“中国传统文化中的数学算法”习题
中国古典数学题(修改)
古典数学题（1）两鼠穿垣今有垣厚五尺，两鼠对穿。
大鼠日一尺，小鼠亦一尺。
大鼠日自倍，小鼠日自半。
问：何日相逢？各穿几何？题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞。
大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半。
它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？此题刊于我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中。
《九章算术》成书大约在公元一世纪，由于年代久远，它的作者以及准确的成书年代，至今尚未能考证出来。
该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的。
全书共收集了246道数学题，分成九大类，即九章，所以称为《九章算术》。
解答本题并不十分繁难，请你试一试。
（思路提示：第一天的时候，大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大老鼠打了2尺，小老鼠打了21尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺。
第三天按道理来说大老鼠打4尺，小老鼠41尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通。
我们现在设大老鼠打了X 尺，小老鼠则打了（0.5-X ）尺则打洞时间相等： X÷4=（0.5-x ）÷41解方程得X=178所以大老鼠在第三天打了178尺，小老鼠打了0.5-178=341尺,所以三天总的来说：大老鼠打了3178尺。
） （2）兔子问题。
十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？ 想：第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子……。
把这此对数顺序排列起来，可得到下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13，……观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。
古代算术考试题及答案大全
古代算术考试题及答案大全一、选择题1. 以下哪个选项是古代算术中常用的运算符号？A. ⊕B. ×C. ÷D. √答案：B2. 古代算术中，"算盘"是用来进行哪种类型的运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法答案：ABCD3. 在古代算术中，"勾股定理"是由哪位数学家提出的？A. 欧几里得B. 毕达哥拉斯C. 阿基米德D. 牛顿答案：B二、填空题1. 古代算术中，"________"是用来表示未知数的。
答案：未知数2. 古代算术的"九章算术"中，"________"是专门讨论比例问题的一章。
答案：方田3. 古代算术中，"________"是指将一个数分成若干份，每份相等的运算。
答案：平均分配三、简答题1. 简述古代算术中“盈不足术”的原理及其应用。
答案：盈不足术是古代算术中解决分配问题的一种方法，其原理是通过比较实际分配结果与预期分配结果的差异，来调整分配比例，直至满足分配条件。
2. 描述古代算术中“开方术”的计算过程。
答案：开方术是古代算术中用来求解平方根的运算方法。
首先确定被开方数的范围，然后通过试商法逐步逼近平方根的值，直至达到所需的精度。
四、计算题1. 计算下列古代算术问题：一个长方形的长是宽的两倍，面积是48平方尺，求长和宽各是多少。
答案：设宽为x尺，则长为2x尺。
根据面积公式，x * 2x = 48，解得x = 4尺，所以长为8尺，宽为4尺。
2. 一个古代算术问题中，有100个铜钱，平均分配给10个人，每人分得多少铜钱？答案：100 / 10 = 10，每人分得10个铜钱。
五、论述题1. 论述古代算术在农业、建筑和商业中的应用及其重要性。
答案：古代算术在农业中用于计算土地面积和产量分配；在建筑中用于测量和设计建筑结构；在商业中用于交易和财务管理。
古人运算练习题
古人运算练习题古人亦善于数算，他们通过一系列的运算练习来提高他们的计算能力和思维敏捷性。
下面，我们来看一些古人常见的运算练习题，这些题目不仅考验了古人的数学能力，同时也反映了他们对逻辑思维的高度发展。
一、加法运算1.请计算下面两个数的和：4268 + 5783 = ?2.若甲数加壹数等于贰数，而甲数减贰数等于伍六贰叁，求甲、壹、贰的值。
3.从1到100，先将100依次写出，再将99加到前面的数后写出，然后将98加到前面的数后写出，以此类推，持续下去，直到加到1。
请问最后得到的这个数是多少？二、减法运算1.甲数减去壹数等于贰数，而甲数加贰数等于伍六贰叁，求甲、壹、贰的值。
2.ABCDE-EDCBA=10000，请问ABCDE的值是多少？三、乘法运算1.计算下面两个数的乘积：328 × 94 = ?2.甲数乘以贰叁等于壹贰三肆，求甲的值。
3.请计算下面三个数的乘积，并将结果倒过来写出来：1 × 23 × 456 = ?四、除法运算1.求解下面两个数的除法运算：798 ÷ 6 = ?2.请计算下面两个数的商和余数，并以“商余数”的形式呈现：647 ÷14 = ?五、混合运算1.计算下面表达式的值：(87 × 521) - (163 ÷ 7) + 289 = ?2.甲数加壹数等于贰数，甲数减壹数等于贰六。
请问甲、壹、贰的值分别是多少？3.小明想要将他的零花钱平均分成12份，可是他不知道每份要多少钱。
如果他有148元，求解每份应该给多少钱。
以上是一些古人常见的运算练习题，在这些题目中我们可以看到古人数学思维的独特之处。
虽然和现代数学相比可能略显简单，但这些运算题依然要求运算者具备良好的逻辑思维和数学计算能力。
通过练习这些题目，古人在数学方面能够不断提高自己的技能，并将其运用到实际生活中。
当然，这些运算练习不仅应该局限于古代，现代人也可以借鉴古人的方法来提升自己的运算能力。
高中数学新人教B版必修3课堂测试 中国古代数学中的算法案例
课时跟踪检测（八） 中国古代数学中的算法案例1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．2．用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1, 当x ＝3时的值时，先算的是( )A ．3×3B ．0.5×35C ．0.5×3＋4D ．(0.5×3＋4)×3解析：选C 把多项式表示成如下形式：f (x )＝((((0.5x ＋4)x ＋0)x －3)x ＋1)x －1, 按递推方法，由内往外，先算0.5x ＋4的值．3．4 830与3 289的最大公约数为( )A ．23B ．35C ．11D ．13 解析：选A 4 830＝1×3 289＋1 541； 3 289＝2×1 541＋207；1 541＝7×207＋92；207＝2×92＋23；92＝4×23；∴23是4 830与3 289的最大公约数．4．根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )A ．v 2＝a n x ＋a n －1B ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C ．v 2＝(a n x ＋a n －1)xD ．v 2＝a n x ＋a n －1x解析：选B 根据秦九韶算法知v 0＝a n ，v 1＝a n x ＋a n －1，v 2＝v 1x ＋a n －2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2.5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________． 解析：先求128－48的值，即128－48＝80.答案：128－48＝806．117与182的最大公约数等于________．解析：(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.答案：137．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．解析：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.f1＝a n；k＝1，f2＝f1x0＋a n－1；k＝2，f3＝f2x0＋a n－2；…；归纳得第k次f k＋1＝f k x0＋a n－k.故A处应填a n－k.答案：a n－k8．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．。
1.3中国古代数学中的算法案例
2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算
法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：
可半者半之，不可半者，副置分母·子之数， 以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
(2)夹页内容：P91~94 （3）夹页测试卷：第一章 算法初步
做所有的选择和填空题
【预习作业】： 必修3----P54~61
2015.10.30
辗转相除法与更相减损术
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30
先用两个数公有的质因数
3 9 15
连续去除,一直除到所得
35 ∴18和30的最大公约
数是2×3=6.
的商是互质数为止,然后 把所有的除数连乘起来.
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
是
Hale Waihona Puke 程序INPUT a0,a1,a2,a3,a4,a5
INPUT x0 n=1 v=a5 WHILE n<=5 v=vx0+a5-n n=n+1 WEND PRINT v END
必修3 第一章 算法初步 1.3中国古代数学中的算法案例课时训练
必修3 第一章 算法初步 1.3中国古代数学中的算法案例课时训练学校：___________姓名：__________一、选择题1.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石2.1337与382的最大公约数是( )A.3B.382C.191D.2013.数4557,1953,5115的最大公约数是 （ ）A.31B.93 C ．217 D ．6514.用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当4x =时,2V =( )A.96B.69C.16D.705.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为 )A.2B. 4-C.4D. 3- 6.用秦九韶算法计算多项式65432()1f x x x x x x x =++++++,当2x =时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )A.5 , 5B. 5 , 6C. 6 , 6D. 6 , 57.已知n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用秦九韶算法求0()f x 的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是( )A ．,n nB ．2,n nC ．(1),2n n n +D ．1,1n n ++ 8.用秦九韶算法计算多项式()65432256238103f x x x x x x x =+++-+-,当2x =时, 3V 的值为( )A.9B.24C.71D.134二、填空题9.1 624与899的最大公约数是______.10.用秦九韶算法计算多项式()42324+++=x x x x f ，当10x =时的值时,1v 的值为__________.11.用秦九韶算法计算多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++时4x =-的值时，3V 的值为__________．12.用秦九韶算法求多项式()43224321f x x x x x =-+-+,当2x =时的值__________13.已知一个5次多项式为()53243251f x x x x x =-+++,用秦九韶算法求这个多项式当3x =时3v 的值为__________.三、解答题14.用秦九韶算法求多项式53()3285f x x x x =+-+在2x =时的值。
数学中的中国传统文化问题大全
数学中的中国传统文化一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”，nn次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是()A．－5×3＝－15B．0.5×3＋4＝5.5C．3×33－5×3＝66D．0.5×36＋4×35＝1 336.6答案 B解析f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x＝(((((0.5x＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案 C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案 D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是()A．4 B．10C．16 D．33答案 C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，当x＝－2时，v1的值为()A．20 B．61C．183 D．548答案 C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？()A．1 326 B．510 C．429 D．336答案 B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．n＝x可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…＝________.答案1＋52解析 由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.(2)用秦九韶算法计算函数f (x )＝2x 4＋3x 3＋5x －4在x ＝2时的函数值．答案 (1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f (x )＝2x 4＋3x 3＋5x －4＝x (2x 3＋3x 2＋5)－4＝x [x (2x 2＋3x )＋5]－4＝x {x [x (2x ＋3)]＋5}－4，故当x ＝2时，f (x )＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4当x ＝3时的值．答案 (1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”()A.439 B.778C.776 D.581答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) A.23 B.815C.2031D.35答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1?1－25?1－2＝5， 计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布C ．150尺D ．180尺答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }，且a 1＝5，a 30＝1，所以S 30＝30×?5＋1?2＝90. 8．在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．9日B．8日C．16日D．12日答案 A解析由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝－0.5；10．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．24里B．48里C．96里D．192里答案 C解析由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a1[1－?12?6]1－12＝378，解得a1＝192，∴第二天此人走了192×12＝96里．11．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为()13．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12 斤答案 A解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”() A．3 B．4C．5 D．61－122n－1∴2n－1＋2－12n－1＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是()A．a n＝3n－1B．a n＝2n－1C．a n＝3n D．a n＝2n－1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________？(如图)答案 395解析 图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，?代表10，代表60. 所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图 A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n-1n C nn1C1n+1C0n1C1n+1C1n…1C1n+1C r n…1C1n+1C n-1n1C1n+1C n n图B答案1C1n+1C r n＝1C1n+2C r n+1＋1C1n+2C r+1n+1解析类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n+1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n＋C r+1n＝C r+1n+1，有1 C1C r ＝1C1C r＋1C1C r+1.“杨辉三角”(1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)11 112 1133 11464 11510105 1图1……图2请回答下列问题：(1)记S n为图1中第n行各个数字之和，求S4，S7，并归纳出S n；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案(1)S4＝8＝23；S7＝64＝26；故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)()A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺， ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112， 设底面圆的半径为R ，∴⎩⎨⎧2πR ＝48，πR 2×11＝2 112，式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113答案 B解析 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ?275L 2≈13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π≈258.5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF＝10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是() A．110 B．116C．118 D．120答案 D解析过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V＝15×8＝120.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案 A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)．