止在什么位置上？(如图
2 gR E
E =0
第二宇宙速度
v 2 = 11 .2 km/s
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠， 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。 因为它对你的生命安全造成威胁。
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
重力0势点一般选在物体运动的最低点 ⑤.重力 势点一般选在物体运动的最低点。 重力 势点一般选在物体运动的最低点。 4.弹性势能 . 由第一节的弹 力作功的结论， 力作功的结论， 1 2 1 2 W弹 = kx0 − kx 2 2
解 由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与 小车具有相同的速度，这时物体相对于小车为 静止而不会跌下.在这一过程中，以物体和小 球为一系统，水平方向动量守恒，有
Mv = ( m + M )V
而m相对于M的位移为l，如图2.28所示，则一对摩擦力的功为
1 1 2 − µ mgl = (m + M )V − Mv 2 2 2
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
一 质点系的动能定理 个质点， 对第 i 个质点，有
Wi + Wi = E ki − E ki 0
ex in
m1
v ex 对质点系， 对质点系，有
∑W
i
ex
i
+ ∑Wi = ∑ Eki − ∑ Eki 0 = Ek − Ek 0
W重 = E p0 − E p
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
mg
W重= mgh0 − mgh = Ep0 − Ep
= −( E p − E p 0 ) = − ∆E p
重力作功等于势能增量的负值； 重力作功等于势能增量的负值；或重 力作功物体的势能减少。 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳， 单位：焦耳，J 注意几点： 注意几点： 势能是系统的， ①.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 势能是系统的 如说物体的势能不切确。 重力是保守力， ②.重力是保守力，作功与路径无关。 重力是保守力 作功与路径无关。 重力作功等于势能增量的负值。 ③.重力作功等于势能增量的负值。 重力作功等于势能增量的负值
保守力、 一保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 一保守力、二势能 保守力 势能、
3.重力势能 以地球和物体为系统， 以地球和物体为系统，物体从距地 的高度，下落到h高度 高度， 面 h0的高度，下落到 高度，重力作功 为： W重 = mgh0 − mgh 重力作功与路径无关， 重力作功与路径无关， 只与始末位置有关, 只与始末位置有关 重力是保守力。 重力是保守力。 h0 定义重力势能E 定义重力势能 p： h E p = mgh
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
势能的绝对值没有意义， ④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 势能的绝对值没有意义 的相对值。 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
in i i i
质点系动能定理 质点系动能定理 注意
W
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
内力可以改变质点系的动能
如图2.28所示，一质量为 的平顶小车，在光滑的水平 所示， 的平顶小车， 例2.14 如图 所示 一质量为M的平顶小车 轨道上以速度v作直线运动 今在车顶前缘放上一质量为m的物体 作直线运动.今在车顶前缘放上一质量为 的物体， 轨道上以速度 作直线运动 今在车顶前缘放上一质量为 的物体， 物体相对于地面的初速度为零.设物体与车顶之间的摩擦系数为 物体相对于地面的初速度为零 设物体与车顶之间的摩擦系数为 µ，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度 最短应为多 ，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度l最短应为多 少？
有一轻弹簧, 例 2 有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 顶点 另一端系一质量为 的小球 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦 开始小球静止于点 不计摩擦) 在圆环上运动 不计摩擦 .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径 当小球运动到圆环 处于自然状态 其长度为圆环半径R; 其长度为圆环半径 的底端点B时 小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数. 小球对圆环没有压力. 的底端点 时,小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 以弹簧、小球和地球为一系统，
P
R
30°
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = E A
取图中点 B为重力势能零点
o
B
A
Ep = 0
系统机械能守恒 E B 即
= E A , 图中B点为重力势能零点
又
1 2 1 2 mv B + kR = mgR(2 − sin 30°) 2 2 P 2 R vB kR − mg = m 30° A R o
地球表面附近 计算得
RE >> h
故
3
v1 = gRE
E <0
v1 = 7.9 × 10 m/s
第一宇宙速度
Gmm E E =− <0 2( RE + h )
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星 年发射升空的东方红三号通信卫星 我国
2） 人造行星 第二宇宙速度 ） 第二宇宙速度 v 2 ，是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 当 地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 .
由牛顿第二定律和万有引力定律得
mmE m =G 2 RE + h ( RE + h)
解得
v
2
h
``````
v v
v1 =
2Gm E Gm E − RE RE + h
v1 =
Gm E 2 Gm E − RE RE + h
h
``````
v v
RE GmE ) Q g = 2 ∴v1 = gRE (2 − RE + h RE