构造法-构造方程法
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构造法之构造方程法
构造方程主要依据两类条件:
21212:4,、题设中有形式、题设中有韦达定理:形式
主要依据、题设中条件:共性构建相同结构的方程形式
、的求最值作用b ac x x u x x v C D ⎧A ∆=-⎪
B +==⎪⎨
⎪⎪∆⎩
A 类、△形式
例1、柯西(Cauchy )不等式
()22211n n b a b a b a +++ ()()2222221212n n a a a b b b ≤++++++ ()n i R b a i i 2,1,=∈
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立(k 为常数,n i 2,1=)
现将它的证明介绍如下:
证明1:构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=
=()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++
22120n
n a a a +++≥
()0f x ∴≥恒成立
()()()2
222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤
即()()()2
222211221212n
n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即12
12n n
a a a
b b b === 时等号成立
例2、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0 求证:x 、y 、z 成等差数列。
分析:注意到条件中的等式右边代数式的结构特点,容易联想起一元二次方程根的判别式,为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t 2+(z-x)t+(y-z)=0 ( * ) 由题可知⊿ =(z-x)2-4(x-y)(y-z )=0 ∴方程(*)有两个相等实根 又∵(x-y)+(z-x)+(y-z )=0
∴t =1为方程(*)的一个根,从而t 1=t 2=1 由韦达定理得:t 1·t 2=
x y
y z
-- 从而2y=x+z ,命题得证。
例3.设c b a ,,为实数.若0))((<+++c b a c a ,证明:)(4)(2c b a a c b ++>-;
分析:所证不等式0)(4)(2>++--⇔c b a a c b ,联想到一元二次方程的根的判别式
AC B 42-,因此可以构造二次函数)()()(2c b a x c b ax x f +++-+=,只要证得方程0)(=x f 有
两根或)(x f 与x 轴相交即可.
当0=a 时,由已知条件可得 c b ≠.(否则,若c b =,则020)(2<⇔<+b c b c ,不成立).当
0≠a 时,设)()()(2c b a x c b ax x f +++-+=,
因为 )(2)1(,)0(c a f c b a f +=-++=,由已知 0))((<+++c b a c a , 所以 0)1()0(<-⋅f f , 所以 二次函数)(x f 的图象与x 轴相交, 故0)(4)(2>++--=∆c b a a c b ,即 )(4)(2c b a a c b ++>-.
说明,有些不等式的证明,如果借助已知条件的特点,通过构造二次函数来处理将会非常简捷,这种例子很多.
例4、 已知 ,,
,,)2
2
(π
πγβα-∈
求证:)tan tan 2)(tan 2(tan tan tan 2
γβαγβα--≥-)(
证明:构造方程 0)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan 2=-+---γββααγx x (*)
不等式成立∴≥-=-0)tan (tan 0
tan 2tan .12
βααγ
)的根
是方程(时当*10)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan ,10
tan 2tan .2-=∴=-+-+--=≠-x x γββααγαγ )
tan tan 2)(tan 2(tan )tan (tan 0)tan tan 2)(tan 2(tan 4)tan (tan 42
2γβαγβαγβαγβα--≥-∴≥----=∆∴
例5、已知16cos 4sin tan 0C B A ++=,2sin 4cos tan B C A =⋅,其中0cos ≠C
试确定cot cos A C ⋅的值.
分析与解:由A C B tan cos 4sin 2⋅=,诱发我们想到一元二次方程判别式.并且判别式等于0方程有等根.为此,不妨一试.
令4=t ,则前一式改写为 ()2cos sin tan 0
t C t B A ++=*
因为0cos ≠C ,所以()*式是 t 的一元二次方程.由第二个关系式推知,()*的判别式
2sin 4cos tan 0,B C A ∆=-⋅=所以,关于t 的一元二次方程()*有等根,即421==t t .
由韦达定理得,
212tan 416,cos A
t t C =⋅==所以tan 0.A ≠ 因此,1
cot cos 16
A C ⋅=.