可以用单位脉冲响应
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特别的 xn n
yn T n n hn hn H z
系统函数是系统单位脉冲响应 hn 的z变换。
2、系统函数与差分方程 线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形 式为
N
M
ak yn k bk xn k
k 0
k 0
两边取z变换（零状态），可得：
源自文库
N
M
ak z kY z bk z k X z
变化，其夹角之和的变化反映频响相位 的变化。
1
例5-25已知
H
z
1
1 az
1
za
a 1
求 H e j 并作 He j ~ 、 ~ 图。
解：由已知条件可知系统是因果稳定系统
Hz z
za 零点 z0 0
极点 z a
1
1
H z 0.2 0.1z 1 0.3z 2 0.1z 3 0.2z 4
1 1.1z 1 1.5z 2 0.7z 3 0.3z 4
求其零、极点并绘出零、极点图。
解 例5-23 MATLBA程序及结果如下 b=[0.2 0.1 0.3 0.1 0.2]; %分子多项式系数 a =[1 -1.1 1.5 -0.7 0.3]; %分母多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 zplane(b,a) % 画零、极点图
基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的 右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位 圆外（上）。而利用MATLAB程序得到系统特征根， 可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB 程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、 极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。
0.8
0.6
0.4
Imaginary Part
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
3、系统函数收敛区与系统特性关系 (1)、因果系统
由因果系统的时域条件
时， hn 0 ，以及 H z
的定义，可知此时 H z 只有z的 负幂项，其收敛区为
RH z 。所以 H z 的收敛区包含无穷时，
必为因果系统。
(2)、稳定系统
由稳定系统的时域条件 hn 可知系统的傅 n
氏变换DTFT存在，H z 收敛区必包含单位圆。其收敛
区为 RH z RH ,且 RH 1 RH 。所以收敛区包
含单位圆时，必为稳定系统。
(3)、因果稳定系统
综合上述(1)、(2)情况，当 RH z ，且 RH 1 时，系统是因果稳定系统。
k 0
k 0
令 a0 1
N
M
解出 Y z ak z kY z bk z k X z
k 1
k 0
M
bk z k
Y z k0 N
X z
1
ak z k
k 1
M
M
H z
Y z Xz
bk z k
k0 N 1 ak zk
A 1 ck z 1
k 1 N 1 dk z 1
例5-24 已知某离散系统的系统函数为
H z 0.2 0.1z 1 0.3z 2 0.1z 3 0.2z 4
1 1.1z 1 1.5z 2 0.7z 3 0.3z 4 判断该系统的稳定性。
解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式
H z
0.2 1 z 1 z 2 1 0.4734 z 1 0.8507 z 2
4、H z 的零、极点与系统频响
系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性 画出。
M
A 1 ck z1
M
z ck
H z
k 1 N
A
k 1 N
z N M
1 dk z1
z dk
k 1
k 1
M
e j ck
H e j
H z
z e j Ae j N M
1 0.5z 1 z 2 1 0.6266 z 1 0.3526 z 2
0.2 1 z 1 z 2
1 0.2367 j0.8915 z1
1 0.5z 1 z 2
1 0.2367 j0.8915 z1
1 0.3133
1
j0.5045 z1 1 0.3133
j0.5045 z1
式中极点的模 z1 z2 0.23672 0.89152 0.9225 1
z3 z4 0.31332 0.50452 0.5939 1
所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。
此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判 断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容 易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是 否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否 稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。
k 1
N
e j dk
k 1
M
Ck
M
Ck e jk
Ae jNM
k 1
N Dk
Ae j N M
k 1
N
Dk e jk
H e j
e j
k 1
k 1
其中
e j ck ：零点 c k 指向单位圆的向量
Ck Ck e jk
——极坐标表示；
e j dk ：极点 d k 指向单位圆的向量
答案
r1 = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i
r2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i
1
Dk Dk e jk ——极坐标表示；
Ck 、 Dk ——零、极点矢量的模；
k 、 k ——零、极点矢量与正实轴的夹角。
M
Ck
H e j
A
k 1 N
Dk
k 1
M
N
k k N M
k 1
k 1
当 从 0 ~ 2 变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转
一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅 H e j
k 1
k 1
（5-77）
其中 ck H z 的零点； dk H z 的极点； 由上式可见，除了系数A，H z 可由其零、极点确定。
与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、
极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的 确定零、极点并作零、极点图。
