1.3 多自由度耦合系统的振动概述解析
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又，若阻相对较小，即：R1R2<<X1X2，则有：
则：
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 )} Cm 3
分析：上式虚部为0时，系统中的 m2 振速的幅值达 到最大；（振速共振），有：
1 2 2 2 2 2 2 2 X 1 X 2 2 2 0 ( 1 )( 2 ) k 1 2 0 Cm 3
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
Cm1 m1 Rm1 Cm3 m2 Rm2 Cm2
下面由运动方程，求解自由振动：
（1）运动方程：
d 2 x1 dx1 1 1 m1 2 Rm1 x1 ( x1 x2 ) 0 dt dt Cm1 Cm 3
d 2 x2 dx2 1 1 m2 2 Rm 2 x1 ( x2 x1 ) 0 dt dt Cm 2 Cm 3
~ ~ F1 U2
其中：
Z12
（归结为分析1/Z12的频率特征）
~ ~ ~2 Z1 Z 2 Z 0 Z12 ~ Z0
若令：
~ Z0
1 1 ~ Z1 R1 j (m1 ) Cm1 j C m 3 1 1 ~ Z 2 R2 j (m2 ) Cm 2 jCm 3
Cm2 Rm2 m2 Cm3 V2 f2
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
其四端等效网络为：
1 ~ 其中： Z 01 R1 j ( m1 ) Cm1 1 ~ Z 02 R2 j (m2 ) C m 2
1 ~ Z0 j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
第一章 集中参数机械振动系统 的振动
1.3 两个自由度耦合系统的振动
内容提要
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动 二、两自由度耦合振动系统的自由振动 三、多自由度振动系统
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
Cm1 f1 Cm3 f2 m2 Rm2 Cm2
m1
Rm1
阻抗型类比电路：
m1 f1
Rm1 Cm1 V3 V1
（其中 k，见后）
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
为简化表示，令：
D3 1 1 1 D1 ; k1 D1 C m 01 C m1 C m 3
1 1 1 D3 D2 ; k 2 C m 02 C m 2 C m 3 D2
;
1 D3 Cm 3
;
k k1k2
D2 m2
此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时， m2 的振速共振频率。可推知，它也是 m1 的振速共振 频率。 显然：
max( 1 , 2 ) min( 1 , 2 )
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m1） 的幅频特性曲线：（双峰结构）
对于四端网络，一般分析时定义： （1）输入阻抗：Z11，Z22
~ F2 ~ ~ Z 22 ~ |F 端短路时，从 1 0 F 1 U2
~ F1 ~ Z11 ~ | F U1 2 0
~ 端短路时，从 ~ F1 F2
~ F2
端看进去的阻抗
端看进去的阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21 ~ ~ F2 F1 ~ Z 21 ~ |F ~ Z12 ~ |F 1 0 2 0 U U2 1 （3）自阻抗：
~ F1 ~ ~ Z1 ~ |U ——F2开路时，从F1看进去的阻抗 0 U1 2 ~ F2 ~ ~ Z 2 ~ |U ——F1开路时，从F2看进去的阻抗 0 U2 1
（4）耦合阻抗 ：
Z0 1
j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
~ ~ ~ 如果取： Z 1 Z 01 Z 0
方程可化为：
d x1 dx1 2 2 21 1 x1 k11 x2 0 2 dt dt
2 2
Rm1 1 2m1
;
Rm 2 2 2m2
;
D1 m1
2 1
;
解上式可得：
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 j C m 3
1 1 X 1 m1 ( ) ; X 2 m2 ( 1 1 ) Cm1 Cm 3 C m 2 C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 R1 R2 )} Cm 3
输入阻抗
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
~ F2 0
~ ~2 F1 ~ Z0 1)消去U2得：Z11 ~ |F 0 Z1 ~ U1 Z2
~ ~ ~ ~2 F Z Z Z 1 1 2 0 2)消去U1得：Z ~ | ~ 12 F 0 U2 Z0
2
传输阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
在此情况下分析m2的振动：
为简化表示，令：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
D3 1 1 1 1 ； D3 D1 ； k1 Cm 3 C m 01 C m1 C m 3 D1
1 1 1 D3 D2 ；k 2 ； k k1k2 C m 02 C m 2 C m 3 D2 Rm1 ； Rm 2 ； 2 D1 ； 2 D2 1 1 2 2 m2 m1 2m2 2m1
据‘网络理论’ 有：
~ ~ ~ Z2 Z02 Z0
~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U2
~ ~ ~ ~ ~ F2 Z2 U2 Z0 U1
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
例：简单情况，单端激励时，
上式化为：
