激光器的速率方程
电子科大龙格库塔法解半导体激光器速率方程
姓名：李清学号：************ 学院：电子科学技术研究院龙格库塔法解半导体激光器速率方程1、光强与载流子随时间变化曲线图1图22、分析半导体激光器工作原理从图1中我们可以看出激光器工作开始时反转粒子数不断增加，当超过阈值后发生激光的激射。
同时，观察图2我们还可以发现，当发生激射后，反转粒子数还在不断增加，激光光强不断增加。
由于激光的产生是以消耗反转粒子数为代价的，因此载流子数开始减少，小于阈值后便不会继续产生激光。
接着反转粒子数被不断激励，数目增加，超过阈值后又发生激光激射，这就是半导体激光器的工作原理。
3、使用稳态分析推导阈值电流的大小在稳态时，增益等于损耗，也就是G=r，同时电场和载流子数均不随时间变化，将这些带入第二个方程，即可解得结果如下，与之电流为0.058417067A。
4、源程序：t0=0;h=1e-12;tn=1e-8;n=(tn-t0)/h+1;E=zeros(1,n);N=zeros(1,n);E(1)=0.1;N(1)=1e8;t=t0:h:tn;for i=1:n-1E1=f1(N(i),E(i));E2=f1(N(i)+h/2,E(i)+E1*h/2);E3=f1(N(i)+h/2,E(i)+E2*h/2);E4=f1(N(i)+h,E(i)+E3*h);E(i+1)=E(i)+(E1+2*E2+2*E3+E4)*h/6;N1=f2(E(i),N(i));N2=f2(E(i)+h/2,N(i)+N1*h/2);N3=f2(E(i)+h/2,N(i)+N2*h/2);N4=f2(E(i)+h,N(i)+N3*h);N(i+1)=N(i)+(N1+2*N2+2*N3+N4)*h/6;endNn=N(n);In=abs(E(n)).*abs(E(n));N0=1.5e8;g=3.6e3;r=252e9;Nx=r/g+N0;q=1.6e-19;re=1.66e9;I0=re*Nx*q+r*q*E(n);subplot(211)plot(t,abs(E))title('电场强度曲线')xlabel('t')ylabel('E')subplot(212)plot(t,N)title('载流子数变化曲线')xlabel('t')ylabel('N')figure(2),plot(t,abs(E).*abs(E)) title('光强变化曲线')xlabel('t')ylabel('光强')function f1=f1(N,E)a=3;g=3.6e3;N0=1.5e8;G=g*(N-N0);r=252e9;f1=0.5*(1+1i*a)*(G-r)*E;function f2=f2(E,N)I=90e-3;q=1.6e-19;re=1.66e9;g=3.6e3;N0=1.5e8;G=g*(N-N0);f2=I/q-re*N-G*(abs(E))^2;。
matlab对半导体激光器速率方程进行求解
matlab对半导体激光器速率方程进行求解文章标题：深入探讨Matlab对半导体激光器速率方程的求解1. 简介半导体激光器作为一种重要的光电器件，在通信、医疗、材料加工等领域具有广泛的应用。
而速率方程是描述半导体激光器内部过程的重要数学模型，通过对速率方程的求解，可以更好地理解半导体激光器的工作原理和特性。
在本文中，我将结合Matlab软件，就如何利用Matlab对半导体激光器速率方程进行求解展开深入探讨。
2. 半导体激光器速率方程简介半导体激光器速率方程是描述半导体激光器内部电子和光子之间相互作用的重要数学模型。
其一般形式如下：\[ \frac{dn}{dt} = G - \frac{n}{\tau_{n}} - \frac{nI}{I_{s}} \]\[ \frac{dI}{dt} = \frac{e\eta V}{q}n - (\alpha+g)nI \]其中，n为激子数密度，I为激光光强，G为外界注入的光子数密度，τn为激子寿命，I s为饱和光子密度，η为激子与光子的电荷，V为激光器波导体积，q为电子电荷量，e为元电荷，α为损耗系数，g为增益系数。
3. Matlab在对半导体激光器速率方程求解中的应用Matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的数学建模和仿真工具，非常适合用于对半导体激光器速率方程的求解。
利用Matlab，可以通过编写相应的数学模型和算法，实现对速率方程的数值求解。
Matlab提供了丰富的绘图和数据分析功能，可以对求解结果进行直观展示和分析。