故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则()105×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有() A．14斛B．28斛C．36斛D．66斛答案 B解析设圆锥的底面半径为r，则π2r＝9，解得r＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．11．《九章算术》是我国古代着名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一≈6.33(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.33×100＝633(立方寸)．故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412，∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π.13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．答案(1)证明如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设PD＝DC＝1，BC＝λ(λ>0)，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)，PB →＝(λ，1，－1)，因为点E 是棱PC 的中点，所以E (0，12，12)，DE →＝(0，12，12)， 于是PB →·DE →＝0，所以PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因为PC →＝(0,1，－1)，四、其他问题1．我国古代数学名着《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石答案 B解析 抽样比是28254，那么1 534石米夹谷1 534×28254≈169(石)，故选B. 2．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；④c1a1<c2a2.其中正确的式子的序号是()A．①④B．①③C．②④D．②③1112121221∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴③正确．④∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴c1a2a1a2>a1c2a1a2，即c1a1>c2a2，∴④不正确．故选D.3．古代数学名着《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈3169V，人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14 159…，判断下列近似公式中最精确的一个是()较小的锐角α＝π6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是()A．1－32 B.32C.4－34 D.34答案 A解析设小正方形的边长为x，由于sin α＝12，cos α＝32，即x＋12＝32，则x＝3－1，故飞镖落在小正方形内的概率是P＝4－234＝1－32，故选A.5．如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.∴两条直角边的长分别为3,4，又∵直角三角形中较小的锐角为θ，∴cos θ＝45，cos 2θ＝2cos2θ－1＝725.7．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是______．答案4 9解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1、2B 2、3B 3…、9B 9，B 共有0到9共10种可能，即A 0A 、A 1A 、A 2A 、A 3A 、…、A 9A ，共有9×10＝90个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2、4B 4、6B 6、8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A 、A 1A 、A 2A 、A 3A 、…、A 9A ，共有4×10＝40个， )正束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为34，23，12，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响． (1)求选手获得5个学豆的概率；(2)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．答案 (1)P (X ＝5)＝34×12＝38. (2)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A 1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A 2，则A 1，A 2互斥，P (A 1)＝34×12×(1－23)＝18， P (A 2)＝34×12×23×12×(1－12)＝116. P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝18＋116＝316. 10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦·矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．。
高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课时作业(含解
【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课时作业 新人教B 版必修3一、选择题1．在秦九韶算法中用到的一种方法是( ) A ．消元 B ．递推 C ．回代 D ．迭代[答案] B[解析] 秦九韶算法中用到的是递推法．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] C[解析] (84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法． 3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11的值时，应把f (x )变形为( ) A ．x 3－(3x ＋2)x －11 B ．(x －3)x 2＋(2x －11) C ．(x －1)(x －2)x －11 D ．((x －3)x ＋2)x －11 [答案] D[解析] f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11＝((x －3)x ＋2)x －11，故选D. 4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( ) A ．15 B ．17 C ．51 D ．85[答案] B[解析] 204－85＝119,119－85＝34,85－34＝51,51－34＝17,34－17＝17， ∴204和85的最大公约数是17，故选B.5．根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a nv k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )A ．v 2＝a n x ＋a n －1B ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C．v2＝(a n x＋a n－1)xD．v2＝a n x＋a n－1x[答案] B[解析]根据秦九韶算法知，v2＝v1x＋a n－2，v1＝a n x＋a n－1，故选B.6．(2015·河北行唐启明中学高一月考)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6在x＝3时，v3的值为( )A．－486 B．－351C．－115 D．－339[答案] C[解析]f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.二、填空题7．117与182的最大公约数等于________．[答案]13[解析](117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.8．245与75两数的最小公倍数为________．[答案] 3 675[解析]先求245与75的最大公约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→(20,75)→(55,20)→(35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．故245与75的最大公约数为5，∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3 675.三、解答题9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数．[解析]319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．故319与261的最大公约数是29.10.用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[解析] f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， 所以v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＝21 324.故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.一、选择题1．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4的值时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．3 392[答案] B[解析] 由秦九韶算法，得v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋5＝－7， v 2＝－7×(－4)＋6＝34， v 3＝34×(－4)＋79＝－57， v 4＝－57×(－4)－8＝220.2．三个数390、455、546的最大公约数是( ) A ．65 B ．91 C ．26 D ．13[答案] D[解析] 对于三个数求最大公约数时，先求其中两个数的最大公约数，再用此公约数与第三个数求出最大公约数，此时就是三个数的最大公约数.3．已知f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( )A ．－1972B ．1972C.1832 D ．