第九章 方差分析
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有5个试验数据.可重新表示为 表9-3 不同装配方法所需时间(分)
水平(i) 试验(j)
1 2 3 4 5
4/11/2020
方法1(A1)
x11=18.6 x12=17.8 x13=19.5 x14=18.4 x15=19.3
方法2(A2)
x21=22.4 x22=21.5 x23=22.6 x24=23.0 x25=21.8
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§9.2 单因子方差分析
第七章
单因子方差分析所涉及的因子只有一个, 而这个因 子又具有多种水平. 分析的目的在于判断多种水平之 间的差异是否显著, 以及哪种水平为最优. 步骤:
(1) 设计试验方案, 搜集 试验数据. 若将考察的因子用
A表示, 则A1, A2 , ... Ar 表示试验所选择的水平, xij表示 试验获得的数据. 如例9.1中中有三个水平, 每个水平
1. 单因子方差分析
单因子方差分析涉及的因子只有一个, 而这个因子又 具有不同的状态或水平. 分析的目的在于判断不同的 状态或水平是否具有显著的差异.
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第七章
例9.1 某机械部件有三种不同的装配方法(A1, A2, A3), 工厂选15名工人, 分为5组, 每组3人, 分别用三种方法 装配机械部件, 每组每名工人装配所需的时间刻录为 下表, 若考察三种装配方法的效果是否有显著的差别, 就可以采用单因子方差分析.
(i)求各水平的样本平均数:
xi
1 ni
xij
(ii)求各水平的误差平方和: (xij xi)2
(iii)求各水平误差平方的总和: Q 1 (xijxi)2
(iv) 求各水平样本平均数的平均数: (v)计算因子影响的离差平方和:
x ni xi xij
ni
n
Q 2 ni(xix)2
(vi)计算全部数据的误差平方和 Q (x ij x )2 Q 1 Q 2
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三. 方差分析的应用条件
第七章
方差分析是通过对误差的分析来研究判断多个正态 总体均值是否相等的一种统计分析方法, 其应用条件:
(1) 检验因子有r 种水平, X1, X2, …, Xr是r个相互独立 的正态总体, 分别服从于 N(i , 2)
(2) 各组样本测量或观察数据是从相同方差的相互独 立的总体中分别抽取的.
需采用双因子方差分析.
表9-2 某企业新产品试销量数据 (单位: 百台)
时期
地区Fra Baidu bibliotek
B1
B2
B3
B4
B5
A1
13.0
3.6
7.2
7.4
15.2
A2
28.4
14.2
21.6
17.8
25.2
A3
26.8
18.8
14.4
17.2
15.0
A4
4.8
3.0
3.4
4.6
5.6
A5
12.4
9.6
9.8
9.2
10.4
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四. 方差分析的基本程序
(1) 设计方案, 搜集数据. 即列出因子的不同状态, 并 随机抽取不同的样本, 以获得各状态下样本数据.
(2) 建立假设. 即假定因子的不同水平的样本平均数 相等, 或假定因子的不同水平样本平均数不相等.
H 0: x 1x2x3xr,
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H 1: x 1x2x3xr,
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第七章
(3) 计算方差. 即需要计算总方差 S2 , 因子方差
S
2 2
和
随机方差
S
2 1
,
因子方差是因子各水平能解释的部分,
随机方差是因子各水平不能解释的部分, 是随机因素
造成的误差.
(4) 计算统计量F值, 作F假设检验. 统计量F是因子方
差除以随机方差求得的比值. 即 (5) 计算效应值, 选择最优水平.
第九章 方差分析
第七章
本章主要阐述方差分析的基本理论和方法. 方差分析是通过 对方差的分析研究来判断多个正态总体平均值是否相等的一种 统计分析方法.其可以判断在影响某个变量的众多因素中, 哪些 因素影响大, 哪些影响小.
§9.1 方差分析的基本概念
一. 方差分析的基本问题
方差是各变量值与算术平均数的离差平方的平均数. 方差分析就是利用方差来判断多个正态总体的均值是 否相等, 或者检验两个以上的样本平均数之间的差异 是否具有显著性的一种统计分析方法.