4. 在Matlab中编写半导体激光器速率方程求解程序在使用Matlab对半导体激光器速率方程进行求解时，首先需要编写相应的数学模型和算法。
可以利用Matlab的ODE求解器对速率方程进行数值求解。
还可以结合Matlab的优化工具，对速率方程的参数进行拟合和优化，得到更准确的结果。
在编写程序时，应注意处理数值求解的收敛性和稳定性，避免出现数值不稳定或发散的情况。
激光器速率方程
思路小结
• 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式 • 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数 • 原子和准单色光相互作用 • 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级 系统） • 多模振荡速率方程组
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；τ1、τ2为E1 、E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
• In Figure we show the ground state 0 as well as the two laser levels 2 and 1 of a four-level laser system. The density of atoms pumped per unit time into level 2 is taken as R2, and that pumped into 1 is R1. Pumping into 1 is, of course, undesirable since it leads to a reduction of the inversion. In many practical situations it cannot be avoided. The actual decay lifetime of atoms in level 2 at the absence of any radiation field is taken as t2. This decay rate has a contribution tspont which is due to spontaneous (photon emitting)2→1 transition as well as to additional non-radiative relaxation from 2 to 1. The lifetime of atoms in level 1 is t1.
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
太原理工大学物理与光电工程学院
1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
太原理工大学物理与光电工程学院
F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
第四章典型激光器 的速率方程
dDn Dn Dn 21 n l ,n 0 )vNl n0W03 dt 2
2
1 A21 S21
dDn Dn ) Dn 21 n l ,n 0 vN n0W03 dt 2 n0W03 2 n0 w03 2 Dn 0 Dn 21 n 1 ,n 0 ) 2 In1 In 1 1 21 n 1 ,n 0 )vN 2 1 1 hn 0 I s n 1 ) dDn0 Dn0 1 I s n1 ) n0W03 In1 Nh n1v n 0 , n 0 , 3 1 dt 2
S10
dn0 n1 S10 n0W03 n3 A30 dt
dNl Nl Nl f2 n2W21 n1W12 (n2 n1 ) 21 n ,n 0 )vN l dt Rl f1 Rl
n0 n1 n2 n3 n
忽略n3W30 , n2A21 ?
• 小信号增益曲线的形状完全取决于谱线线型函数 均匀加宽介质
中心频率处小 信号增益系数
2 ) D n 2 0 0 H n ) g H n 0 ) gH 2 n n 0 ) Dn H 2)2
g n 0 ) Dn 21
0 H 0
v A21 Dn 2 4 2n 0 Dn H
ln 2
g n)
Dn n )
• 增益线宽～ (自发辐射)荧光线宽DnF 氦氖 Nd:YAG 钕玻璃 若丹明 6G GaAlAs (0.85mm) InGaAsP (1.55mm)