－1832[答案] A[解析] ∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12，∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972. 4．(2015·新课标Ⅱ理，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 程序在执行过程中，a 、b 的值依次为a ＝14，b ＝18；b ＝4；a ＝10；a ＝6；a ＝2；b ＝2，此时a ＝b ＝2程序结束，输出a 的值为2，故选B.二、填空题5．4 830与3 289的最大公约数为________． [答案] 23[解析] (4 830,3 289)→(1 541,3 289)→(1 541，1 748)→(1 541,207)→(1 334,207)→(1127,207)→(920,207)→(713,207)→(506,207)→(299,207)→(92,207)→(92,115)→(92,23)→(69,23)→(46,23)→(23,23)．6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1当x ＝－2时的值的算法： ①第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1. 第三步，输出f (x )． ②第一步，x ＝－2.第二步：f (x )＝((((7x ＋5)x ＋10)x ＋10)x ＋5)x ＋1. 第三步，输出f (x )．③需要计算5次乘法、5次加法．④需要计算9次乘法、5次加法．以上说法中正确的是________(填序号)．[答案]②③[解析]①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错．对于一元n次多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确．三、解答题7．求1 356和2 400的最小公倍数．[解析](1 356,2 400)→(1 356,1 044)→(312， 1 044)→(312,732)→(312,420)→(312，108)→(204,108)→(96,108)→(96,12)→…→(12,12)．∴1 356和2 400的最大公约数为12.∴1 356和2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6在x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v t＝v5x＋a0，求v3的值．[解析]f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，v0＝1，v1＝v0x－5＝－6，v2＝v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝－15.9.有甲、乙、丙三种溶液，质量分别为147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每个小瓶最多装多少溶液？[解析]每个小瓶内溶液的质量应是147,343,133三种溶液质量的公约数，最大质量即是其最大公约数.先求147和343的最大公约数．343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，所以147和343的最大公约数是49.再求49和133的最大公约数．133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14，35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以49和133的最大公约数是7.所以147、343、133的最大公约数是7，即每个小瓶最多装7 g溶液．。
人教课标版(B版)高中数学必修3《中国古代算法案例》综合练习
1.3中国古代算法案例【巩固教材——稳扎马步】1.我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是( )A ．割圆术B ． 更相减损术C ． 秦九韶算法D ． 孙子乘余定理2.利用“更相减损术”求78和36的最大公约数时,第三步操作的结果是( )A. (6,36 )B. (6,24 )C. (42,6 )D. (6,30 )3.用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( )A. 6 , 6B. 5 , 6C. 5 , 5D. 6 , 54.用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=, 在4-=x 时的值时,3V 的值为 ( )A. －845B. 220C. －57D. 34【重难突破——重拳出击】5.一个三位数的十位和个位上的数字互换,得到一个新的三位数,新、旧两个三位数都能被4整除.设计一个算法,求满足条件的三位数的个数,并用Scilab 程序指令写出其算法程序.6.李明今年大学毕业,在人才市场.同时有三家公司愿意聘用他,三家公司给予有待遇如下:甲公司年薪3万元, 1年后每年奖金2000元;乙公司半年薪金1.5万元,半年后每半年奖金1200元;丙公司月薪2000元,1 年后每月在上月基础上加薪100元.合同可签三年或五年.请你设计一个算法,帮助李明进行选择.7.一辆邮车依次前往城市A １，A ２，A ３，…A m （,2m N m *∈≥），每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个，设a ｎ是邮车从第ｎ个（1≤n ＜m ，n ∈N * ）城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数ｍ＞ｎ，求a ..【巩固提高——登峰揽月】8.（李白买酒)“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒”．设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出其程序．9.一个三位数,如果每一位数字的立方和等于它本身,则称之为“水仙花数”．设计一个算法，找出所有的水仙花数．【课外拓展——超越自我】10.一个三角形内有三个点时,与三个顶点相连,可得三个小三角形, 若再多增加一个点时,小三角形的内数则可以增加两个, 设三角形内有n 个点,可将三角形最多分成n j 个小三角形, 则可以证明12n n j j +=+, 写出就用此关系式求2005j 的程序.11.意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.参考答案1.B2. D3.A4. C5.6.7. 解析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋，再加上发往后面各城市的（m-n）个邮袋，可用循环计算I 从1至ｎ时，aｎ的变化.8.9.10.Read m，nIf m≤n ThenPrint “错误！m必须大于n”ElseS=0For i from 1 to nS=S+（m-i）（i-1）Next iEnd ForEnd IfPrint S第7题图11. 分析: 根据题意可知,第一个月有1对小兔,第二个月有1对成年兔子,第三个月有两对兔子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第N个月有两F对兔子,第N－1个月有S对兔子,第N－2个月有Q对兔子,则有F=S+Q,一个月后,即第N+1个月时,式中变量S的新值应变第N个月兔子的对数(F的旧值),变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值),这样,用S+Q求出变量F的新值就是N+1个月兔子的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第12项就是年底应有兔子对数,我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的I从3逐次。
古代著名算题目
古代著名算题目古代数学在世界历史上有着重要的地位，古希腊、古印度、古埃及等文明都有自己独特的数学发展。
中国古代数学也是其中一支璀璨的分支，历经千年不衰，留下了许多经典算题。
本文将介绍几个著名的古代算题，并解析其方法与思想。
一、《九章算术》中的《日期章》《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，其中的《日期章》涉及到了一些与日期计算相关的算题。
其中一道著名的题目是：已知甲乙两人合力做完一件工作需要15天，乙临走时单独做这件工作需要30天。
问甲单独做完这件工作需要多少天？解题思路：设甲、乙分别代表两人的工作效率，那么根据题意，合力做完这件工作的效率为甲+乙，乙独自完成工作的效率为乙。
根据题意，合力完成这件工作需要15天，乙单独完成需要30天。
假设这件工作的工作量为1个单位，则可以得到以下方程：15(甲+乙) = 130乙 = 1通过解这个方程组，可以得到甲的工作效率为1/30，即甲单独完成这件工作需要30天。
二、《张丘建算经》中的《开物算经》《张丘建算经》是古代中国算术方面的经典著作之一，其中的《开物算经》涵盖了许多实际问题的解法。
其中一道著名的题目是：有秤状不正，而已知秤质之差；料之等秤质差，有石六十无一，次之有石十六无一；次之有石九无一；次之有石四无一；次之有石二无一；次之有石三十无一。
问秤质各多少？解题思路：设秤的质量为x，根据题意可得出以下方程：6x - 1 = a^216x - 1 = b^29x - 1 = c^24x - 1 = d^22x - 1 = e^230x - 1 = f^2其中a、b、c、d、e、f分别是整数。
通过求解这个方程组，可以得到秤的质量为7/2斤、9/2斤、3/2斤、5/2斤、2斤和11/2斤。
三、《孙子算经》中的《商宜》《孙子算经》是我国古代军事数学的著作，里面记载了许多与战争有关的算题。
其中一道著名的题目是：有一军队共三千人，士兵分列十阵，每阵若罢五十人，则还余二百人；若罢六十人，则还去三百人。
