初中几何模型与解法：等面积法

初中几何模型与解法：等面积法

教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；

2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系

3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积

重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积

知识导图

知识梳理

方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！

技巧归纳：

1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.

2、计算多边形面积的常用方法：

(1)面积计算公式

(2)对于公式⑤的证明（如右图）：

S= S△ABD+S△CBD

=

=

=

* (3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.

+

= 又∵ ABC = AC AB

∴该直角三角形斜边AB 上的高CD= 导学一 ： 等面积法在直角三角形的应用

知识点讲解 1

在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。 如图：

基本公式: ①勾股定理:

②等面积法：

证明②：

即： ,

例题

1. 如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB 上的高CD ?

【参考答案】

=

2. 如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm ，斜边AB 上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC 和BC 的长度?

【参考答案】

解：设AC =x, BC =y, ( y

由勾股定理：

= =100 又∵ ABC = AC

AB ∴ x y=48 再由

. 得到

解得： 答：AC

= 6，BC = 8

同步练习

1.如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24, BC=7，作 ABC 的三个内角的角平分线交于点P，再过点P 依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E, 作PF⊥AC于F .

(1)求证： PD = PE = PF ;

(2)求出： PD的值.

【参考答案】

（1）证明

∵AP 平分∠CAB，且PD ⊥ AB,PF ⊥ AC

∴PD=PF 同理，PD =PE

综上，PD=PE=PF

（2）解：

C 、 =

5 设： PD=PE=PF=d

ABC = AC

= 84 sp; ABC&en= APB BPC CPA

84 = + +

d =3, PD=3

2. 如图，△ABC的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）

B 、

D 、

A 、

【参考答案】C

解：∵S △ABC ＝3×4− ×2×3− ×2×1− ×2×4＝4

∵BC＝

＝ ，

∴BC边长的高＝

＝ 故选：C ．

导学二 ： 等面积法在等腰三角形的应用

知识点讲解 1

在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来 探索出线段之间的数量关系！

例题

1.如图,在△ABC中, AB=AC, AC 边上的高BD=10cm.

（1）如图1,求AB 边上高CE 的长；

（2）如图2,若点P 为BC 边上任意一点, PM⊥AB 于点M, PN⊥AC 于点N,求PM+PN 的值；

（3）如图3,若点P 为BC 延长线上任意一点,PM⊥AB 于M,PN⊥AC 于点N,在①PM+PN ；②PM PN 中有一个是定值,判断出来并求值.

【参考答案】

(1)由S△ABC= ×AB×CE = ×AC×BD

∵AB=AC, BD=10 ∴CE=10

(2)如图，连接AP

由S△ABP+S△ACP=S△ABC

×AB ×PM + ×AC ×PD = ×AC×BD

∵AB=AC， BD=10

∴PM +PN =10

(3) 如图，连接AP

PM−PN 是定值

理由如下：

连接AP,由S△ABP−S△ACP= S△ABC

×AB ×PM −× AC ×PD = ×AC×BD

∵AB =AC ，BD =10

∴PM−PN =10

2.已知等边△ABC和内部一点P，设点P 到△ABC三边的AB、 BC 、 AC 的距离分别是h1，h2，h3，

△ABC 的高为h，问h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由。

【参考答案】

如图：

解：

h ＝ h1 ＋ h2 ＋ h3 ，

理由如下：

连接AP、BP、CP，

则 S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＋S△ACP

∴ BC AM＝AB PD＋ C PF＋ C PE

即 BC h ＝ AB h1 ＋ C h2 ＋ C h3

又∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB＝AC

∴ h ＝ h1 ＋ h2 ＋h3

同步练习

1.已知等边△ABC和点P，设点P 到△ABC三边的AB、AC、BC 的距离分别是PD h1，PE h2，PF h3，△ABC的高AM为h，若点P 在△ABC外，此时h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由.