~ ~ ~ ~ 0 Z2 U 2 Z0 U1 ~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U 2
则：
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 )} Cm 3
分析：上式虚部为0时，系统中的 m2 振速的幅值达 到最大；（振速共振），有：
1 2 2 2 2 2 2 2 X 1 X 2 2 2 0 ( 1 )( 2 ) k 1 2 0 Cm 3
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
Cm1 m1 Rm1 Cm3 m2 Rm2 Cm2
下面由运动方程，求解自由振动：
（1）运动方程：
d 2 x1 dx1 1 1 m1 2 Rm1 x1 ( x1 x2 ) 0 dt dt Cm1 Cm 3
d 2 x2 dx2 1 1 m2 2 Rm 2 x1 ( x2 x1 ) 0 dt dt Cm 2 Cm 3
~ ~ F1 U2
其中：
Z12
（归结为分析1/Z12的频率特征）
~ ~ ~2 Z1 Z 2 Z 0 Z12 ~ Z0
若令：
~ Z0
1 1 ~ Z1 R1 j (m1 ) Cm1 j C m 3 1 1 ~ Z 2 R2 j (m2 ) Cm 2 jCm 3
Cm2 Rm2 m2 Cm3 V2 f2
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
其四端等效网络为：
1 ~ 其中： Z 01 R1 j ( m1 ) Cm1 1 ~ Z 02 R2 j (m2 ) C m 2
1 ~ Z0 j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
第一章 集中参数机械振动系统 的振动
1.3 两个自由度耦合系统的振动
内容提要
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动 二、两自由度耦合振动系统的自由振动 三、多自由度振动系统
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
Cm1 f1 Cm3 f2 m2 Rm2 Cm2
m1
Rm1
阻抗型类比电路：
m1 f1
Rm1 Cm1 V3 V1
（其中 k，见后）
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
为简化表示，令：
D3 1 1 1 D1 ; k1 D1 C m 01 C m1 C m 3
1 1 1 D3 D2 ; k 2 C m 02 C m 2 C m 3 D2
;
1 D3 Cm 3
;
k k1k2
D2 m2
此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时， m2 的振速共振频率。可推知，它也是 m1 的振速共振 频率。 显然：
max( 1 , 2 ) min( 1 , 2 )
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m1） 的幅频特性曲线：（双峰结构）
对于四端网络，一般分析时定义： （1）输入阻抗：Z11，Z22
~ F2 ~ ~ Z 22 ~ |F 端短路时，从 1 0 F 1 U2
~ F1 ~ Z11 ~ | F U1 2 0
~ 端短路时，从 ~ F1 F2
~ F2
端看进去的阻抗
端看进去的阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21 ~ ~ F2 F1 ~ Z 21 ~ |F ~ Z12 ~ |F 1 0 2 0 U U2 1 （3）自阻抗：
~ F1 ~ ~ Z1 ~ |U ——F2开路时，从F1看进去的阻抗 0 U1 2 ~ F2 ~ ~ Z 2 ~ |U ——F1开路时，从F2看进去的阻抗 0 U2 1
（4）耦合阻抗 ：
Z0 1
j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
~ ~ ~ 如果取： Z 1 Z 01 Z 0
方程可化为：
d x1 dx1 2 2 21 1 x1 k11 x2 0 2 dt dt
2 2
Rm1 1 2m1
;
Rm 2 2 2m2
;
D1 m1
2 1
;
解上式可得：
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 j C m 3
1 1 X 1 m1 ( ) ; X 2 m2 ( 1 1 ) Cm1 Cm 3 C m 2 C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 R1 R2 )} Cm 3
输入阻抗
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
~ F2 0
~ ~2 F1 ~ Z0 1)消去U2得：Z11 ~ |F 0 Z1 ~ U1 Z2
~ ~ ~ ~2 F Z Z Z 1 1 2 0 2)消去U1得：Z ~ | ~ 12 F 0 U2 Z0
2
传输阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
在此情况下分析m2的振动：
为简化表示，令：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
D3 1 1 1 1 ； D3 D1 ； k1 Cm 3 C m 01 C m1 C m 3 D1
1 1 1 D3 D2 ；k 2 ； k k1k2 C m 02 C m 2 C m 3 D2 Rm1 ； Rm 2 ； 2 D1 ； 2 D2 1 1 2 2 m2 m1 2m2 2m1
据‘网络理论’ 有：
~ ~ ~ Z2 Z02 Z0
~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U2
~ ~ ~ ~ ~ F2 Z2 U2 Z0 U1
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
例：简单情况，单端激励时，
上式化为：
~ ~ ~ ~ 0 Z2 U 2 Z0 U1 ~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U 2