人教B版高中数学必修三1.3中国古代中的算法案例+同步练测().docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.3中国古代数学中的算法案例建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题10分，共20分）1. 在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（）A. 4B.12C. 16D. 82.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）A.16和12的最大公约数是4B.78和36的最大公约数是6C.85和367的最大公约数是34D.105和315的最大公约数是105二、填空题(每小题10分，共30分)3.我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称为，又称为 .4.运算速度快是计算机一个很重要的特点，而算法好坏的一个重要标志是 .5.算法：Ｓ１输入ｘ，ｙＳ２ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}Ｓ３ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}Ｓ４若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分）则输出ｎ，否则执行Ｓ５Ｓ５ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎＳ６ｍ＝ｎＳ７ｎ＝ｒＳ８执行Ｓ４Ｓ９输出ｎ上述算法的含义是.三、解答题（共50分）6.（15分）用当型和直到型语句，写出求两正整数的最大公约数的算法程序.7.（15分）求两个整数ｘ（ｘ≥０）和ｙ（ｙ＞０）的整数商和余数（规定只能用加法和减法运算）.8.（20分）试用更相减损术求80和36的最大公约数.1.3中国古代数学中的算法案例答题纸得分：一、选择题题号 1 2答案二、填空题3． 4． 5.三、解答题6.7.8.1.3中国古代数学中的算法案例答案一、选择题1.A 解析：由整个操作：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），我们易得12和16的最大公约数是4．故选A.2.C 解析：由辗转相除法，得357=4×85+27，85=27×3+4，27=4×6+3，4=3×1+1，故85和357的最大公约数是1.故选C.二、填空题3.更相减损之术等值算法解析：由算法案例中，关于更相减损术和辗转相除法的定义，我们易得我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称为更相减损术（等值算法）.4.运算次数解析：根据算法的特点，我们判断一个算法好坏通常需要考虑如下几个方面：简单，快速，高效，节省资源，可广泛应用，高兼容性．为了提高计算机的运算速度快的特点，算法的好坏主要体现在单位时间里运算的次数．5.求ｘ，ｙ的最大公约数解析：逐步分析算法的各个步骤：S1→S2→S3的功能是输入两个数x，y，判断其大小后，分别赋给变量m，n（其中m为较大数，n为较小数），S4判断m能否被n整除，并根据判断结果决定程序的流向：若满足则输出n，否则执行S5⇒S8.S5→S6→S7→S8利用辗转相除法，交换相关变量的值．S9输出n.综上，可知本算法的功能是：求x，y的最大公约数.三、解答题6.解：INPUT ｍ，ｎ（当型）ｒ＝ｍ／ｎ的余数ＷＨＩＬＥｒ≠０ｍ＝ｎｎ＝ｒｒ＝ｍ／ｎ的余数ＷＥＮＤＰＲＩＮＴｎＥＮＤ（直到型）INPUT ｍ，ｎＤＯｒ＝ｍ／ｎ的余数ｍ＝ｎｎ＝ｒＬＯＯＰＵＮＴＩＬｒ＝０ＰＲＩＮＴｍＥＮＤ7.解：算法：Ｓ１使ｑ＝０，ｒ＝xＳ２当ｒ≥ｙ时，重复下面操作Ｓ３ｒ＝ｒ－ｙＳ４ｑ＝ｑ＋１Ｓ５输出r,q程序框图INPUT ｑ＝０ｒ＝ｘｙ＝ｙＤＯｒ＝ｒ－ｙｑ＝ｑ＋１ＬＯＯＰＵＮＴＩＬｒ≥ｙPＲＩＮＴｒ,qＥＮＤ8.解：80-36=44，44-36=8，36-8=28，28-8=20，20-8=12，12-8=4，8-4=4.因此80和36的最大公约数是4.。
高中数学人教B版必修3练习：1.3 中国古代数学中的算法案例 课下检测
一、选择题1．用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是()A．24B．18C．12 D．6解析：78－36＝42,42－36＝6,36－6＝30,30－6＝24,24－6＝18,18－6＝12,12－6＝6，∴6为78与36的最大公约数．答案：D2．(2012·大庆高一检测)使用秦九韶算法求p(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝3的值时可减少运算次数，做加法和乘法的次数最多分别是()A．n，n B．n，n(n＋1)2C．n,2n＋1 D．2n＋1，n(n＋1)2解析：根据秦九韶算法，n次多项式最多需n次乘法和n次加法．答案：A3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为()A．－845 B．220C．－57 D．34解析：v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝(－7)×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57.答案：C4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是()A．10 B．9C．12 D．8解析：根据秦九韶算法以及函数解析式特点可知，需做乘法次数是6，加法次数是6，故乘法与加法的次数和是12.答案：C二、填空题5．三个数175,100,75的最大公约数为________．解析：175与100的最大公约数是25,25能整除75，所以175,100,75的最大公约数是25.答案：256．用更相减损之术求81与135的最大公约数时，要进行________次减法运算．解析：135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27，共进行了3次减法运算．答案：37．若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)＝4，int(4)＝4)，则下列程序的目的是________________．x＝input(”x＝”)；y＝input(”y＝”)；m＝x；n＝y；while m/n ＜＞int(m/n)c＝m－int(m/n)*n；m＝n；n＝c；endn答案：求x、y的最大公约数8．已知一个5次多项式f(x)＝x5＋0.5x4－4x2＋5x－9，用秦九韶算法求当x＝x0时多项式的值，可把多项式写成如下的形式________．解析：本题中，x3项不存在，可把该项看作0·x3.答案：((((x＋0.5)x＋0)x－4)x＋5)x－9三、解答题9．求84,140,182的最大公约数．解：先利用更相减损术求140与84的最大公约数：140－84＝56；84－56＝28；56－28＝28.(140,84)→(56,84)→(28,56)→(28,28)所以140与84的最大公约数为28.然后求28与182的最大公约数：易得28与182的最大公约数为14.所以140、84、182的最大公约数为14.10．求f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝8；v1＝8×2＋5＝21；v2＝21×2＋0＝42；v3＝42×2＋3＝87；v4＝87×2＋0＝174；v5＝174×2＋0＝348；v6＝348×2＋2＝698；v7＝698×2＋1＝1397.∴当x＝2时，多项式的值为1397.。
中国古代数学趣题
五道古代趣味数学题（原题+译文+答案解析）1.《孙子算经》有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？【译文】有一堆物品，3个3个数剩2个，5个5个数剩3个，7个7个数剩2个，求这堆物品的数量？”【解法】物品的总数量并不唯一，是一个差为3*5*7=105的等差数列。
每个答案都可以分解为3个数之和，第1个数能够被5和7整除，且除以3以后余数为2；第2个数能够被3和7整除，且除以5以后余数为3；第3个数能够被3和5整除，且除以7以后余数为2。
容易看出，第1个数为140，第2个数为63，第3个数为30，则140+63+30=233就是原题目的一个解，且23，138，233和338等都是原题目的解。
2.《孙子算经》卷下今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？【译文】今有鸡兔关在一个笼子里，上有头35个，下有足94只。
问鸡兔各多少？【解法】（算术解法之一）以兔脚为主元思考：设想头35全是兔，则应有35×4=140只脚，这样多出了46只脚，可以用兔替换同样数目的鸡来减少脚数，每去掉一只兔（换进一只鸡）减少2只脚，需要去掉多少只兔（即换进多少鸡）才能减少46只脚？显然有鸡46÷2=23（只）有兔35-23=12（只）若用数学综合式计算为：有鸡（35×4-94）÷（4-2）=23（只）有兔35-23=12（只）答：鸡23只，兔12只。
3.梅瑴成《增删算法统宗》三藏西天去取经，一去十万八千程。
每日常行七十五，问公几日得回程。
【译文】唐朝的三藏前往佛教圣地去取经，走了108000里，每天平均走75里，试问唐僧一行多少日后返回来？【解法】108000÷75=1440（日）所以到达西天需要1440÷360=4（年）来回时间为2×4=8（年）答：唐三藏取经1440日即4年后到达西天，8年后回来，忒简单！4.梅瑴成《增删算法统宗》百兔纵横走入营，几多男女斗来争。
2020人教B版必修3高中数学1.3中国古代数学中的算法案例同步练测
文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1.3中国古代数学中的算法案例建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题10分，共20分）1. 在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（）A. 4B.12C. 16D. 8下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）A.16和12的最大公约数是4B.78和36的最大公约数是6C.85和367的最大公约数是34D.105和315的最大公约数是105二、填空题(每小题10分，共30分)3.我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称为，又称为 .运算速度快是计算机一个很重要的特点，而算法好坏的一个重要标志是 .算法：Ｓ１输入ｘ，ｙＳ２ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}Ｓ３ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}Ｓ４若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分）则输出ｎ，否则执行Ｓ５Ｓ５ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎＳ６ｍ＝ｎＳ７ｎ＝ｒＳ８执行Ｓ４Ｓ９输出ｎ上述算法的含义是.三、解答题（共50分）6.（15分）用当型和直到型语句，写出求两正整数的最大公约数的算法程序.7.（15分）求两个整数ｘ（ｘ≥０）和ｙ（ｙ＞０）的整数商和余数（规定只能用加法和减法运算）. 8.（20分）试用更相减损术求80和36的最大公约数.1.3中国古代数学中的算法案例答题纸得分：一、选择题题号 1 2答案二、填空题3． 4． 5.三、解答题6.7.8.1.3中国古代数学中的算法案例答案一、选择题1.A 解析：由整个操作：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），我们易得12和16的最大公约数是4．故选A.2.C 解析：由辗转相除法，得357=4×85+27，85=27×3+4，27=4×6+3，4=3×1+1，故85和357的最大公约数是1.故选C.二、填空题3.更相减损之术等值算法解析：由算法案例中，关于更相减损术和辗转相除法的定义，我们易得我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称为更相减损术（等值算法）.4.运算次数解析：根据算法的特点，我们判断一个算法好坏通常需要考虑如下几个方面：简单，快速，高效，节省资源，可广泛应用，高兼容性．为了提高计算机的运算速度快的特点，算法的好坏主要体现在单位时间里运算的次数．5.求ｘ，ｙ的最大公约数解析：逐步分析算法的各个步骤：S1→S2→S3的功能是输入两个数x，y，判断其大小后，分别赋给变量m，n（其中m为较大数，n为较小数），S4判断m能否被n整除，并根据判断结果决定程序的流向：若满足则输出n，否则执行S5⇒S8.S5→S6→S7→S8利用辗转相除法，交换相关变量的值．S9输出n.综上，可知本算法的功能是：求x，y的最大公约数.三、解答题6.解：INPUT ｍ，ｎ（当型）ｒ＝ｍ／ｎ的余数ＷＨＩＬＥｒ≠０ｍ＝ｎｎ＝ｒｒ＝ｍ／ｎ的余数ＷＥＮＤＰＲＩＮＴｎＥＮＤ（直到型）INPUT ｍ，ｎＤＯｒ＝ｍ／ｎ的余数ｍ＝ｎｎ＝ｒＬＯＯＰＵＮＴＩＬｒ＝０ＰＲＩＮＴｍＥＮＤ7.解：算法：Ｓ１使ｑ＝０，ｒ＝xＳ２当ｒ≥ｙ时，重复下面操作Ｓ３ｒ＝ｒ－ｙＳ４ｑ＝ｑ＋１Ｓ５输出r,q程序框图INPUT ｑ＝０ｒ＝ｘｙ＝ｙＤＯｒ＝ｒ－ｙｑ＝ｑ＋１ＬＯＯＰＵＮＴＩＬｒ≥ｙPＲＩＮＴｒ,qＥＮＤ8.解：80-36=44，44-36=8，36-8=28，28-8=20，20-8=12，12-8=4，8-4=4.因此80和36的最大公约数是4.。
