n阶实矩阵可逆的一个判定条件

收稿日期:2004-03-16

作者简介:俱鹏岳(1975-),男,甘肃镇原人,主要从事基础数学的教学和研究。

n 阶实矩阵可逆的一个判定条件

俱鹏岳,徐宏武

(陇东学院数学系,甘肃庆阳745000)

摘要:文章通过对实方矩阵主对角线上元素的讨论,得出判别其可逆的一个条件。关键词:实矩阵;可逆

中图分类号:O151.1 文献标识码:A 文章编号:1671-5365(2004)06-0153-02

定理:设有n 阶实矩阵

a 11

a 12 a 1n a 21a 22 a 2n

a n1

a n2

a nn

如果,|a ii |>

i !j

|a ij |,i=1,2,

,n,则A 可逆

∀分析:为证明A 可逆,只要证明|A|!0#证法一:对阶数n 用数学归纳法

当n=2时,根据题设有|a 11|>|a 12|,|a 22|>|a 21|对|A|=a 11a 22-a 12a 21两边取绝对值有|a 11a 22-a 12a 21| |a 11|∃|a 22|-|a 12|∃|a 21|>0%|A|!0 即A 可逆

假定对这样的n-1阶行列式结论成立,再证对n 阶也成立。

由于|a 11|>|a 12|+ +|a 1n | 0 故a 11!0

现对|A|进行以下变换:第一行分别乘-a 21a 11,-a 31

a 11,

,

-a n1

a 11

后依次加到第2,3, ,n 行,再按第一列展开,得|A|=a 11

b 22

b 23 b 2n b 32b 33 b 3n

b n2

b n3

b nn

=a 11D

其中b ij =a ij -a i1

a 11

a 1j ,i,j=2,3, ,n 且D 为n-1阶行列式,现证D 满足归纳假设条件,即有:|

b i i |> j !i |b ij | i=2,

3,

,n

1

只证|b 22|>|b 23|+|b 24|+ +|b 2n |,其余同理

即要证|a 22-

a 21a 11a 12|>|a 23-a 21a 11a 13|+ +|a 2n -a 21

a 11

a 1n |

两边乘以|a 11|有

|a 11a 22-a 21a 12|>|a 11a 23-a 21a 13|+ +|a 11a 2n -a 21a 1n |但由|a i i |> j !i

|a ij |及不等式性质知|a 11a 23-a 21a 13|+|a 11a 24-a 21a 14|+ +|a 11a 2n -a 21a 1n |

|a 11a 23|+|a 21a 13|+|a 11a 24|+|a 21a 14|+ |a 11a 2n |+|a 21a 1n |=|a 11|(|a 23|+ +|a 2n |)+|a 21|(|a 13|+ +|a 1n |)<|a 11|(|a 22|-|a 21|)+|a 21|(|a 11|-|a 12|)=|a 11a 22|-|a 12a 21| |a 11a 22-a 12a 21|%|b 22|>|b 23|+|b 24|+ +|b 2n |

于是由归纳假设D !0,从而|A |=a 11 D !0

即A 可逆证法二,反证法

若|A|=0,则A 的列向量 1, 2, , n 线形相关,

(其

中 i =(a 1i ,a 2i ,

,a ni )T

,故存在不全为零的实数k 1,k 2,

,k n 使:k 1 1+k 2 2+ +k n n =0

于是有:

a 11k 1+a 12k 2+ +a 1n k n =0

a 21k 1+a 22k 2+ +a 2n k n =0 a n1k 1+a n2k 2+ +a nn k n =0

现在不妨设|k 1|=max (|k 1|,|k 2|, ,|k n |),于是|

a 11k 1|=|-a 12k 2- -a 1n k n |

有|a 11||k 1| |a 12||k 2|+ +|a 1n ||k n | (|a 12|+ +|a 1n |)|k 1|

153 第6期 NO 6 宜宾学院学报 Journal of Yibin Un i versity DECEM LEI 2004

即:|a11| |a12|+ +|a1n|

这与题设矛盾,故有|A|!0,A可逆

推论:设n阶实矩阵A,若a i i>

j!i

|a ij|,i,j=1,2, , n,则A可逆

参考文献:

∀1#张和瑞.高等代数∀M#.北京:高等教育出版社,1999.

∀2#黎伯堂.高等代数解题技巧与方法∀M#.济南:山东科学技术出版社,1999.

∀3#北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数∀M#.北京:高等教育出版社,2003.

One Condition To Judge Whether n-order Real Matrix Inversion

J U Peng-yue,X U Hong-w u

(Mathematic Department,Long dong University,Qingyang745000,China)

Abstract:Through discussing the elements in leading diagonal of n-order matrix,we can draw a conclusion that it can be used to judge w hether n-order real matrix is inversive.

Key words:Real Matrix;Inversive

(上接第150页) 汉字的形神美,让汉字为世界更多的人所理解、推崇和使用,是中国语言文字工作者的一项使命。

参考文献:

∀1#唐兰.中国文字学∀M#.上海:上海古籍出版社,2001.

∀2#王学作.有趣的汉字∀M#.成都:四川少儿出版社,1983.

∀3#秦楠.谈谈汉字的美学价值∀J#.汉字文化,2001,(1):45 -45.

∀4#黄伯荣,廖序东.现代汉语∀M#.北京:高等教育出版社, 1997.

∀5#裘锡圭.汉字学概要∀M#.北京:商务印书馆,1999.

On the Beauty of Chinese Characters

Z H AO Yong-ming

(Chinese Department,West Normal U niversity,Nanchong637002,China)

Abstract:The Chinese character is an exotic flower in human written language.It is characterized by a sense of beauty on pictograph,structure,vivid description,cauigraphy,and transcedence of time and space,which fully demonstrate the aesthetics of the Chinese characters.

Key words:Cauig raphic Beauty;Implication Beauty;Trunscedendal Beauty

154 宜宾学院学报 2004年6期