简谐振动的运动方程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
23
§7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述
A A1 A2
Fra Baidu bibliotek
简谐振动的矢量图象法
简谐振动用旋转矢量表示
A2
x Acos(t ) A
x Ai
x x1 x2 ( A1 A2 ) i
A1
2 1
24
简谐振动的复数表示
x Aei(t0 ) x Aei(t0 ) A cos(t 0 ) iAsin(t 0 )
当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。
当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段
这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）
10
x、y两垂直方向的简谐振动
x Ax cos(xt x )
y
Ay
cos(yt
y
)
x : y 1: 2 时，对应不同初相位差的李萨如图形
y
O
x
相邻的李萨如图形初相位差为12°
11
x :y 2:3
x :y 3: 4
相邻的李萨如图形初相位差为12°
12
x :y 3:5
x :y 5:8
相邻的李萨如图形初相位差为12°
13
§7.1.6 非简谐振动的简谐分解
例如从零再变到零。
拍 1 2
拍 2 1
拍是一个重要的现象，有许多应用。
7
§7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成
如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向
x Ax cos(t x )
y
Ay
cos(t
y
)
这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程
x2 Ax2
y2 Ay2
1 3
sin
3t
20
非周期性振动的傅里叶分解
非周期性的振动，可理解成T →ω的周期振动，基频ω→0， 分解出的简谐振动频率间距ω→0 ，对应的振动频谱是连续谱。
简谐振动的复数表示法 Acos(t ) Aei(t)
傅里叶变换
x(t)
A()
1
2
1
A( )eit d
x(t)eit dt
Acos(t )
合振动的振幅与相位差有关 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
5
§7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成
考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动
xx21
A cos(1t A cos( 2t
4
sin t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
18
例7 锯齿波
x(t) 1 2 t, nT t (n 1)T T
x
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
1
O
T
t
2
An T
T
x(t) cos ntdt 0
0
Bn
2 T
T
x(t)sin ntdt
2
0
n
19
x(t)
2
sin
t
1 2
sin
2t
第七章 振动和波
1
振动与波无所不在
振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。
2
§7.1 简谐振动的运动学描述
§7.1.1 运动方程
振动：物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动
x
t
3
傅里叶级数： 1, cost, sint, cos2t, sin 2t, cosnt, sin nt,
它们都具有周期 T，且有正交性和完备性
正交性
T
0 sin nt cosmtdt 0
T 0
c os nt
c os mtdt
0(n m) T / 2(n
m)
T 0
sin
nt
sin
mtdt
0(n m) T / 2(n
m)
15
一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开
x(t)
A0 2
An
n1
cosnt
Bn
sin nt
2 T
A0 T
x(t)dt
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt
0
2 Bn T
T
x(t)sin ntdt
0
x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 nω的一系列简谐振动 ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅
2
A() 构成连续的傅里叶频谱
21
例8 δ函数
定义
(t)
0, ,
(t 0) (t 0)
性质
b a
(t)dt
10,,
(a,b 0或a, (a 0 b)
b
0)
另一种形式的δ函数
(t)
lim k
1
sin t
kt
A( ) 1 (t)eitdt 1
2
2
22
(t) 1 eitd
) )
合振动
x
x1
x2
2Acos 2
1
2
t cos 2
1
2
t
包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子
当两个振动的频率非常接近时
2
1
1 2
2
1或2
6
合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍频---只与振幅的大小有关，
16
例6 方波
1, nT t nT T / 2 x(t) 1, nT T / 2 t (n 1)T
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt 0
0
x 1
O
T
t
Bn
2 T
T
x(t)sin ntdt
4
,
0
(2m 1)
n 2m 1, m为正整数
17
x(t)
非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 第二类可以作傅里叶（Fourier）变换 因而非简谐振动都可分解为简谐振动
设振动的周期为T，周期函数满足 x(t T ) x(t)
引入 2
T
称为基频率，简称基频
n n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）
14
2xy Ax Ax
cos(x
y)
sin
2 (x
y)
为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动
8
特例1
x y 2k
xy Ax Ay
特例2
x y (2k 1)
x y
Ax
Ay
特例3
x y (k 1/ 2)
x2 Ax2
y2 Ay2
1
其它情况为斜椭圆
9
§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成
简谐振动的运动方程 x Acos(t )
x
周期 T 2
A
频率 1/ T
2
角频率
振幅 A
相位 t
初相位
t
4
§7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成
一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ) 合振动 x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