数学中的传统文化问题大全
数学中的传统文化问题大全Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】数学中的中国传统文化一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( )A．2 B．3C．4 D．5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为( )A．4 B．2C．0 D．14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数f n(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n?n＋1?2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是( )A．－5×3＝－15B．×3＋4＝C．3×33－5×3＝66D．×36＋4×35＝1答案B解析f(x)＝＋4x5－x4＋3x3－5x＝((((＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由内向外计算，最先计算的是×3＋4＝.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．6．已知函数f(x)＝6x6＋5，当x＝x0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A．21,6,2 B．7,1,2C．0,1,2 D．0,6,1答案D解析∵f(x)＝6x6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于( )A．7 B．12C．17 D．34答案C解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为( )A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是( )A．4 B．10C．16 D．33答案C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋＋2的值，当x＝－2时，v1的值为( ) A．1 B．7C．－7 D．－5答案 C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋x＋2，∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为( ) A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为( )A．20 B．61C．183 D．548答案C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天( )A．1 326 B．510 C．429 D．336答案B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．答案 5 5解析∵f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋1，∴乘法要运算5次，加法要运算5次15．若f(x)＝x4＋3x3＋x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，需要乘法m次，加法n次，则m＋n ＝________.答案6解析f(x)＝x4＋3x3＋x＋1＝(((x＋3)x)x＋1)x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a，b，c，d∈N*)，则b＋da＋c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．答案22 717．我国古代数学名着《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…＝________.答案1＋52解析由题意，可令1＋11＋11＋…＝x，即1＋1x＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(x＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52.18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．答案556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440与556的最大公约数4.20．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．答案f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f(3)＝21 324，即当x＝3时，函数值是21 324.21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算函数f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2时的函数值．答案(1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x＋3)]＋5}－4，故当x＝2时，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62. 22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4当x＝3时的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以当x＝3时，多项式f(x)的值是853.23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；(2)用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2时的值．答案(1)1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，因此57是1 995与228的最大公约数．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以当x＝2时，多项式的值是101.24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3时的函数值为283.二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名着，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( ) 钱 钱 钱 钱答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ， 又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43.2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤”( )答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( ) A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案 A解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ， ∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ≈.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13答案 D解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) 答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1?1－25?1－2＝5，计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( ) A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%答案 B解析 由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1，设公差为d ，则1＝5＋29d ，解得d ＝－429. ∴S 10＝5×10＋10×92×(－429)＝1 27029. S 30＝30×?5＋1?2＝90. ∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈＝49%. 7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( ) A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1， 所以S 30＝30×?5＋1?2＝90. 8．在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日答案 A解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－；设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m ?m －1?×132＋97m ＋m ?m －1?×?