荧光线宽（s-1） 1.5×109 1.95×1011 7.5×1012 5×1012~3×1013 1013 1012~1013
1 2 n
N l N l 1 ,N l 2 N l n
激光原理与技术 第18讲 速率方程、小信号增益系数
当粒子从E2能级跃迁到E1 能级后，必须使其迅速的
回到基态，即要求S10较大， S10称为下能级抽空速率；
5
18.1 单模振荡速率方程
四能级 系统速 率方程
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
dn2
dt
n2
g2 g1
n1 21
, 0
21
此式是一个具有普遍意义的公式；
10
18.2 小信号增益系数
2、小信号反转粒子数n
从前面得到的式子：
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
G n 21可知G与
dn2
dt
n 21
, 0
cNl n2
A21 S21
n3 S32
n成正比，即n具 有的特性，G就具
dn0
而不涉及具体的激励及跃迁过程，而前面给出的速率方程则忽
略了激光下能级的激励过程。
7
连续激光器的增益和工作特性
增益特性是分析激光器振荡条件、模式竞争、输出功 率和激光放大器净增益系数的基础。 激光器可以运行于连续和脉冲工作方式，连续运行即 稳定运行，也就是各能级的粒子数目以及腔内的辐射 场有稳定分布，而增益饱和是形成稳定振荡的关键。 具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质 的增益饱和行为有很大差别，由此构成的激光器的工 作特性也有很大差别。
dt
n1 S10
n0W03
n3 A30
S10 W03 , S32 W03 ,
有，因此G的特性
n0 n1 n2 n3 n
n3 A30可忽略
同n紧密联系起来。
n如何求？
半导体激光器速率方程
第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型2.1 光反馈半导体激光器光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi 方程[29]，并分析了振荡条件。
为方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。
表2-1 激光器参量的意义符号 物理量 单位 电量 C 有源区体积 m 3 载流子寿命 ns 光子寿命 ps 限制因子 --- 阈值载流子密度 m -3 透明载流子密度 m -3 增益饱和系数 m 3 线宽增强因子 --- 微分增益 m 3s -1 自发辐射因子 --- 端面强度反射率 ---波长nm表2-2 参量之间的关系Table 2-2 Relationships of parameters2.1.1 图2-1 光反馈Fabry-Perot 谐振腔示意图图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为1R 、2R ，腔长为L ，外部反射镜的反射率为e R 、距离为/2e L c τ=，τ为激光在外腔中环行一次的时间。
E +、E-分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。
激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。
激光在腔内环行一次的增益为int 2())r G i kL Γg L α=-+- (2-1)将其变为指数形式，上式可变为int exp(2())r m G i kL Γg L αα=-+-- (2-2)其中/k n c ω=为波数。
实际上，激光器有源区内载流子密度()N t 随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。
因此将波数在无光反馈阈值点(th n ,th ω)展开()()g th th th th th n n n nN N c c c N cωωωωω∂≈+-+-∂ (2-3) 其中，g th nn n ωω∂=+∂为介质的群折射率。
