2014年信号检测与估计各章作业参考解答(1~9章)
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第二章随机信号及其统计描述
1．求在实数区间 内均匀分布的随机变量 均值和方差。
解：变量 的概率密度
均值
方差
2．设 是具有概率密度函数 的随机变量，令 的函数为
试求随机变量 的概率密度函数 。
解：反函数
雅可比式为
所以
4.随机过程 为
式中， 是常数， 和 是两个互相独立的高斯随机变量，而且 ， 。求 的均值和自相关函数。
所以
可理解为
从而有 ， =4
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.若随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.已知平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
解：由于
按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则
可得
这里
选用最大后验概率准则时
接收机的结构为
下面考虑平均错误概率
令检验统计量为
判决规则为
两种错误概率为
平均错误概率为
由于
定义两信号的平均能量为 ，
两信号的时间相关系数为
有
故两种假设下检验统计量的条件概率密度为
所以
同理
所以可得
7.设矩形包络的单个脉冲信号为
所以有
总功率为
平均功率为
随机过程通过线性是不变系统的习题
1、设白噪声的相关函数为 ，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放大器输出的总噪声功率。
解:由于 ，所以其功率谱
线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为
总噪声功率为
2、零均值平稳随机过程 加到一线性滤波器，
1）当滤波器的单位冲激响应为
解：令
则接收信号的似然函数
似然比
由于
假定门限值为 ，则有
所以判决规则（似然比接收机）为：
还应当求出不等式右端的积分值.
4.5二元通信系统中，在每种假设下传送的信号为
假设两种信号是等概发送的，并且 为确知常数， 是均值为零、功率谱密度为 的高斯白噪声，试用最小总错误概率准则确定最佳接收机形式，并计算平均错误概率。
答：在概率密度函数中含有未知参量的假设，称为复合假设。而在概率密度函数中不含有未知参量的假设，称为简单假设。
例如：如果
其中 是含有未知参量或随机参量的信号，而 是确知信号， 是加性噪声。
这样 假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为 ，涉及到参量 ；
而 假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为 ，不涉及任何未知参量，所以 是复合假设， 是简单假设。
得到
又由于 是正态分布的，且
所以有
于是
即
而判决门限
（2）检测概率
或者
要点：（1）
（2）
7、设观察信号 在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。
式中贝叶斯门限
附：高斯误差函数表
第四章确知信号检测
2题、5题、7题
4.2现有两个假设
其中 均为确知常数， 是功率谱密度为 的高斯白噪声，试设计一个似然比接收机。
要点：
答：略
2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为 ，再设代价因子 。信号存在的先验概率 。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。
计算得出
结果：
答：略
3、只用一次观察值 对下面两个假设作出选择， 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量； 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量，且 。试用最大似然函数准则回答下述问题：
输入信号 的能量为
匹配滤波器输出最大的信噪比
（3）可以求出匹配滤波器的输出有用信号
选取观察时间点 ，按照 可以求出匹配滤波器的输出为
简写成
（4）选取观察时间点 ，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：
第五章随机参量信号的检测
思考题1.什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？
（1）根据观察量值，确定判决域 和 。
（2）画出似然比接收机的框图。
（3）求两类错误概率 和 的表达式。
解：（1）由题意得
采用最大似然函数准则， ，
似然比与判决规则为
判决域为，
(2)接收机结构：
（3）两类错误概率
要点：（1） （2）见图
（3）
4、根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断
其中 是均值为零、方差为 的高斯过程，且 。试求判决门限 以及与之对应的两种假设的先验概率。
适用场合:简单假设检验是解决单个确知信号的存在问题，而复合假设检验则是解决依赖于一组未知参量或随机参量的信号存在问题。
解:根据题意得
按照极大-极小方程:
代入 ,得到
另一方面，由于
得到判决规则为
再令 ，于是有
按照 ，得到
所以有 即
考虑到
而
从而解得 ，
6、假定两个假设分别为
其中 的均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M个独立样本 ，采用奈曼—皮尔逊准则进行检验。令 ，试求
（1）判决门限 ；
（2）相应的检测概率 。
解：（1）由题意得
求滤波器的输出功率谱密度；
2）当滤波器的单位冲激响应为
求滤波器的输出功率谱密度。
解：
1）滤波器的输出Hale Waihona Puke Baidu率谱密度
2）滤波器的输出功率谱密度
第三章经典检测理论
1、在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V和0V的脉冲信号，信道上叠加的噪声服从均值为零、方差为 的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。
简单假设和复合假设的区别是，简单假设中的有用信号是确知信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数只是观察数据的函数；而复合假设中的有用信号是含有位置参量或随机参量的信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数既是观察数据的函数，又与信号中的未知参量或随机参量有关，需要通过统计平均的办法来消除参量对似然函数（甚至似然比）的影响。
7.设有状态连续、时间离散的随机过程 ，式中 只能取正整数，即 ，而 为在区间 上均匀分布的随机变量，试讨论 的平稳性。
8.平稳随机过程 的自相关函数为 ，求 均值、二阶原点矩和方差。
解：可按公式求解 。
但在求解周期性分量时，不能得出 ，为此把自相关函数分成两部分：
由于 的对应的随机过程为
所以
而对于 ，有 ，即
其中 为矩形函数，即
信号 的波形如图4.14所示。（1）求信号 的匹配滤波器的系统传输函数 和单位冲激响应 。（2）若匹配滤波器输入噪声 是均值为0、功率谱密度为 的白噪声，求匹配滤波器输出信噪比 。
解：（1）信号 的频谱函数
白噪声下匹配滤波器的系统函数为
匹配滤波器的单位冲激响应 为
（2）匹配滤波器的输出信噪比
1．求在实数区间 内均匀分布的随机变量 均值和方差。
解：变量 的概率密度
均值
方差
2．设 是具有概率密度函数 的随机变量，令 的函数为
试求随机变量 的概率密度函数 。
解：反函数
雅可比式为
所以
4.随机过程 为
式中， 是常数， 和 是两个互相独立的高斯随机变量，而且 ， 。求 的均值和自相关函数。
所以
可理解为
从而有 ， =4
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.若随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.已知平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
解：由于
按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则
可得
这里
选用最大后验概率准则时
接收机的结构为
下面考虑平均错误概率
令检验统计量为
判决规则为
两种错误概率为
平均错误概率为
由于
定义两信号的平均能量为 ，
两信号的时间相关系数为
有
故两种假设下检验统计量的条件概率密度为
所以
同理
所以可得
7.设矩形包络的单个脉冲信号为
所以有
总功率为
平均功率为
随机过程通过线性是不变系统的习题
1、设白噪声的相关函数为 ，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放大器输出的总噪声功率。
解:由于 ，所以其功率谱
线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为
总噪声功率为
2、零均值平稳随机过程 加到一线性滤波器，
1）当滤波器的单位冲激响应为
解：令
则接收信号的似然函数
似然比
由于
假定门限值为 ，则有
所以判决规则（似然比接收机）为：
还应当求出不等式右端的积分值.