－?2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专着，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) 升 升 升 升答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，…a 9，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧2?a 2＋a 3?＝33a 8＝4，得⎩⎨⎧a 2＋a 3＝32，a 8＝43，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176(升)．10．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里 B ．48里 C ．96里 D ．192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1－?12?6]1－12＝378，解得a 1＝192，∴第二天此人走了192×12＝96里．11．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1?1－126?1－12＝378，解得a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.12．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( )A．6斤B．9斤C．10斤D．12斤答案B解析此问题构成一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5＝4，∴中间3尺的重量为3a3＝a1＋a52×3＝2＋42×3＝9(斤)，故选B.13．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A．6斤B．9斤C．斤D．12 斤答案A解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯”() A．3 B．4C．5 D．6答案A解析由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n－1·a盏灯，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盏灯，即1×?1－27?1－2a＝381.解得a＝3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢”上述问题中，两鼠在第几天相逢．( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n 天打洞之和为1－2n1－2＝2n－1，同理，小老鼠前n 天打洞之和为1－?12?n1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n －1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________(如图)答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，?代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n＋C r＋1n＝C r＋1n＋1，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C0n C1n…C r n…C n-1n C n n图A1 21 21 316131 41121121415 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 1C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n …1C 1n +1Cr n…1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n图B答案1C 1n +1Cr n＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1解析 类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r +1n ＝C r +1n +1， 有1C 1n +1Cr n＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1. 20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k -1＝________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k ?5k －1?2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ?n ＋1?2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15， 由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k ?5k ＋1?2(k ∈N *)， b 2k -1＝a 5k -1＝?5k －1??5k －1＋1?2＝5k ?5k －1?2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030， 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 21．请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)1 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1……图1111 21 21 316131 4112112141 512013012015……图2请回答下列问题：(1)记S n为图1中第n行各个数字之和，求S4，S7，并归纳出S n；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案(1)S4＝8＝23；S7＝64＝26；Sn＝2n－1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和，故第6行为1613016016013016.三、空间几何体1．我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)．故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)( ) A ．3 B ． C ． D ．答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺， ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112， 设底面圆的半径为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝48，πR 2×11＝2 112，∴π＝3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺， 由题意得，谷仓高h ＝403尺．于是谷仓的体积V＝πr2·h≈2 000×，解得r≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr≈54尺＝5丈4尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )答案B解析由题意知275L2h≈13πr2h?275L2≈13πr2，而L＝2πr，代入得π≈258.5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A．110 B．116C．118 D．120答案D解析过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V＝15×8＝120.故选D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则V方盖差V正等于( )答案C解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43×π×r3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r× r2－?22r?2＝26r3，∴V方盖差V正＝13r326r3＝ 2.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)．故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则( )A．V方盖差＞V正B．V方盖差＝V正C．V方盖差＜V正D．以上三种情况都有可能答案A解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43πr3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r× r2－?22r?2＝26r3，∴V方盖差＞V正．9．我国古代数学名着《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( )A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺答案C解析由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A．14斛B．28斛C．36斛D．66斛答案B解析设圆锥的底面半径为r，则π2r＝9，解得r＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为立方，∴堆放的米有45÷≈28斛．11．《九章算术》是我国古代着名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈，sin °≈5 13)A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸答案D解析如图，AB ＝10(寸)，则AD ＝5(寸)，CD ＝1(寸)，设圆O 的半径为x (寸)，则OD ＝(x －1)(寸)， 在Rt△ADO 中，由勾股定理可得52＋(x －1)2＝x 2， 解得x ＝13(寸)． ∴sin∠AOD ＝AD AO ＝513， 即∠AOD ≈°，则∠AOB ＝45°.则弓形ACB 的面积S ＝12×π4×132－12×10×12≈(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V ＝×100 ＝633(立方寸)． 故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412， ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π. 13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下 cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到．答案 (1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H ＝23×8＝163，底面半径为r ＝23×4＝83，V ＝13πr 2H ＝13π×(83)2×163＝， V ÷＝1 986(秒)．所以沙全部漏入下部约需1 986秒．(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4， 设高为H ′，V ＝13π×42×H ′＝1 02481π， H ′＝6427≈.锥形沙堆的高度约为 cm.14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．。
