第二章 变质量系统热力学基本方程

第二章 基本方程

关于常质量系统的质量守恒方程、能量守恒方程、熵方程以及气体状态方程和过程方程在工程热力学中均已详述，本章则讨论这些方程用于变质量系统的表达式。

2-1 状态方程及热性质

一、状态方程

对于单相纯物质所构成的简单热力系，其状态方程式为f （p ，v ，T ）=0。对于变质量系统，通常用如下更有用的形式：

f （p ，V ，T ，m ）=0

若工质为理想气体，则状态方程为

pV=mRT (2-1)

式中压力p 、容积V 、温度T 和质量m 都是变量，R 是气体常数。将式（2-1）微分，得

RTdm mRdT Vdp pdV +=+

两边除以mRT ，即可得到状态方程的微分形式：

0=--+T

dT m dm V dV p dp 研究变质量系统问题时经常要用到状态方程的微分形式。

二、内能和焓

理想气体的内能U 、焓H 只是温度的函数。若取定比热，以0K 时的内能和焓为基点，取其值为零，则任一温度TK 时的内能和焓为：

T mc mu U v == (2-2a)

T mc mh H p == (2-2b)

式中c v 为定容比热，c p 为定压比热。理想气体的定容比热c v 和定压比热c p 之间有如下关系：

R c c v p =- (2-3)

k c c v

p = (2-4)

因为变质量系统中质量m 是变量，因而

Tdm c dT mc dmu dU v v +== (2-5) Tdm c dT mc dmh dH p p +== (2-5a)

2-2 变质量系统质量守恒方程

质量守恒就是说：质量不能毁灭，也不能创生。应用此定律时，必须摒弃质量已转变为能量的核子过程，或反之，必须承认物体以接近光速的速度运动时其质量的增加。然而，涉及此类设想之过程均属特殊范畴，而我们感兴趣的则是一般过程的质量平衡，特别是开口系的流动过程。

取控制容积，若过程中有质量为m i 的物质进入控制容积，质量为m e 的物质离开控制容积，则进、出质量之差必然增加了控制容积的质量而贮存于系统中，也就是说

进入的质量=系统中贮存质量的变化+离开的质量

或表示为

e cv i m m m m +-=)(12

cv e i m m m m )(12-=- (2-6)

m 2为控制容积最终贮存的质量，m 1为最初贮存的质量。

假定取时间dt ，在dt 时间内进入控制容积的微元质量为i m δ，离开的微元质量为

e m δ，则上式又可表示为

cv e i dm m m =-δδ (2-6a)

以上两式即是质量守恒的一般方程式。此两式说明：控制容积总质量的改变等于与外界交换的质量。其实，任何守恒原理均可表示为

加入的=Δ（贮存的）+离开的

假如开口系中除了有与外界的质量交换外，系统内组元间还有化学反应，则对组元来说，其质量变化可由两部分组成：一部分是与外界的质量交换，另一部分则是由于体系内部发生变化而引起。这时

内外dm dm dm +=

当没有化学变化时，则外dm dm =。这种把质量的改变分为与外界交换的外来部分和内部的内在部分的这种方法可推广应用到其他参数，在讨论第二定律的表达式时对熵也可作这样的处理。

在讨论变质量系统问题时经常应用的是以率形式表示的式子。下面我们就以控制容积法来导出。

图2-1示出了控制容积示意图。图中虚线表示控制面，实线表示控制质量边界。控制质量为控制容积的质量加上即将流入或流出的质量。在dt 时间内有i m δ自控制面流入控制容积。e m δ从控制容积流出。根据质量守恒原理，控制容积内质量的变化应等于进入与离开控制容积的质量之差，即

0)()(,,=-+-+i e t cv dt t CV m m m m δδ (2-7)

等式各项除以dt ，得

0,,=-+-+dt

m dt m dt m m i

e t cv dt t cv δδ (2-7a)

则可写出以瞬时率表示的方程

0=-+i e cv

m m dt

dm (2-8) 式中

dt dm cv

为控制容积中的质量瞬时变化率； e e

m dt m =δ为自控制容积离开的瞬时质流率； i i

m dt

m =δ为进入控制容积的瞬时质流率。 若实际上不只一个入口和出口，则

0=-+∑∑i e cv

m m

dt

dm (2-8a) 控制容积内的状态在任一瞬时若不均匀，则可把控制容积任意划分为可作为均匀系处理的许多小区域dV ，而每一个dV 中的密度是均匀的，因而dV 中的质量为ρρ,dV 为局部密度。在任一瞬时控制容积的质量为

⎰=V

cv dV m ρ (2-9)

若工质流过开口界面时其参数和流速也不均匀，在复杂情况下，气流方向也可能不垂直于开口界面，而且控制面本身也可能运动。

图2-2示出：控制面以速度V CS 运动，其开口界面面积为A ，工质流过时速度不均匀。假定取一微元截面dV ，则此微元区域的状态和速度V 是均匀的。流体通过控制面A 的速度为Vr ，其垂直分速度为n r V ，于是通过dA 的瞬时流率可用下式求出：

dA V m

n r ρδ= (2-10) 式中ρ为局部密度。通过控制面A 的总质量流率为

dA V m m

A

n r A

⎰⎰==ρδ (2-10a) 因而，考虑控制容积中和开口界面的参数不均匀时，质量守恒方程可写为

0=+⎰⎰dA V dV dt d

A

n r V

ρρ (2-11) 式中第二项是沿整个控制面积分，n r V 以自控制容积垂直向外为正，在不开口处为零。

假定控制面是静止的，流速垂直于控制面，则V V n r =。假定任一时刻工质通过控制面时其参数和流速是均匀的，则沿控制面A 其ρ和V 是常数，因而

AV VdA m

A

ρρ==⎰ (2-12) 这就是用平均参数写出的连续方程。当参数均匀时用此式已足够了。

对于以后经常用到的一维情况，如图2-3所示；则式(2-12)可写成

t

Adx t m dx dx m d ∂∂-=∂∂-=ρ