将(2-3)式代入(2-2)中，并将r G 分解成1r G G G ω=，其中：频率无关项1int exp[()]exp((2/)())m th th nG Γg L i L c N N Nααω∂=----∂ (2-4) 频率相关项22exp[()]g th th th n Ln L G ii c cωωωω=--- (2-5) 由于2th th n L c ω是2π的整数倍，并且角频率为ω的单色波电场满足关系式di dtω=，G ω可改写为算子exp()exp()th L LdG i dtωωττ=- (2-6) 由于激光器振荡频率在阈值附近，即th ωω≈，因此对时变复电场()et %可引入慢变化复电场振幅()|()|exp(())E t E t i Φt =，即()()exp()th e t E t i t ω=% (2-7)其中th d dtΦωω=-。
第二节 典型激光器速率方程
l 为第l模式单程损耗
将W21 21 ( )vNl g2 W12 12 ( )vNl 21 ( )vNl 代入, 得 g1
单模振荡速率方程组
dn3 dt n1W13 n3 ( S32 A31 ) dn g2 2 n S ( n n1 ) 21 ( )vNl n2 ( A21 S 21 ) 3 32 2 g1 dt n n n n 1 2 3 dNl (n2 g 2 n1 ) 21 ( )vNl N l dt g1 Rl
量子效率
E3向E2无辐射跃迁的量子效率 ： S32 1＝ S32 A30 E2向E1跃迁的荧光效率：
2＝
A21 A21 S 21
总量子效率： 发射荧光的光子数 F＝1 2＝ 工作物质从光泵吸收的 光子数
吸收截面和发射截面 2.发射截面
同理, 可定义上能级原子的发 射截面 21 ( ) W21 21 ( )vNl
A 21 又W21 g ( ) N l n
A 21 A 21v 2 21 ( ) g ( ) g ( ) 2 n v 8 0
其中 :
N N l 为各模式光子数密度的 总和;
单模振荡速率方程组 2. 四能级系统速率方程组(Nd:YAG,He-Ne激光器)
E3
W03 S30 A30 S32
S21
W A21 W21 12
激光原理第18讲 速率方程、小信号增益系数
第18讲 速率方程、小信号增益系数
18.1 单模振荡速率方程
• 1、三能级系统速率方程
– W13为抽运几率 – A31为自发辐射几率
E2
– S32、S31为热驰豫(无辐射跃迁)几率
S32
– S31<<S32、A31<<S32 – S32远大于S31和A31，基态E1上的粒子被
四能级系 统速率方程 其中忽略了 n3W30，因
为n3太小
dn3
dt
n0W 03
n3 S 32
A30
dn2
dt
n2
g2 g1
n1
21
,
0
v
N
l
n2
A21
S21
n3 S12
d
n
0
dt
n1 S 1 0
n0W03
n3 A30
n0 n1 n2 n3 n
dNl dt
能级的粒子数，τ1、τ2为E1、E2能级的寿命，τ21表示E2
上的粒子由于各种因素跃迁到E1造成的有限寿命；
• 这种表示方式采用激励速率和能级寿命来描述粒子数变化
速率而不涉及具体的激励及跃迁过程，而前面给出的速率
方程则忽略了激光下能级的激励过程。
连续激光器的增益和工作特性
• 增益特性是分析激光器震荡条件、模式竞争、输 出功率和激光放大器净增益系数的基础。
n1S10 n0W03 n3A30
vNl n2
A21 S21
n3S12 W03
A30
S30
n0 n1 n2 n3 n
E0
S32 E2
S21 A21 W21 W12
E1 S10
半导体激光器速率方程
第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型2.1 光反馈半导体激光器光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi 方程[29]，并分析了振荡条件。
为方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。
表2-1 激光器参量的意义符号 物理量 单位 电量 C 有源区体积 m 3 载流子寿命 ns 光子寿命 ps 限制因子 --- 阈值载流子密度 m -3 透明载流子密度 m -3 增益饱和系数 m 3 线宽增强因子 --- 微分增益 m 3s -1 自发辐射因子 --- 端面强度反射率 ---波长nm表2-2 参量之间的关系Table 2-2 Relationships of parameters2.1.1 图2-1 光反馈Fabry-Perot 谐振腔示意图图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为1R 、2R ，腔长为L ，外部反射镜的反射率为e R 、距离为/2e L c τ=，τ为激光在外腔中环行一次的时间。
