构造法-构造方程法

构造法之构造方程法

构造方程主要依据两类条件：

21212:4,、题设中有形式、题设中有韦达定理：形式

主要依据、题设中条件：共性构建相同结构的方程形式

、的求最值作用b ac x x u x x v C D ⎧A ∆=-⎪

B +==⎪⎨

⎪⎪∆⎩

A 类、△形式

例1、柯西（Cauchy ）不等式

()22211n n b a b a b a +++ ()()2222221212n n a a a b b b ≤++++++ ()n i R b a i i 2,1,=∈

等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）

现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=

=()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++

22120n

n a a a +++≥

()0f x ∴≥恒成立

()()()2

222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤

即()()()2

222211221212n

n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++

当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即12

12n n

a a a

b b b === 时等号成立

例2、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0 求证：x 、y 、z 成等差数列。

分析：注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t 2+(z-x)t+(y-z)=0 ( * ) 由题可知⊿ =(z-x)2-4(x-y)(y-z )=0 ∴方程（*）有两个相等实根 又∵(x-y)+(z-x)+(y-z )=0

∴t =1为方程（*）的一个根，从而t 1=t 2=1 由韦达定理得：t 1·t 2=

x y

y z

-- 从而2y=x+z ，命题得证。

例3．设c b a ,,为实数.若0))((<+++c b a c a ，证明：)(4)(2c b a a c b ++>-；

分析：所证不等式0)(4)(2>++--⇔c b a a c b ，联想到一元二次方程的根的判别式

AC B 42-，因此可以构造二次函数)()()(2c b a x c b ax x f +++-+=，只要证得方程0)(=x f 有

两根或)(x f 与x 轴相交即可．

当0=a 时，由已知条件可得 c b ≠.（否则，若c b =，则020)(2<⇔<+b c b c ，不成立）．当

0≠a 时，设)()()(2c b a x c b ax x f +++-+=，

因为 )(2)1(,)0(c a f c b a f +=-++=，由已知 0))((<+++c b a c a ， 所以 0)1()0(<-⋅f f ， 所以 二次函数)(x f 的图象与x 轴相交， 故0)(4)(2>++--=∆c b a a c b ，即 )(4)(2c b a a c b ++>-.

说明，有些不等式的证明，如果借助已知条件的特点，通过构造二次函数来处理将会非常简捷，这种例子很多．

例4、 已知 ，，

，，)2

2

(π

πγβα-∈

求证：)tan tan 2)(tan 2(tan tan tan 2

γβαγβα--≥-）（

证明：构造方程 0)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan 2=-+---γββααγx x （*）

不等式成立∴≥-=-0)tan (tan 0

tan 2tan .12

βααγ

）的根

是方程（时当*10)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan ,10

tan 2tan .2-=∴=-+-+--=≠-x x γββααγαγ )

tan tan 2)(tan 2(tan )tan (tan 0)tan tan 2)(tan 2(tan 4)tan (tan 42

2γβαγβαγβαγβα--≥-∴≥----=∆∴

例5、已知16cos 4sin tan 0C B A ++=，2sin 4cos tan B C A =⋅，其中0cos ≠C

试确定cot cos A C ⋅的值.

分析与解：由A C B tan cos 4sin 2⋅=，诱发我们想到一元二次方程判别式.并且判别式等于0方程有等根.为此，不妨一试.

令4=t ，则前一式改写为 ()2cos sin tan 0

t C t B A ++=*

因为0cos ≠C ，所以()*式是 t 的一元二次方程.由第二个关系式推知，()*的判别式

2sin 4cos tan 0,B C A ∆=-⋅=所以，关于t 的一元二次方程()*有等根，即421==t t .

由韦达定理得，

212tan 416,cos A

t t C =⋅==所以tan 0.A ≠ 因此，1

cot cos 16

A C ⋅=.