金融风险管理-主成分分析

Financial Risk Management
Tools, Measurement, and Future Trends
主成份萃取的運算原理
使组合 ，在 下， Var(y)=aa最大的解a是矩阵的最大特 征值（eigenvalue）所对应的特征向量 （eigenvector） 最大特征值所对应的特征向量a是使 Var(y)=aa最大的解。 假设本范例有身高与体重两变量，为了 提高每位学生的分辨能力，要使线性组 合 的变异数愈大愈好。 在的限制下，找 、 值使
主成份解释的变异数 比例

Var y j
Var y j
p j 1

Var y j
Var xi
i 1
p

j
i
i 1
p

j
p


i 1
p
i
p
在本範例中，1.814+.186=2。
Financial Risk Management
Tools, Measurement, and Future Trends
1 1
2 1
2
2 2 2 2 2 h12i h2 i ......... hki h( k 1) i ...... h pi hi 1
3、只取同一個主成份時，所能解釋各變數的共同性總和為
i
h
i 1
p
2 ji
2 2 2 h2 j1 h j 2 ........ h jp h j j
6
一、主成份分析的基本概念(1/2)
若欲将变量减少成少数几个互相独立的 线性组合变量，亦即潜在变量或成份， 就必须使用主成份分析。 主成份分析法是考虑将资料中原有的p个 变数做线性组合得到k个新变数。通常k 比p小很多。 主成份分析法的另一项功能是能将彼此 间具有相关关系的p个变量，经过线性组 合后成为k个彼此间相关系数为0的新变 量，此过程称为萃取（Extraction）。
1 2
Financial Risk Management
Tools, Measurement, and Future Trends
共同性(Communality， h2 )
第j个主成份解释变量xi的变异数比例称为共同性，写成 h j i 在主成份分析前，初步的（Initial栏）对每一个变数皆为1，经萃取后 （Extraction栏）每一个j变量的共同性为 1 j k p） ，其中k为特征值大于1的变数。 h2 j（ 2 2 2 r h 0 . 952 0.907 (第一主成份解释身高的比例) y x 11 2 0.305 2 0.093 (第二主成份解释身高的比例) ry2 x h21 1、当用来解释变异量的主成份个数取的愈多时，共同性 hi2 愈高 2、当所有主成份都取时， hi2 都等于1
主成分分析
因素分析
2
3
探索性因素分析
4
验证性因素分析
5
主成份分析與因素分析
主成份分析 (PCA) 与因素分析是利用不同的方法來减少变量 数 (Jolliffe, 2010) 参见：Jolliffe, I. T. (2010). Principal Component Analysis (2nd ed.). New York: Springer. PCA 的主要目的是将p个变量，缩减到 m个主成份(principal components)，在这同时尽量保留p个变量的variation
主成份分析的特点与观念
（一）直交性。
（二）特征值就是主成份的变异数。 （三）所有主成份的变异数总和与所有变 量之变异数总 和相等。
（四）主成份解释的变异数比例。
（五）主成份负荷（loading）。
（六）共同性（Communality，h2）。
直交性
1、第j个特征向量（即系数向量）与第j－1个特 征向量直交：亦即 。 在本例中， 。 2、第j个主成份与第j－1个主成份直交：亦 即 。
Financial Risk Management
Tools, Measurement, and Future Trends
24
一、主成份分析的基本概念(2/2)
主成份分析除了用来简化变量间之关系外，可用来 缩减某一组欲进行多变量分析之变量的数目。 主成份分析也可将各变量的原始分数转为主成份分 数，以供进一步的统计分析。 主成份分析还可用来建构多种具有不同衡量单位变 量之综合指针。 主成份亦可根据其负荷量来对主成份命名。 例如：以身高与体重来建构「块頭」指标、以成长 率与市场占有率来建构「行销绩效」指标。
表：主成份分析的观念与 关系汇总比较表
表：主成份分析的共同性、特征值与主成份负荷量之关系( 用矩阵S时)表
主成份分数（Score）
经过主成份萃取后已可得到每个主成份下每个变数的系 数（权重），如此就可得到每笔数据经过主成份转换后 的主成份分数。 后续的分析将不再使用原始变量，而是主成份的综合指 标。至于要如何计算每一笔数据的主成份分数呢？SPSS 将会自动帮您计算。 第i 位资料 ( x1i , x2i ,.., x pi ) 的第 j 个主成份，其中 x i 为第i 个变数的平均数，即： yi a j1 ( x1i x1 ) a j 2 ( x2i x2 ) a jp ( x pi x p ) 如第1位学生在第一个主成份的分数为： 已标准化：0.707(-1.815-0)+0.707(-1.320-0)=-2.216
特征值就是主成份的变异数
Var ( y ) 在本例中 Var ( y ) Var (0.707 x 0.707 x ) 0.5 0.5 0.814 1.814 同理可得 Var ( y ) Var (0.707 x 0.707 x ) 0.5 0.5 0.814 0.186
以共变数矩阵来萃取主成份 通常是未知的，故以求出样本共变异矩阵S代替 。
以相关系数矩阵来萃取主成份
以相关矩阵R取代共变异数矩阵S，再求特征值、特征向量。
以S与R做主成份分析的结果可能会有很大的差别，以S做主成份 分析，容易受使用变量单位的影响。在SPSS的FACTOR程序中的 Extraction框中，尽量勾选Correlation(R)非Covariance(S)。
主成份负荷（loading）
主成份负荷指第j个主成份 称负荷)。
ry j xi a ji j si
与第i个变数
的相关系数(亦
第一主成份与身高的相关系数为 r 0.707 1.814 0.952 yx
1 1
第一主成份与体重的相关系数为 r 0.707 1.814 0.952 yx
j j
1 1 2 1
2 1 2
2
所有主成份的变异数总和与 所有变量之变异数总和相等
wenku.baidu.comar( y
j 1 p j p
) Var( xi )
i 1
在本例中 而且可得
Var ( y1 ) Var ( y 2 ) 1.814 0.186 2.000
Var ( x1 ) Var ( x 2 ) 1.000 1.000 2.000
二、主成份的萃取
(1/2)
1、计算相关矩阵或共变量矩阵估计共同 性(community，或称共通性)：若是相关 矩阵则共同性设为1；若是共变量矩阵则 共同性为各变数的变异数。 2、从相关矩阵或共变数矩阵中，萃取主 成份。 3、決定因素的數目。 4、因素命名與結果解釋。
二、主成份的萃取 (2/2)
假设有p个数字变量，则可计算出p个主成份。
共同性会等于1，亦即没有误差项，故此公式不 写出误差项。 主成份分析重视的是「变异数」，因素分析重视 的则是「共变异数」。为使变异数达到最大，通 常进行主成份分析后不再转轴，而因素分析则需 要转轴。 主成份分析使观察值在这些主成份乃显示出最大 的个别差异。因素分析的目的是找出共同性。