E +、E-分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。
激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。
激光在腔内环行一次的增益为int 2())r G i kL Γg L α=-+- (2-1)将其变为指数形式，上式可变为int exp(2())r m G i kL Γg L αα=-+-- (2-2)其中/k n c ω=为波数。
实际上，激光器有源区内载流子密度()N t 随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。
因此将波数在无光反馈阈值点(th n ,th ω)展开()()g th th th th th n n n nN N c c c N cωωωωω∂≈+-+-∂ (2-3) 其中，g th nn n ωω∂=+∂为介质的群折射率。
将(2-3)式代入(2-2)中，并将r G 分解成1r G G G ω=，其中：频率无关项1int exp[()]exp((2/)())m th th nG Γg L i L c N N Nααω∂=----∂ (2-4) 频率相关项22exp[()]g th th th n Ln L G ii c cωωωω=--- (2-5) 由于2th th n L c ω是2π的整数倍，并且角频率为ω的单色波电场满足关系式di dtω=，G ω可改写为算子exp()exp()th L LdG i dtωωττ=- (2-6) 由于激光器振荡频率在阈值附近，即th ωω≈，因此对时变复电场()e t 可引入慢变化复电场振幅()|()|exp(())E t E t i Φt =，即()()exp()th e t E t i t ω= (2-7)其中th d dtΦωω=-。
激光器速率方程讲解
n：腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内 的光波模式数
得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 几率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。
f2 W21 al nl ,W12 al nl f1
• 对W21作出近似计算 • 设谱线的总自发辐射跃迁几率为A21，谱线 宽度为，并假设A21均匀分配在所包含 的所有模式上，则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为 A21
对表达式进行修正
dn21 ( ) sp n2 A21 ( )d n2 A21 dt dn21 ~( , ) d ( ) st n2W21 ( )d n2 B21 g 0 dt
该积分与辐射场的带宽有关。 1 原子和连续光辐射场的相互作用， 2 原子和准单色光辐射场相互作用，
3 原子和准单色光相互作用
• 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场的中心频率为 ，带宽为，且 << 。被积函数只在中心频率附近的一个极 ~( , )可 窄范围内才有非零值。在此频率范围内， g 0 以近似看成不变。 表示频率为的准 • 引入函数=(-)
f 2 A21 ~ 12 ( , 0 ) g ( , 0 ) 2 f1 8 0
2
匀加宽物质和非均匀加宽物 质的发射截面分别为
2 A21 ln 2 2 A21 21 2 2 , 21 3 2 2 4 0 H 4 0 D
~( , ) ~( , ) ~( , ) A21 g A21 g A21 g 8 2 0 0 0 W21 Nl N lV nl n 3 n n V n V c ~( , ) A21 g W21 0 al n 为腔内第 l 模内的总光子数 l nl n V
典型激光器单模振荡速率方程
• 量子理论：对光频电磁波和物质原子都作 量子化处理，并将二者作为一个统一的物 理体系加以描述（量子电动力学）。只是 在需要严格地确定激光的相干性和噪声以 及线宽极限等特性时才是必要的 • 速率方程理论：量子理论的简化形式，从 光子（量子化的电磁场）与物质原子的相 互作用出发，忽略了光子的相位特性和光 子数的起伏特性，只能给出激光的强度特 性
中心频率处的发射截面和吸收截面最大。
三、典型激光器单模振荡速率方程
