数值计算方法教案数值积分
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第四章 数值积分
一．问题提出： （1）针对定积分()b
a
I f x dx =⎰
，若()5
f x x =,a=0,b=1，即有1
61
500166
x I x dx ==
=⎰，但当()sin x
f x x
=
，()2sin f x x =，……，时，很难找到其原函数。 （2）被积函数并没有具体的解析形式，即()f x 仅为一数表。 二．定积分的几何意义
定积分()b
a I f x dx =⎰的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面
积，这四条曲线分别是()y f x =，y=0，x=a ，x=b 。
x
y
三．机械求积公式 1.中矩形公式
()()2b
a a
b I f x dx b a f +⎛⎫
=≈- ⎪⎝⎭
⎰； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
x
y
2
2.梯形公式
()()()2b
a b a
I f x dx f a f b -=≈
+⎡⎤⎣
⎦⎰ 梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：
x
y
3.辛普生公式
()()()462b
a
b a a b I f x dx f a f f b -⎡
+⎤⎛⎫
=≈
++ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰ 辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由
()(),(),,,,()22a b
a b a f a f b f b ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
三点构成。
x
y
a+b 2
4.求积公式的一般形式
()()0
n
b
k
k
a
k f x dx A f x =≈∑⎰，其中k x 称为节点，k
A 称为求积系数，或权。
5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）
含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。
定义：若某积分公式对于()0,1,,k x k m =均能准确成立，但对于1m x +不能准确成立。则
称该公式具有m 次代数精度。
解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
例1．研究中矩形公式()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫
≈- ⎪⎝⎭
⎰的代数精度及几何意义。 解：当()01f x x ==时，公式左边()1b b
a
a
f x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右；
当()1
f x x =时，公式左边()2222
2
b
b b
a
a
a
x
b a f x dx x dx -===
=⎰⎰
，
公式右边()22
22a b b a
b a +-⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()3332
33
b
b b
a
a
a x
b a f x dx x dx -====⎰⎰
，
公式右边()2
2a b b a +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，左≠右；
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。
x
y
2
例2．研究梯形公式()()()2b
a b a
I f x dx f a f b -=≈
+⎡⎤⎣
⎦⎰的代数精度及几何意义。 解：当()0
1f x x ==时，公式左边()1b
b
a
a
f x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右；
当()1
f x x =时，公式左边()2222
2
b
b b
a
a
a
x b a f x dx x dx -===
=⎰⎰
，
公式右边()22
22
b a b a a b --=+=
，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()3332
33
b
b b
a
a
a x
b a f x dx x dx -====⎰⎰
，
公式右边()2
22
b a a b -=
+，左≠右。 故梯形公式也具有1次代数精度。
从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。
x
y
例3．研究辛普生公式()()()462b
a b a a b I f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫
=≈
++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰的代数精度及几何意义。
解：当()01f x x ==时，公式左边()1b
b
a
a
f x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右；
当()1
f x x =时，公式左边()2
222
2
b
b b
a
a
a
x b a f x dx x dx -===
=⎰⎰
，
公式右边22
4
622b a a b b a
a b -+-⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()3332
33
b
b b
a
a
a x
b a f x dx x dx -====⎰⎰
，
公式右边()2
33222242226263b a a b b a b a a b a ab b ⎛⎫-+--⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，左=右； 当()3
f x x =时，公式左边()4443
4
4
b
b
b
a
a
a
x b a f x dx x dx -===
=⎰⎰
，
公式右边3
4433
4624b a a b b a a b ⎛⎫-+-⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，左=右； 当()4f x x =时，左≠右； 故梯形公式具有3次代数精度。
当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。