8中国古代数学中的算法案例含解析高中数学人教b版必修3高二数学试题试卷.doc
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1.以下是利用更相减损之术求114和36的最大公约数的操作步骤：(114,36)-(78,36)f(42,36)->(6,36)->(6,30)->(6,24)->(6,18)~(6,12)->(6,6),那么114和36的最大公约数为()A」 B.12C.6D.36【解析】由条件知最大公约数为6.【答案】C2.自然数8 251和6 105的最大公约数为()A.37B.23C.47 D」ll【解析】利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.【答案】A3.用秦九韶算法计算多项式/(x)=3』+4x' + 5J+6F + 7无? + &:+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A.6,6B.5,6C.5,5D.6,5【解析】秦九韶算法中需用加法和乘法的次数，由多项式的次数〃可知，・・・选A.【答案】A4.五次多项式=4x5 + 3x4+2x3—x2—x—用秦九韶算法求2)等丁，()【导学号：25440023 ］c：183 D.- 183【解析】Vy(x) = ((((4x+ 3)x+2)x—l)x~ l)x—g,・\A—2) = ((((4X( —2) + 3)X( —2) + 2)X( —2)—1)X(—2)—1)X( —2)—*197【答案】A5.已知J(X)=X5+2X3+3X2+X+ 1,应用秦九韶算法计算x=3时的值时，6的值为()A.27B.11C.109D.36【解析】将函数式化成如下形式，Xx)=((((%+0)x+2)x+3)x+l)x+1,由内向外依次计算：5)=1，可=1 X3+0=3,^2 = 3X3 + 2=11,6=11X3 + 3 = 36,5 = 36X3 + 1 = 109,^=109X3 + 1=328.【答案】D二、填空题6.___________________________________________________ 用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为______________________【解析】第一步为较大的数减去较小的数.【答案】134—36=987.用秦九韶算法求多项式A-v) = 7?+5x4+ 10x3+ 10X2+5X+ 1当兀=一2时值的算法：①第一步，x= ~2.第二步，.心) = 7f+5<+1OF+1O X2+5X+1.第三步，输出/U).②第一步，x=—2.第二步，/%) = ((((7x4-5)x+ 10)x+ 10)x+5)x+l.第三步，输出/(兀).③需要计算5次乘法，5次加法.④需要计算9次乘法，5次加法.以上说法中正确的是_______ (填序号).【解析】①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错.对于一元最高次数是n 的多项式，应用秦九韶算法需要运用〃次乘法和〃次加法，故③正确.【解析】②③8.用秦九韶算法求多项式Ax)= 1 +5x+ 10?+ 10X3+5X4+X5在兀=一2的值时，“的值为_______ •【解析】7W= 1 +5x+ 10x2+ 10X3+5X4+X5={ {[(兀+5)兀 + 10]x+ 10} +5}x+1,・••在x=~2时，° = —2 + 5 = 3, ^2=—2X3 + 10=4,5=4X(—2)+10 = 2.【答案】2三、解答题9.用秦九韶算法求多项式夬兀)=/+2兀5 + 3<+牡3 + 5兀2 + 6兀当兀=2时的值.【解】y(x)=x6+2x5 + 3x4+4x3 + 5X2 + 6x=(((((x+2)x4- 3)x+4)x+5 )x+6)x所以有171=1X2+2 = 4；02=4X2 + 3 = 11；6= 11 X2+4=26；5 = 26X2 + 5 = 57；^5 = 57X2 + 6=120；u6= 120X2 = 240.故当x=2时，多项式X X)=X6+2X5+3X4+4X3+5X2+6X的值为240.10.求三个数168,54,264的最大公约数.【解】・・・(168,54)~ (114,54)-(60,54)-> (6,54)->(6,48)~ (6,42)f (6,36)-> (6,30)-(6,24)f(6,18)-> (6,12)-> (6,6),・•・168和54的最大公约数为6.•・• (54,264)-(210,54)-> (156,54)-(102,54)-*(48,54)-* (48,6)-(42,6)f ・・•一(6,6),A 54和264的最大公约数为6.故168,54,264的最大公约数为6.［能力提升］1.下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的最大公约数不同()A.1 120,735B.385,350C.385,735D.l 855,325【解析】・・・(1 855,1 120)—(735,1 120)-> (735,385)-(350,385)-(350,35)-*(315,35)—->(35,35),・・・1 855与1 120的最大公约数是35,由以上计算过程可知选D.【答案】D2.用秦九韶算法计算多项式X%)=? -12x5 + 60/ -160x3 + 240? -192%+64, 当x=2时的值为()A.-10B.40C.OD.32【解析】将/U)改写为Xx) = (((((x- 12)x+60)x- 160)x+240)x- 192)x+64.由内向外依次计算一次多项式当x=2时的值%=1，V\= 1 X2—12 = — 10,U2=-10X2+60=40,5=40X2—160=—80,“=—80X2 + 240 = 80,^5 = 80X2—192=—32,%=—32X2 + 64 = 0.・・・人2) = 0,即兀=2时，原多项式的值为0.【答案】C3用秦九韶算法求函数y(x)= 1 +2X+X^—3X3+2X4,当兀=—1时的值时，^2的结果是__________.【解析】此题的n=4,血=2,如=—3,。
2019高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例练习 新人教B版必修3
1.3 中国古代数学中的算法案例课时过关·能力提升1下列方法中能求两个正整数的最大公约数的是()A.割圆术B.更相减损之术C.秦九韶算法D.以上均可2用更相减损之术求得95与19的最大公约数为()A.5B.12C.19D.295与19的最大公约数为19.3284和1 024的最小公倍数是()A.1 024B.142C.72 704D.5681 024÷284=3(余172),284÷172=1(余112),172÷112=1(余60),112÷60=1(余52),60÷52=1(余8),52÷8=6(余4),8÷4=2(余0),则1 024与284的最大公约数是4,故它们的最小公倍数704.4用秦九韶算法求多项式f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2在x=-3时的值的过程中,所做的加法次数为a,乘法次数为b,则a,b的值为()A.a=4,b=4B.a=5,b=5C.a=5,b=4D.a=6,b=5f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2=((((6x+1)x+4)x+5)x+3)x+2.因此,需做5次乘法,5次加法.5用秦九韶算法求多项式f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6在x=-1.3时,令v0=a6;v1=v0x+a5;…;v6=v5x+a0时,v3的值为()A.-9.820 5B.14.25C.-22.445D.30.978 5f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6=(((((x-5.2)x+6)x-3.66)x+1.8)x+0.35)x+2,于是v0=a6=1,v1=1×(-1.3)-5.2=-6.5,v2=-6.5×(-1.3)+6=14.45,v3=14.45×(-1.3)-3.66=-22.445.6用程序框图表示“割圆术”,将用到()A.顺序结构B.条件分支结构C.顺序结构和循环结构D.三种基本逻辑结构.7用更相减损之术求36和135的最大公约数,第一步应为..-36=998秦九韶算法中有n个一次式,若令v0=a n,我们可以得n-k循环9已知一个5次多项式f(x)=x5+0.5x4-4x2+5x-9,用秦九韶算法求当x=x0时多项式的值,可把多项式写成:.,x3项不存在,可把该项看作0·x3.(x)=((((x+0.5)x)x-4)x+5)x-910求三个数168,54,264的最大公约数.168与54的最大公约数.(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,1 8)→(6,12)→ (6,6),故168和54的最大公约数为6.采用辗转相除法求6与264的最大公约数.因为264=44×6+0,所以6为264与6的最大公约数,故三个数的最大公约数是6.11用秦九韶算法求当x=2时,f(x),把多项式改写为如下形式:f(x)x=2时的值.v0故当x=2时,f(x)=-11.★12有甲、乙、丙三种溶液,分别为4 200 mL,3 220 mL和2 520 mL,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶子装入液体的体积相同.问:要使三种溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少,则小瓶的容积应为多少毫升?,就是求这三种溶液体积的最大公约数.先求4 200与3 220的最大公约数;∵4 200=3 220×1+980,3 220=980×3+280,980=280×3+140,280=140×2,∴4 200与3 220的最大公约数为140.再求140与2 520的最大公约数;∵2 520=140×18,∴140与2 520的最大公约数为140.综上知,4 200,3 220和2 520的最大公约数为140.∴小瓶的容积应为140 mL.。