• 三能级系统 • 四能级系统 根据跃迁过程写出速率方程组
思路小结: • 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式 • 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数 • 原子和准单色光相互作用 • 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级 系统） • 多模振荡速率方程组
书中图4.4.3
小结（非均匀加宽）： 1、频率为1 的准单色光的增益系数 、光强为 I1
gi ( 1 , I1 )
gi0 ( 1 ) 1 I1 Is
非均匀加宽工作物质的增益饱和效应的强弱 与频率无关 2、烧孔效应 反转集居数烧孔效应（书中图4.5.1）、强光入 射时弱光的增益系数（图4.5.2） 3、多普勒非均匀加宽驻波腔激光器中，强光在 弱光的增益曲线上对称地烧2个孔（图4.5.3）
1 1 1 H ( ) （下能级为基态） 2 2 2 s nr 1 1 1 H ( ) 2 2 1 1
（下能级不为基态）
在固体工作物质中占主导地位的均匀加宽是晶 格振动引起的加宽，它随温度的升高而增加。
•3、非均匀加宽
特点：原子（分子、离子）体系中每个原子只对谱线 内与它的表观中心频率相应的部分有贡献，因而可以 区分谱线上的某一频率范围是由哪一部分原子发射的 1）气体工作物质的多普勒加宽 由于气体原子的热运动，原子在光传输方向上具有 热运动速度z ，原子在自发辐射和受激辐射跃迁时表 现出来的中心频率不再是0，而是0=0(1+z/c)。 0 称作表观中心频率。 由于气体原子的热运动速度服从麦克斯韦分布，导 致了谱线的非均匀多普勒加宽。其线型函数具有高斯 线型
lang-kobayashi方程
Lang–Kobayashi方程定义
Lang–Kobayashi速率方程由复光场方程和激光腔内的载流子密度方程组成，是描述系统的动态特性的时变方程。
设激光器输出的场振幅和相位分别为A A A和∅ \emptyset∅，载流子密度为N N N，参考Ohtsubo的半导体激光器专著，设计相应程序。
1985年哈肯从两能级原子结构出发，写出带有环形谐振腔的FP激光器的时变电场，并将时变电场、偏振方程与反转粒子数的方程通过线性代换和化简，将其转化成Lorenz方程形式(Lorenz-Haken方程)。
这是非常有意思的一种想法，毕竟半导体激光器能够沿着hopf分岔的路径进入混沌。
后来经过几年的不断研究，重写了载流子密度和场方程，舍弃了偏振方程才最终得到了如今的半导体激光器速率方程。
激光原理（）-速率方程（ＰＤＦ）
激光器理论
3.量子理论（量子电动力学） 光场 量子理论 原子
激光器的严格理论，原则上可解释激光器全部特性
4.速率方程理论 自发辐射、受激辐射、受激吸收几率和爱因斯坦系数 激光器速率方程
量子理论的简化形式
NJUPT
自发辐射、受激辐射、受激吸收几率的基本公式
（简化：仅考虑两个能级的情况）
A21 ——自发辐射跃迁几率
洛仑兹型线型函数
∆ν
L
1 =
2πτ L
τ 平均碰撞时间 L ： 任一原子与其他原子发生碰撞的 平均时间间隔
NJUPT
谱线加宽的机理
碰撞加宽（Pressure (collisions) broadening ）
τ L、∆ν L 可直接由实验测得
经验公式： ∆ν L = α P
α ——比例系数
P ——气体总气压
① 经典理论。该理论体系的特点，是将激光场看成经典的电磁场而采用麦克 斯韦方程组加以描述，将与激光相互作用的物质体系看成是经典谐振子的集合。 采用这种理论能较好地解决激光场的空间结构和时－空传输特性等，其最成功 之处是建立了光学共振腔理论和激光模式理论。
② 半经典理论。该理论体系的特点，是将激光场看作是可用麦克斯韦方程组 描述的经典电磁场，而将与激光发生作用的物质体系看成是服从量子力学规律 的微观粒子（原子、分子、离子或电子）的集合。这种理论能比较好地解决有 关激光与物质体系相互作用过程中的许多重要问题，特别是能正确反映那些与 激光场波动性有关的现象的规律性；这种理论的局限性，是不能反映与激光场 的量子化特性（光子特性）有关的某些现象的规律性，其中包括不能解释与场 的量子起伏和物质体系自发辐射行为有关的现象规律性。半经典理论最成功的 例证，是解决了有关激光振荡与放大过程中的增益饱和、模式牵引、相位锁定 （见激光锁模技术）等基本特性的描述；此外是有关光学媒质在强光作用下的 各种非线性电极化效应的描述。
第二章 激光器的速率方程理论
a ?
b ?
