质点系的动能定理 功能原理 机械能守恒定律(修改)

地球表面附近 计算得
RE >> h
故
3
v1 = gRE
E <0
v1 = 7.9 × 10 m/s
第一宇宙速度
Gmm E E =− <0 2( RE + h )
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星 年发射升空的东方红三号通信卫星 我国
2） 人造行星 第二宇宙速度 ） 第二宇宙速度 v 2 ，是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 当 地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 .
解 以弹簧、物体、地球为系统，取弹簧自然伸长处为原点，沿斜面向 下为x轴正向，且以原点为弹性势能和重力势能零点，则由功能原理式 (2.46)，在物块向上滑至x处时，有
1 1 1 mv 2 + kx 2 − mgx sin θ − kl 2 − mgl sin θ = − µ mg cos θ ( l − x ) 2 2 2
F弹
o
x
x0
F弹
x
x 可知，弹力作功与路径无关， 可知，弹力作功与路径无关，只与始末两 态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。 态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。 1 2 定义弹性势能： 定义弹性势能： E p = kx 2
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
o
W弹 = E p 0 − E p = −( E p − E p0 ) = − ∆E p
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
一 质点系的动能定理 个质点， 对第 i 个质点，有
Wi + Wi = E ki − E ki 0
ex in
m1
v ex Fi
外力功
内力功
v in m i m2 Fi
对质点系， 对质点系，有
∑W
i
ex
i
+ ∑Wi = ∑ Eki − ∑ Eki 0 = Ek − Ek 0
in i i i
质点系动能定理 质点系动能定理 注意
W
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
内力可以改变质点系的动能
如图2.28所示，一质量为 的平顶小车，在光滑的水平 所示， 的平顶小车， 例2.14 如图 所示 一质量为M的平顶小车 轨道上以速度v作直线运动 今在车顶前缘放上一质量为m的物体 作直线运动.今在车顶前缘放上一质量为 的物体， 轨道上以速度 作直线运动 今在车顶前缘放上一质量为 的物体， 物体相对于地面的初速度为零.设物体与车顶之间的摩擦系数为 物体相对于地面的初速度为零 设物体与车顶之间的摩擦系数为 µ，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度 最短应为多 ，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度l最短应为多 少？
第三节
质点系的动能定理 功能原理机 械能守恒定律
一、什么是保守力 作功与路径无关， 作功与路径无关，只与始末位置有关 的力为保守力， 的力为保守力，作功与路径有关的力为非 保守力。 保守力。 二、势能 1.势能：由于物体的位置（或状态）的变 势能： 势能 由于物体的位置（或状态） 化而具有的能量为势能。 化而具有的能量为势能。 质点系; ①质点系 2.引入势能条件： ②保守力作功。 引入势能条件： 引入势能条件 保守力作功。 重力、弹簧的弹力，电场力都是保守力。 重力、弹簧的弹力，电场力都是保守力。
由牛顿第二定律和万有引力定律得
mmE m =G 2 RE + h ( RE + h)
解得
v
2
h
``````
v v
v1 =
2Gm E Gm E − RE RE + h
v1 =
Gm E 2 Gm E − RE RE + h
h
``````
v v
RE GmE ) Q g = 2 ∴v1 = gRE (2 − RE + h RE
有一轻弹簧, 例 2 有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 顶点 另一端系一质量为 的小球 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦 开始小球静止于点 不计摩擦) 在圆环上运动 不计摩擦 .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径 当小球运动到圆环 处于自然状态 其长度为圆环半径R; 其长度为圆环半径 的底端点B时 小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数. 小球对圆环没有压力. 的底端点 时,小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 以弹簧、小球和地球为一系统，
物块静止位置与v＝0对应，故有
1 2 1 kx − mgx( sin θ + µ cos θ ) + mgl (sin θ + µ cos θ ) − kl 2 = 0 2 2
解此二次方程，得
x= 2mg( sin θ + µ cos θ ) −l k
另一根x＝l，即初始位置，舍去.
三
机械能守恒定律 功能原理 当 W
i i
ex in nc
非保守 力的功
W + W = ( Ek + Ep ) − ( Ek 0 + Ep0 )
机械能
E = Ek + Ep
W + W = E − E0
ex in nc
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
例2.12 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端， 量为m的物块 物块与斜面的摩擦系数为µ， 的物块， 量为 的物块，物块与斜面的摩擦系数为 ，弹簧的劲度系数 为k，斜面倾角为 ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 后由静 ，斜面倾角为θ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸l后由静 止释放，物块第一次静止在什么位置上？ 如图 如图2.25) 止释放，物块第一次静止在什么位置上？(如图
解 取抛体和地球为一系统 ， 系统的机械能 E 守恒 .