第七章
双因子方差分析涉及的因子有两个, 而每个因子又具 有不同的状态或水平. 分析的目的在于同时研究两个 因子对某一指标或变量的影响.
例9.2 某企业分别在五个地区建立了某种新产品的销
售点A1, A2, A3, A4, A5, 共记录了5个月的试销期的销售 量分别为B1, B2, B3, B4, B5, 如下表, 若要分析不同地区 和不同时期两个因子对销售量是否有显著的影响, 就
表9-1 不同装配方法所需时间(分)
组别(样本)号
1 2 3 4 5
方法1(A1)
18.6 17.8 19.5 18.4 19.3
方法2(A2)
22.4 21.5 22.6 23.0 21.8
方法3(A3)
25.8 24.6 25.3 24.8 24.2
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2. 双因子方差分析
方法3(A3)
x31=25.8 x32=24.6 x33=25.3 x34=24.8 x35=24.2
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第七章
(2) 建立假设. 即假定因子的不同水平的样本平均数相 等, 或假定因子的不同水平样本平均数不相等.
H 0:x 1x2x3xr, H 1:x 1x2x3xr,
(3) 计算方差. 编制方差分析表. 计算过程与方法为
其作用是主要在于判断在影响某变量的众多的因素 中, 哪些因素起主要作用, 或判断在不同方案中哪一个 最好.
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二. 方差分析的种类
第七章
在方差分析中, 通常称因素或因子的不同状态为水 平, 记作A1, A2 , ... 或B1, B2, ... , 例如用三种不同的方 法来装配一个部件, 则装配部件这个因子具有三种状 态或三个水平；方差分析按涉及的因子不同, 可分为 单因子方差分析和双因子方差分析两种.
若FF假S22设S12检~F 验(r拒1绝,nHr0),
接受H1, 则可进一步计算因子的各水平效应值 i xi x
即各水平的平均数与总体平均数之差. 若因子为产量,
销售量, 利润等指标时, 就选择效应值最大者为最优水
平；当因子为时间, 成本, 费用等指标时, 就选择效应
值最小为最优水平.
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水平(i) 试验(j)
1 2 3 4 5
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方法1(A1)
x11=18.6 x12=17.8 x13=19.5 x14=18.4 x15=19.3
方法2(A2)
x21=22.4 x22=21.5 x23=22.6 x24=23.0 x25=21.8
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§9.2 单因子方差分析
第七章
单因子方差分析所涉及的因子只有一个, 而这个因 子又具有多种水平. 分析的目的在于判断多种水平之 间的差异是否显著, 以及哪种水平为最优. 步骤:
(1) 设计试验方案, 搜集 试验数据. 若将考察的因子用
A表示, 则A1, A2 , ... Ar 表示试验所选择的水平, xij表示 试验获得的数据. 如例9.1中中有三个水平, 每个水平
1. 单因子方差分析
单因子方差分析涉及的因子只有一个, 而这个因子又 具有不同的状态或水平. 分析的目的在于判断不同的 状态或水平是否具有显著的差异.
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第七章
例9.1 某机械部件有三种不同的装配方法(A1, A2, A3), 工厂选15名工人, 分为5组, 每组3人, 分别用三种方法 装配机械部件, 每组每名工人装配所需的时间刻录为 下表, 若考察三种装配方法的效果是否有显著的差别, 就可以采用单因子方差分析.
(i)求各水平的样本平均数:
xi
1 ni
xij
(ii)求各水平的误差平方和: (xij xi)2
(iii)求各水平误差平方的总和: Q 1 (xijxi)2
(iv) 求各水平样本平均数的平均数: (v)计算因子影响的离差平方和:
x ni xi xij
ni
n
Q 2 ni(xix)2
(vi)计算全部数据的误差平方和 Q (x ij x )2 Q 1 Q 2
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三. 方差分析的应用条件
第七章
方差分析是通过对误差的分析来研究判断多个正态 总体均值是否相等的一种统计分析方法, 其应用条件:
(1) 检验因子有r 种水平, X1, X2, …, Xr是r个相互独立 的正态总体, 分别服从于 N(i , 2)
(2) 各组样本测量或观察数据是从相同方差的相互独 立的总体中分别抽取的.
