离散数学及其应用

离散数学及其应用

第一章命题逻辑

习题：

1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题。

（1）离散数学是计算机专业的一门必修课。

（2）李梅能歌善舞。

（3）这朵花真美丽！

（4）3+2>6.

（5）只要我有时间，我就来看你。

（6）x=5.

（7）尽管他有病，但他仍坚持工作。

（8）太阳系外有宇宙人。

（9）小王和小张是同桌。

（10）不存在最大的素数。

2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？

（1）P→（P∧Q）。

（2）（⌝P→Q）→（Q→P）））。

（3）（（⌝P→Q）→（Q→P））。

（4）（Q→R∧S）。

（5）（P∧QR）→S。

（6）（（R→(Q→R)→(P→Q))。

3.将下列命题符号化：

（1）我们不能既划船又跑步。

（2）我去新华书店，仅当我有时间。

（3）如果天下雨，我就不去新华书店。

（4）除非天不下雨，我将去新华书店。

（5）张明或王平都可以做这件事。

（6）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

（7）只有休息好，才能工作好。

（8）只要努力学习，成绩就会好的。

（9）大雁北回，春天来了。

（10）小张是山东人或河北人。

4.构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值。

（1）⌝（P∨⌝Q）。

（2）P∧（Q∨R）。

（3）⌝（P∨Q）↔（⌝P∧⌝Q）。

（4）⌝P→（Q→P）。

5.分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型：

（1）（P∨Q）→（P∧Q）。

（2）（P∧Q）→（P∨Q）。

（3）（⌝P∨Q）∧⌝（Q∨⌝R）∧⌝（R∨⌝P∨⌝Q）。

（4）（P∧Q→R）→（P∧⌝R∧Q）。

（5）（Q→P）∧（⌝P∧Q）。

（6）（⌝P↔Q）↔（P↔Q）。

（7）（P∧Q）∧⌝（P∧Q）。

6.分别用真值表法和公式法证明下列各等价式：

（1）（P∨Q）→（P∧Q）。

（2）⌝（P∨Q）∨（⌝P∧Q）⇔⌝P。

（3）（P∧Q）∨⌝P⇔⌝P∨Q。

（4）P→（Q∧R）⇔（P→Q）∧（P→R）。

（5）（P→Q）∧（R→Q）⇔（P∨R）→Q。

（6）（P∧Q∧A→C）∧（A→P∨Q∨C）⇔（A∧（P↔Q））→C。（7）⌝（P Q）⇔⌝P ⌝Q。

（8）⌝（P Q）⇔⌝P ⌝Q。

7.设A，B，C为任意的三个命题公式，式问下面的结论是否正确？（1）若A∨C⇔B∨C，则A⇔B。

（2）若A∧C⇔B∧C，则A⇔B。

（3）若⌝A⇔⌝B，则A⇔B。

（4）若A→C⇔B→C，则A⇔B。

（5）若A↔C⇔B↔C，则A⇔B。

8.试给出下列命题公式的对偶式：

（1）（P∧Q）∨R。

（2）T∨（P∧Q）。

（3）（P∨Q）∧F。

（4）⌝P（P∧Q）∧（⌝P∨Q）。

9.分别用真值表法、分析法和公式法证明下列蕴涵式：

（1）⌝（P→Q）⇒ P∨Q。

（2）（P→Q）→Q⇒ P∨Q。

（3）P→Q⇒ P→（P∧Q）。

（4）（P→Q）∧（Q→R）⇒（P→R）。

10.将下列命题公式化成与之等价的仅含联结词或的公式：（1）P∧（Q→R）.

（2）（P→（Q∧R））∨P。

第二章谓词逻辑

第三章集合

上机实验：

编写程序，实现以下功能：

（1）求集合{a，b，c}的幂集。

（2）求集合A={1，2，3}和B={3，4，5}的交集与并集。

（3）求S={1，2，3，4，5}的所有全排列及所有4个元素的子集。

第四章关系

上机实验：

编写程序，实现下面功能：

（1）给定一个关系，能够判断这个关系是否具有自反性、对称性、传递性。

（2）给定两个关系R1和R2，能够进行复核运算R1*R2.

（3）给定一个关系R，能够求得其自反闭包r（R）、对称闭包s（R）和传递闭包t（R）。

（4）判断一个关系是否为等价关系，如果是，给出等价类集合。（5）求给定偏序关系的哈斯矩阵。

第五章函数

第六章整数

编写程序，实现下面的功能：

（1）判断一个数是否是素数。

（2）求小于100的所有素数。

（3）求两个数m与n的最大公因数和最小公倍数。

第七章同余

第八章代数系统

第九章格与布尔代数

第十章图

编写程序，实现下面的功能：

（1）求图的可达矩阵。

（2）求图的任何两个结点之间特定长度的路的数量。

（3）求图中任何结点所在的强分图、任何边所在的单向分图。（4）求图中的割点和割边。

（5）求图中的所有极大匹配。

（6）求图中的所有最短路径。

（7）求图中的所有关键路径。

（8）求加权图的最小生成数。

（9）求二叉树对应的前缀码。

第十一章形式语言与自动机简介

上机实验：

设计一个状态输出自动机M，对于输入的一个二进制数x，M输出x 被3除的余数，并在计算机上实现。

第十二章纠错码简介

上机实验

一个（8，4）码，它的校验位a5，a6，a7，a8满足下列方程：

a5=a1+a2+a4

a6=a1+a3+a4

a7=a1+a2+a3

a8=a2+a3+a4

编程求出满足此校验方程的可纠正单错的（8，4）码，并求出接收字01000000，00011111，01101101的发送字。