例5-23 已知某系统的系统]函数为
yn T n n hn hn H z
系统函数是系统单位脉冲响应 hn 的z变换。
2、系统函数与差分方程 线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形 式为
N
M
ak yn k bk xn k
k 0
k 0
两边取z变换（零状态），可得：
源自文库
N
M
ak z kY z bk z k X z
变化，其夹角之和的变化反映频响相位 的变化。
1
例5-25已知
H
z
1
1 az
1
za
a 1
求 H e j 并作 He j ~ 、 ~ 图。
解：由已知条件可知系统是因果稳定系统
Hz z
za 零点 z0 0
极点 z a
1
1
H z 0.2 0.1z 1 0.3z 2 0.1z 3 0.2z 4
1 1.1z 1 1.5z 2 0.7z 3 0.3z 4
求其零、极点并绘出零、极点图。
解 例5-23 MATLBA程序及结果如下 b=[0.2 0.1 0.3 0.1 0.2]; %分子多项式系数 a =[1 -1.1 1.5 -0.7 0.3]; %分母多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 zplane(b,a) % 画零、极点图
基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的 右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位 圆外（上）。而利用MATLAB程序得到系统特征根， 可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB 程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、 极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。
0.8
0.6
0.4
Imaginary Part
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
3、系统函数收敛区与系统特性关系 (1)、因果系统
由因果系统的时域条件
时， hn 0 ，以及 H z
的定义，可知此时 H z 只有z的 负幂项，其收敛区为
RH z 。所以 H z 的收敛区包含无穷时，
必为因果系统。
(2)、稳定系统
由稳定系统的时域条件 hn 可知系统的傅 n
氏变换DTFT存在，H z 收敛区必包含单位圆。其收敛
区为 RH z RH ,且 RH 1 RH 。所以收敛区包
含单位圆时，必为稳定系统。
(3)、因果稳定系统
综合上述(1)、(2)情况，当 RH z ，且 RH 1 时，系统是因果稳定系统。
k 0
k 0
令 a0 1
N
M
解出 Y z ak z kY z bk z k X z
k 1
k 0
M
bk z k
Y z k0 N
X z
1
ak z k
k 1
M
M
H z
Y z Xz
bk z k
k0 N 1 ak zk
A 1 ck z 1
k 1 N 1 dk z 1
例5-24 已知某离散系统的系统函数为
H z 0.2 0.1z 1 0.3z 2 0.1z 3 0.2z 4
1 1.1z 1 1.5z 2 0.7z 3 0.3z 4 判断该系统的稳定性。
解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式
H z
0.2 1 z 1 z 2 1 0.4734 z 1 0.8507 z 2
4、H z 的零、极点与系统频响
系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性 画出。
M
A 1 ck z1
M
z ck
H z
k 1 N
A
k 1 N
z N M
1 dk z1
z dk
k 1
k 1
M
e j ck
H e j
H z
z e j Ae j N M
1 0.5z 1 z 2 1 0.6266 z 1 0.3526 z 2
0.2 1 z 1 z 2
1 0.2367 j0.8915 z1
1 0.5z 1 z 2
1 0.2367 j0.8915 z1
1 0.3133
1
j0.5045 z1 1 0.3133
j0.5045 z1
式中极点的模 z1 z2 0.23672 0.89152 0.9225 1
z3 z4 0.31332 0.50452 0.5939 1
所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。
此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判 断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容 易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是 否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否 稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。
k 1
N
e j dk
k 1
M
Ck
M
Ck e jk
Ae jNM
k 1
N Dk
Ae j N M
k 1
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Dk e jk
H e j
e j
k 1
k 1
其中
e j ck ：零点 c k 指向单位圆的向量
Ck Ck e jk
——极坐标表示；
e j dk ：极点 d k 指向单位圆的向量
答案
r1 = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i
r2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i
1
Dk Dk e jk ——极坐标表示；
Ck 、 Dk ——零、极点矢量的模；
k 、 k ——零、极点矢量与正实轴的夹角。
M
Ck
H e j
A
k 1 N
Dk
k 1
M
N
k k N M
k 1
k 1
当 从 0 ~ 2 变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转
一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅 H e j
k 1
k 1
（5-77）
其中 ck H z 的零点； dk H z 的极点； 由上式可见，除了系数A，H z 可由其零、极点确定。
与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、
极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的 确定零、极点并作零、极点图。
例5-23 已知某系统的系统]函数为