dN a dN b 0 dt dt
dn 0 dt
dN a a a N a WDn 0 dt
dNb b b N b WDn 0 dt
D0 D 1 nW (1/ a 1/ b )
dn WDn n dt
激光器的速率方程
考虑泵浦过程以及激光作用
D N a Nb
W c
dn WDn n dt
dNa a a N a WDn dt
dNb b b N b WDn dt
2. 激光器的增益饱和
定态时
N a Nb n 0
WDn n 0
单模振荡的粒子数方程 dN a a a N a WDn dt dNb b b Nb WDn dt
D N a Nb
N0 Na Nb
dD 1 1 (a b ) N 0 ( a b ) D( a b ) 2WDn dt 2 2
dd dt
|| (d d0 ) 2W d n
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
dn )n Cn 2 (G0 dt
小信号增益 自饱和参数
D0W G0
C W 2 D0 (1/ a 1/ b )
2.4 调Q激光器的速率方程
脉冲激光器自由振荡时产生尖峰脉冲
脉冲激光器自由振荡时产生尖峰脉冲的原理图
( WDi )
Wni
[1 e t ]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
q qc / 2L
c q q 1 q 2L
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同理, 可定义上能级原子的发 射截面 21 ( ) W21 21 ( )vNl
A 21 又W21 g ( ) N l n
A 21 A 21v 2 21 ( ) g ( ) g ( ) 2 n v 8 0
其中 :
N N l 为各模式光子数密度的 总和;
多模振荡的速率方程组
对于多模振荡，作如下 假设 : (1) 认为各个模式的损耗是 相同的, 即 Rl 相等, 用 R 代替; (2) 将线型函数g ( )用矩形谱线g ' ( )代替, 并令 :
高度 : g ' ( ) g ( 0 ) 1 等效带宽: g ( 0 )
均匀加宽等效带宽 :
2
F
1 非均匀加宽等效带宽 : F 2 ln 2
光谱线的线型函数及等效线型函数
g ( ) g ' ( ) g ' ( )
g ( )
0
F
按照简化模型，四能级多模振荡的速率方程为
S32 dn3 dt n0W03 n3 ( S32 A30 ) n0W03 n3 1 g2 A21 dn2 dt n3 S32 (n2 g n1 ) 21vN n2 1 2 dn0 n1S10 n0W03 dt n0 n1 n2 n3 n dN (n2 g 2 n1 ) 21vN N dt g1 R
单模振荡速率方程组
光腔内光子数密度随时间变化的方程为: dNl Nl n2W21 n1W12 dt Rl 其中, Rl L 是第l模式光子寿命 lv
l 为第l模式单程损耗
将W21 21 ( )vNl g2 W12 12 ( )vNl 21 ( )vNl 代入, 得 g1
其中 0 是连续谱辐射场在原子 中心频率 0 处的单色能量密度
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
2) ' : 物质和准单色光辐射场 相互作用 设辐射场 的中心频率为 '
' g ( ' )
' （ '）
12 I W12 h
吸收截面和发射截面
又 入射光的光强 I N l vh W12 12 N l v 由于谱线加宽的影响 12随频率也有一个分布 12 ( ) , W12 12 ( )vNl
g 2 A 21 W12 g ( ) N l g1 n g 2 A 21v 2 g2 12 ( ) g ( ) 21 ( ) 2 g1 8 0 g1
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
物理意义： 由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光辐射场的 频率在原子发光的中心频率0附加一个频率范围时， 即可引起原子的受激跃迁。受激跃迁几率存在着由 工作物质谱线加宽函数所决定的频率响应特性。 当＝ 0时，跃迁几率最大；当 偏离 0时，跃迁
几率急剧下降。
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
P ( ) g ( ) P P ( )＝P g ( ) dn21 ＝ h 0 g ( ) dt sp n2 h 0 A 21 g ( ) n2 h 0 A 21 ( ) 其中： 21 ( )＝A 21 g (） A
单模振荡速率方程组
dn3 dt n1W13 n3 ( S32 A31 ) dn g 2 n3 S32 (n2 2 n1 ) 21 ( )vNl n2 ( A21 S 21 ) g1 dt n n n n 1 2 3 dNl (n2 g 2 n1 ) 21 ( )vNl N l dt g1 Rl
吸收截面和发射截面
1.吸收截面 原子对入射光功率的吸 收作用可以用吸收截面 来 描述。如图所示，原子 的吸收截面为 12，则一个原子所 吸收的光功率为： P Pa 12 12 I A
A
I
I I
入射光功率P
z
