流体力学2011-第一章作业讲解2

xy 1
Chen Haishan NIM NUIST
u x t 习题1-3-3已知流体运动的速度场为 ，求 v y t
t =0时刻，过点M (-1,-1)的迹线和流线。
dx dy dt 解： ① 求迹线： 迹线微分方程： u v
dx dy dt ; dt 进一步有： xt yt
根据 t = 0条件，确定 C =1→
x t y t 1
xy 1
最终可得 t =0时刻，过点 M (-1,-1)的流线为：
t t
x C1e t t 1
y C 2e t t 1
Chen Haishan NIM NUIST
y' p( x) y q( x)
一阶线性非齐次微分方程的通解为：
p ( x ) dx p ( x ) dx y (c q( x)e dx)e
dx dx dt x t x x t xt dt p(t ) 1 q (t ) t
t t
(c d (te ) e d (t ))e (c te e )e ce t 1
t t
x C1e t t 1
y C 2e t 1
t
Chen Haishan NIM NUIST
根据 t =0 条件，确定C1=C2=0 →
x t 1
即为所求的迹线和流线方程。
Chen Haishan NIM NUIST
u x 习题1-3-2已知流体运动的速度场为 ，求该流场 v y
dx dy 解：根据流线的微分方程： u v
dx dy 进一步有： x y
中通过（1，1）点的流线。
xy C
故过点(1,1)的流线：
Chen Haishan NIM NUIST
dx dz dx xt z xt 1 dt dt dt
dz dz dz 1 z z 1 dt ln(z 1) t c dt dt z 1
z C1e 1 x C1e t 1
y t 1
消去参数 t ，最终可得 t =0时刻，过点M (-1,-1) 的迹线方程为：
x y20
Chen Haishan NIM NUIST
② 求流线：
dx dy 根据流线的微分方程： u v dx dy 进一步有： → x t y t C xt yt
Chen Haishan NIM NUIST
习 题 讲 解
u y ，求流场的迹
习题1-3-1已知流体运动的速度场为 线和流线 v x
解：给定的流场为二维定常流场，迹线就是流线。 根据流线的微分方程：
dx dy 进一步有： y x
积分可得： x 2 y 2 C
dx dy u v xdx ydy 0
1dt 1dt x (c te dt)e
(c te dt)e
t
t
Chen Haishan NIM NUIST
1dt 1dt x (c te dt)e
(c te dt)e
t t t
t t t