1 2 E = m v1 + ( − G 2 1 = m v 2 + (−G 2
mm E ) RE mm E ) RE + h
h
``````
v v
1 2 mmE 1 2 mmE Q E = mv1 + (−G ) = mv + (−G ) 2 RE 2 RE + h
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
势能的绝对值没有意义， ④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 势能的绝对值没有意义 的相对值。 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
2 gR E
E =0
第二宇宙速度
v 2 = 11 .2 km/s
联立以上两式即可解得车顶的最小长度为
Mv 2 l= 2 µ g ( M + m)
二 质点系的功能原理 质点系动能定理
W
i
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
in c in nc
W
in
= ∑ Wi = W + W
in
W
in c
= − ( ∑ E pi − ∑ E pi 0 ) = E p − E p 0
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠， 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。 因为它对你的生命安全造成威胁。
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
重力0势点一般选在物体运动的最低点 ⑤.重力 势点一般选在物体运动的最低点。 重力 势点一般选在物体运动的最低点。 4.弹性势能 . 由第一节的弹 力作功的结论， 力作功的结论， 1 2 1 2 W弹 = kx0 − kx 2 2
弹力作功等于势能增量的负值； 弹力作功等于势能增量的负值；或弹 力作功物体的势能减少。 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳， 单位：焦耳，J 注意几点： 注意几点： 1.弹力是保守力，作功与路径无关。 弹力是保守力， 弹力是保守力 作功与路径无关。 2.弹力作功等于势能增量的负值。 弹力作功等于势能增量的负值。 弹力作功等于势能增量的负值 1 2 3.弹性势能总是大于等于 。 E p = kx 弹性势能总是大于等于0。 弹性势能总是大于等于 2 4.弹性 势点一般选在弹簧的平衡位置。 弹性0势点一般选在弹簧的平衡位置 弹性 势点一般选在弹簧的平衡位置。
P
R
30°
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = E A
取图中点 B为重力势能零点
o
B
A
Ep = 0
系统机械能守恒 E B 即
= E A , 图中B点为重力势能零点
又
1 2 1 2 mv B + kR = mgR(2 − sin 30°) 2 2 P 2 R vB kR − mg = m 30° A R o
2mg k= R
B
Ep = 0
所以
四 宇宙速度
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图， 牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 ） 第一宇宙速度 所需的最小速度 . 设 地球质量
v1，是在地面上发射人造地球卫星
mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE .
F → 0 ; 若此时 v → 0 则 v v 1 mE m 2 h E = mv 2 + ( −G ) `````` 2 RE
r → ∞,
= E k∞ + E p∞ = 0
1 mE m 2 E = mv 2 + ( − G )=0 2 RE
v2 =
计算得
v v
hBiblioteka Baidu
``````
2 Gm E = RE
ex
W + W = ( Ek + Ep ) − ( Ek 0 + Ep0 )
ex in nc
in + W nc = 0 时，有 E = E 0
只有保守内力作功的情况下， 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
Ek − Ek0 = −(Ep − Ep0 )
∆E k = − ∆E p
W重 = E p0 − E p
保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能 保守力 势能、
mg
W重= mgh0 − mgh = Ep0 − Ep
= −( E p − E p 0 ) = − ∆E p
重力作功等于势能增量的负值； 重力作功等于势能增量的负值；或重 力作功物体的势能减少。 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳， 单位：焦耳，J 注意几点： 注意几点： 势能是系统的， ①.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 势能是系统的 如说物体的势能不切确。 重力是保守力， ②.重力是保守力，作功与路径无关。 重力是保守力 作功与路径无关。 重力作功等于势能增量的负值。 ③.重力作功等于势能增量的负值。 重力作功等于势能增量的负值
解 由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与 小车具有相同的速度，这时物体相对于小车为 静止而不会跌下.在这一过程中，以物体和小 球为一系统，水平方向动量守恒，有
Mv = ( m + M )V
而m相对于M的位移为l，如图2.28所示，则一对摩擦力的功为
1 1 2 − µ mgl = (m + M )V − Mv 2 2 2
守恒定律的意义 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论， 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上， 如图的系统， ， 置于光滑的桌面上，
之间摩擦因数均不为零， 物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 ， 后拆除外力， 弹开过程中， 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 、 B、C、D 组成的系统 、 、 （A）动量守恒，机械能守恒 . ）动量守恒， （B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒， （C）动量不守恒，机械能不守恒 . ）动量不守恒， （D）动量守恒，机械能不一定守恒 . ）动量守恒， C A D B C A D B
保守力、 一保守力、 §4.保守力、势能、功能原理 / 一保守力、二势能 保守力 势能、
3.重力势能 以地球和物体为系统， 以地球和物体为系统，物体从距地 的高度，下落到h高度 高度， 面 h0的高度，下落到 高度，重力作功 为： W重 = mgh0 − mgh 重力作功与路径无关， 重力作功与路径无关， 只与始末位置有关, 只与始末位置有关 重力是保守力。 重力是保守力。 h0 定义重力势能E 定义重力势能 p： h E p = mgh