需采用双因子方差分析.
表9-2 某企业新产品试销量数据 (单位: 百台)
时期
地区Fra Baidu bibliotek
B1
B2
B3
B4
B5
A1
13.0
3.6
7.2
7.4
15.2
A2
28.4
14.2
21.6
17.8
25.2
A3
26.8
18.8
14.4
17.2
15.0
A4
4.8
3.0
3.4
4.6
5.6
A5
12.4
9.6
9.8
9.2
10.4
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四. 方差分析的基本程序
(1) 设计方案, 搜集数据. 即列出因子的不同状态, 并 随机抽取不同的样本, 以获得各状态下样本数据.
(2) 建立假设. 即假定因子的不同水平的样本平均数 相等, 或假定因子的不同水平样本平均数不相等.
H 0: x 1x2x3xr,
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H 1: x 1x2x3xr,
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第七章
(3) 计算方差. 即需要计算总方差 S2 , 因子方差
S
2 2
和
随机方差
S
2 1
,
因子方差是因子各水平能解释的部分,
随机方差是因子各水平不能解释的部分, 是随机因素
造成的误差.
(4) 计算统计量F值, 作F假设检验. 统计量F是因子方
差除以随机方差求得的比值. 即 (5) 计算效应值, 选择最优水平.
第九章 方差分析
第七章
本章主要阐述方差分析的基本理论和方法. 方差分析是通过 对方差的分析研究来判断多个正态总体平均值是否相等的一种 统计分析方法.其可以判断在影响某个变量的众多因素中, 哪些 因素影响大, 哪些影响小.
§9.1 方差分析的基本概念
一. 方差分析的基本问题
方差是各变量值与算术平均数的离差平方的平均数. 方差分析就是利用方差来判断多个正态总体的均值是 否相等, 或者检验两个以上的样本平均数之间的差异 是否具有显著性的一种统计分析方法.
第七章
双因子方差分析涉及的因子有两个, 而每个因子又具 有不同的状态或水平. 分析的目的在于同时研究两个 因子对某一指标或变量的影响.
例9.2 某企业分别在五个地区建立了某种新产品的销
售点A1, A2, A3, A4, A5, 共记录了5个月的试销期的销售 量分别为B1, B2, B3, B4, B5, 如下表, 若要分析不同地区 和不同时期两个因子对销售量是否有显著的影响, 就
表9-1 不同装配方法所需时间(分)
组别(样本)号
1 2 3 4 5
方法1(A1)
18.6 17.8 19.5 18.4 19.3
方法2(A2)
22.4 21.5 22.6 23.0 21.8
方法3(A3)
25.8 24.6 25.3 24.8 24.2
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2. 双因子方差分析
方法3(A3)
x31=25.8 x32=24.6 x33=25.3 x34=24.8 x35=24.2
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第七章
(2) 建立假设. 即假定因子的不同水平的样本平均数相 等, 或假定因子的不同水平样本平均数不相等.
H 0:x 1x2x3xr, H 1:x 1x2x3xr,
(3) 计算方差. 编制方差分析表. 计算过程与方法为
其作用是主要在于判断在影响某变量的众多的因素 中, 哪些因素起主要作用, 或判断在不同方案中哪一个 最好.
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二. 方差分析的种类
第七章
在方差分析中, 通常称因素或因子的不同状态为水 平, 记作A1, A2 , ... 或B1, B2, ... , 例如用三种不同的方 法来装配一个部件, 则装配部件这个因子具有三种状 态或三个水平；方差分析按涉及的因子不同, 可分为 单因子方差分析和双因子方差分析两种.
若FF假S22设S12检~F 验(r拒1绝,nHr0),
接受H1, 则可进一步计算因子的各水平效应值 i xi x
即各水平的平均数与总体平均数之差. 若因子为产量,
销售量, 利润等指标时, 就选择效应值最大者为最优水
平；当因子为时间, 成本, 费用等指标时, 就选择效应
值最小为最优水平.
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