吸收截面和发射截面
1) 吸收截面和工作物质吸 收系数 的关系 工作物质对频率为 的单色光的 吸 收 系 数 定义为 : dI 1 dz I 光通过一个面积为 A, 厚度为 z的工作物质后 , 光 功率的减少值为 : P I A I z A.......... 1) .(
吸收截面和发射截面
设工作物质下能级的原 子数密度为 n1 , 则光通过工作 物质薄层后功率的减少 值为 : P n1 A z 12 I ......... .........( ) 2 比较 , 得 :
12
n1
n2 0
n
[米－1］ 3 ［个／米 ］
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
对于自发辐射来说，n 2个原子中单位时间内发生 自发辐射跃迁的原子总数为：
＋ dn21 ＝－ n2 A21 d dt sp
＝ n2 A21 g (）d
－
＋
＝n2 A21
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
g ( )
g ( )
0
0
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
＋ dn21 ＝n2 B21 0 － g (）d dt st
＝n2 B21 0 W21 B21 0
同理 : dn12 ＝n1B12 0 W12 B12 0 dt st
单模振荡速率方程组 2. 四能级系统速率方程组(Nd:YAG,He-Ne激光器)
E3
W03 S30 A30 S32
S21
W A21 W21 12
E2 E1
S10
E0
四能级系统的激光工作物质的能级简图
四能级系统的速率方程组
dn3 dt n0W03 n3 ( S32 A30 ) dn2 n W n S n W n ( A S ) 1 12 3 32 2 21 2 21 21 dt g2 n3 S32 (n2 n1 ) 21 ( )vNl n2 ( A21 S 21 ) g1 dn0 n1S10 n0W03 n3 A30 dt n0 n1 n2 n3 n dNl (n g 2 n ) ( )vN N l 2 1 21 l dt g1 Rl
g ( ' )
'
'
0
0
'
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
＋ dn21 ＝n2 B21 － g ( '） ' d ' dt st ＝n2 B21 g
dn12 同理： ＝n1 B21 g dt st 在频率为的单色光辐射场的作用 下，受激跃迁几率： W21 B21 g W12 B12 g
12的量纲是［米 2 ／个］ 测量方法： 吸收系数 I1 I 2 I1z
吸收截面 12
n
吸收截面和发射截面
2) 吸收截面和受激吸收几 率W12的关系 在入射光辐射的作用下 , 从下能级向上能级跃迁 一个原子 , 吸收一份能量 h , 物质对入射光辐射功率 总的吸收为 : dn12 P h A z n1W12 h A z..........3 dt 与(2)相比, 得 :
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
g (）＝ A 21 ( ) ，跃迁几率按频率的分布函数 A 21
c3 c 3 A21 ( ) B21 A21 3 8h 8h 3 g (） c3 B21 ( ) B21 g (） A21 ( ) 3 8h W21 ( ) B21 ( ) B21 g (） 表示在辐射场 作用下，总受激辐射几率W21中， 分配在频率处单位频带内的受激辐射几率。
激光器的速率方程
对辐射场和物质的近似处理 介质：由一群相对静止、彼此不相关的粒子组成 辐射场：由大量完全等同的光子组成，对于不同 的模场认为只与该模场的平均光子数有 关 速率方程：一组表征激光工作物质各能级上的原 子数以及腔内光子数随时间变化的微 分方程组。用于描述辐射场与粒子之 间的相互作用。
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率
对于受激辐射：
＋ dn21 ＝－ n2W21 d dt st
＝ n2 B21 g (） d
－
＋
＝n2 B21
＋
－
g (） d
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
设辐射场的带宽为 ' , 原子系统的线型函数 g 的谱线宽度为，则： 1) ' : 物质和连续谱光辐射场 的相互作用
原子自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的修正
设激光器内的频率为 的单色光辐射场是第 l模产 生的，则其单色能量密度为：
＝N l h
其中 N l是第 l模内的光子数密度 则受激辐射几率为：
A W21 B21 g hN l 21 g N l 21 ( , 0 ) v N l n A21 g 21 ( , 0 ) n v g 2 A21 g2 g N l 12 ( , 0 ) v N l W12 B12 g hN l g1n g1
dn21 A21n2 dt sp dn21 W21n2 B21 n2 dt st dn12 W12 n2 B12 n1 dt st A21 8h 3 n h 3 B21 c g1B12 g 2 B21