23
§7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述
A A1 A2
Fra Baidu bibliotek
简谐振动的矢量图象法
简谐振动用旋转矢量表示
A2
x Acos(t ) A
x Ai
x x1 x2 ( A1 A2 ) i
A1
2 1
24
简谐振动的复数表示
x Aei(t0 ) x Aei(t0 ) A cos(t 0 ) iAsin(t 0 )
当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。
当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段
这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）
10
x、y两垂直方向的简谐振动
x Ax cos(xt x )
y
Ay
cos(yt
y
)
x : y 1: 2 时，对应不同初相位差的李萨如图形
y
O
x
相邻的李萨如图形初相位差为12°
11
x :y 2:3
x :y 3: 4
相邻的李萨如图形初相位差为12°
12
x :y 3:5
x :y 5:8
相邻的李萨如图形初相位差为12°
13
§7.1.6 非简谐振动的简谐分解
例如从零再变到零。
拍 1 2
拍 2 1
拍是一个重要的现象，有许多应用。
7
§7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成
如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向
x Ax cos(t x )
y
Ay
cos(t
y
)
这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程
x2 Ax2
y2 Ay2
1 3
sin
3t
20
非周期性振动的傅里叶分解
非周期性的振动，可理解成T →ω的周期振动，基频ω→0， 分解出的简谐振动频率间距ω→0 ，对应的振动频谱是连续谱。
简谐振动的复数表示法 Acos(t ) Aei(t)
傅里叶变换
x(t)
A()
1
2
1
A( )eit d
x(t)eit dt
Acos(t )
合振动的振幅与相位差有关 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
5
§7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成
考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动
xx21
A cos(1t A cos( 2t
4
sin t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
18
例7 锯齿波
x(t) 1 2 t, nT t (n 1)T T
x
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
1
O
T
t
2
An T
T
x(t) cos ntdt 0
0
Bn
2 T
T
x(t)sin ntdt
2
0
n
19
x(t)
2
sin
t
1 2
sin
2t
第七章 振动和波
1
振动与波无所不在
振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。
2
§7.1 简谐振动的运动学描述
§7.1.1 运动方程
振动：物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动
x
t
3
傅里叶级数： 1, cost, sint, cos2t, sin 2t, cosnt, sin nt,
它们都具有周期 T，且有正交性和完备性
正交性
T
0 sin nt cosmtdt 0
T 0
c os nt
c os mtdt
0(n m) T / 2(n
m)
T 0
sin
nt
sin
mtdt
0(n m) T / 2(n
m)
15
一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开
x(t)
A0 2
An
n1
cosnt
Bn
sin nt
2 T
A0 T
x(t)dt
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt
0
2 Bn T
T
x(t)sin ntdt
0
x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 nω的一系列简谐振动 ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅
2
A() 构成连续的傅里叶频谱
21
例8 δ函数
定义
(t)
0, ,
(t 0) (t 0)
性质
b a
(t)dt
10,,
(a,b 0或a, (a 0 b)
b
0)
另一种形式的δ函数
(t)
lim k
1
sin t
kt
A( ) 1 (t)eitdt 1
2
2
22
(t) 1 eitd
) )
合振动
x
x1
x2
2Acos 2
1
2
t cos 2
1
2
t
包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子
当两个振动的频率非常接近时
2
1
1 2
2
1或2
6
合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍频---只与振幅的大小有关，
16
例6 方波
1, nT t nT T / 2 x(t) 1, nT T / 2 t (n 1)T
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt 0
0
x 1
O
T
t
Bn
2 T
T
x(t)sin ntdt
4
,
0
(2m 1)
n 2m 1, m为正整数
17
x(t)
非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 第二类可以作傅里叶（Fourier）变换 因而非简谐振动都可分解为简谐振动
设振动的周期为T，周期函数满足 x(t T ) x(t)
引入 2
T
称为基频率，简称基频
n n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）
14
2xy Ax Ax
cos(x
y)
sin
2 (x
y)
为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动
8
特例1
x y 2k
xy Ax Ay
特例2
x y (2k 1)
x y
Ax
Ay
特例3
x y (k 1/ 2)
x2 Ax2
y2 Ay2
1
其它情况为斜椭圆
9
§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成
简谐振动的运动方程 x Acos(t )
x
周期 T 2
A
频率 1/ T
2
角频率
振幅 A
相位 t
初相位
t
4
§7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成
一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ) 合振动 x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )