有限元、边界元、无网格法的比较

首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：
1、网格划分
有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。

单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。

由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。

无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。

节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。

几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。

(a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代
图1 网格-节点示意图
2、形函数的产生：
有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。

有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。

形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。

无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。

3、边界条件
有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。

无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。

，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。

4、系统离散方案
有限元法是建立在虚功原理上的。

若给出控制微分方程，对于固体结构或流体, 都可以从加权残值法推出更普遍意义上的有限元公式，其可以得到一个对称的刚度矩阵。

无网格法有基于积分弱形式和积分强形式两种离散方案, 弱形式在稳定性和精度上都好于强形式。

5、系统方程的求解
有限元法的被积函数是多项式, 可以用高斯积分精确计算，而无网格法问题域是用节点离散的，不存在网格，一般需采用特殊的方案计算积分，无网格法在构造形函数和求解时需更多的计算时间, 系统矩阵半带宽相对于有限元法来讲要大一些，但无网格法的结果比有限元精度高，且得到的场函数及其梯度在整个求解域内是连续的，无需寻求光滑梯度场的后处理。

其次，边界元法始于弹性力学，进而应用于流体力学、热力学、电磁工程、土木工程等诸多领域，并已从线性、静态问题沿拓到非线性、时变问题的研究范畴。

边界元法也是以积分方程为基础的，其主要特点是：
1、降低问题求解的空间维数。

本方法将给定空间区域的边值问题通过包围该区域边界面上的边界积分方程来表示，从而降低了问题求解的空间维数。

2、方程组阶数降低，输入数据量减少。

如前所述，待求量将仅限于边界节点，这不仅简化了问题的前处理过程，而且大幅度降低了待求离散方程组的阶数。

3、计算精度高。

本方法直接求解的是边界广义场源的分布。

根据不同的问题，广义场源可以是位势、场源或等效场源。

场域中任一点的场量将通过线性叠加各离散的广义场源的作用而求得，无须再经微分运算。

此外，由于只对边界离散，离散化误差仅仅来源于边界。

所以边界元法较之有限元法，可望有较高的计算精度。

4、易于处理开域问题。

本方法只对有限场域或无限场域的有限边界进行离散化处理并求解，因此特别适合于开域问题。

关于有限元和边界元的区别和对比归纳如下：
1、边界元方法使问题的维数降低一维，例如：三维问题变为二维问题，二维变成一维问题。

使得解题的自由度下降。

2、边界元相对于有限元来说，在相同离散精度的条件下，边界元解的精度要高于有限元。

3、边界元方法在有些情况下，可以较容易地处理有限元方法很难处理的问题，例如无限域问题，断裂问题等。

4、在问题的规模(自由度)不大的情况下，边界元的解题速度高于有限元方法。

但是，由于边界元方法形成的线性方程组的系数矩阵是满阵，所以在处理大规模
问题时遇到了困难，解题的规模受到限制。

适合于处理中小规模问题。

5、边界元适合于处理位势问题、弹性问题，而在处理弹塑性问题或大的有限变形问题时，由于需要对物体进行体积离散，此时，边界元降维的优点消失。

所以会在处理这一类问题时遇到一些困难。

6、边界元相对于有限元来说，其软件的商业化程度远不如有限元。

所以，其处理问题时，一般是针对某一问题专门编制程序进行计算，其前、后处理的工作量较大。

7、边界元方法解题需要求出问题的基本解，基本解的推导一般比较复杂。

通过许多学者的努力对于一些问题，基本解已经被推导出来，但是，对于某些问题，问题的基本解很难求出。

8、有限元基于区域上的变分原理和剖分插值，边界元基于边界归化及边界上的剖分插值；有限元属于区域法，其剖分涉及到整个区域，而边界元只需对边界离散，因此，可以降低求解问题的维数；
最后，扩展有限元方法是对传统有限元法进行了重大改进。

扩展有限元法的核心思想是用扩充带有不连续性质的形函数来代表计算区域内的间断，在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，在处理断裂问题有较好的优越性。

扩展有限元是一种在常规有限元位移模式中基于单位分解的思想加进一个跳跃函数和裂尖渐进位移场以反应位移不连续性的新的数值方法。

裂纹独立于计算网格，因此，能方便分析裂纹扩展并模拟裂纹的任意路径，还可以模拟带有孔洞和夹杂的非均质材料。