4.5二元通信系统中，在每种假设下传送的信号为
假设两种信号是等概发送的，并且 为确知常数， 是均值为零、功率谱密度为 的高斯白噪声，试用最小总错误概率准则确定最佳接收机形式，并计算平均错误概率。
答：在概率密度函数中含有未知参量的假设，称为复合假设。而在概率密度函数中不含有未知参量的假设，称为简单假设。
例如：如果
其中 是含有未知参量或随机参量的信号，而 是确知信号， 是加性噪声。
这样 假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为 ，涉及到参量 ；
而 假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为 ，不涉及任何未知参量，所以 是复合假设， 是简单假设。
得到
又由于 是正态分布的，且
所以有
于是
即
而判决门限
（2）检测概率
或者
要点：（1）
（2）
7、设观察信号 在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。
式中贝叶斯门限
附：高斯误差函数表
第四章确知信号检测
2题、5题、7题
4.2现有两个假设
其中 均为确知常数， 是功率谱密度为 的高斯白噪声，试设计一个似然比接收机。
要点：
答：略
2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为 ，再设代价因子 。信号存在的先验概率 。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。
计算得出
结果：
答：略
3、只用一次观察值 对下面两个假设作出选择， 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量； 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量，且 。试用最大似然函数准则回答下述问题：
输入信号 的能量为
匹配滤波器输出最大的信噪比
（3）可以求出匹配滤波器的输出有用信号
选取观察时间点 ，按照 可以求出匹配滤波器的输出为
简写成
（4）选取观察时间点 ，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：
第五章随机参量信号的检测
思考题1.什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？
（1）根据观察量值，确定判决域 和 。
（2）画出似然比接收机的框图。
（3）求两类错误概率 和 的表达式。
解：（1）由题意得
采用最大似然函数准则， ，
似然比与判决规则为
判决域为，
(2)接收机结构：
（3）两类错误概率
要点：（1） （2）见图
（3）
4、根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断
其中 是均值为零、方差为 的高斯过程，且 。试求判决门限 以及与之对应的两种假设的先验概率。
适用场合:简单假设检验是解决单个确知信号的存在问题，而复合假设检验则是解决依赖于一组未知参量或随机参量的信号存在问题。
解:根据题意得
按照极大-极小方程:
代入 ,得到
另一方面，由于
得到判决规则为
再令 ，于是有
按照 ，得到
所以有 即
考虑到
而
从而解得 ，
6、假定两个假设分别为
其中 的均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M个独立样本 ，采用奈曼—皮尔逊准则进行检验。令 ，试求
（1）判决门限 ；
（2）相应的检测概率 。
解：（1）由题意得
求滤波器的输出功率谱密度；
2）当滤波器的单位冲激响应为
求滤波器的输出功率谱密度。
解：
1）滤波器的输出Hale Waihona Puke Baidu率谱密度
2）滤波器的输出功率谱密度
第三章经典检测理论
1、在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V和0V的脉冲信号，信道上叠加的噪声服从均值为零、方差为 的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。
简单假设和复合假设的区别是，简单假设中的有用信号是确知信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数只是观察数据的函数；而复合假设中的有用信号是含有位置参量或随机参量的信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数既是观察数据的函数，又与信号中的未知参量或随机参量有关，需要通过统计平均的办法来消除参量对似然函数（甚至似然比）的影响。
7.设有状态连续、时间离散的随机过程 ，式中 只能取正整数，即 ，而 为在区间 上均匀分布的随机变量，试讨论 的平稳性。
8.平稳随机过程 的自相关函数为 ，求 均值、二阶原点矩和方差。
解：可按公式求解 。
但在求解周期性分量时，不能得出 ，为此把自相关函数分成两部分：
由于 的对应的随机过程为
所以
而对于 ，有 ，即
其中 为矩形函数，即
信号 的波形如图4.14所示。（1）求信号 的匹配滤波器的系统传输函数 和单位冲激响应 。（2）若匹配滤波器输入噪声 是均值为0、功率谱密度为 的白噪声，求匹配滤波器输出信噪比 。
解：（1）信号 的频谱函数
白噪声下匹配滤波器的系统函数为
匹配滤波器的单位冲激响应 为
（2）匹配滤波器的输出信噪比