选修4-5不等式证明的基本方法

选修4－5 不等式选讲第2课时

不等式证明的基本方法(对应学生用

书(理)200～202页

)

1. 设a 、b ∈R ＋

，试比较

a ＋b

2与a ＋b 的大小． 解：∵ (a ＋b)2

－⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋

b 22

＝（a －b ）2

2≥0，∴ a ＋b ≥

a ＋b

2

. 2. 若a 、b 、c ∈R ＋

，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值．

解：(1·a ＋1·b ＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c)＝3，即a ＋b ＋c 的最大值为 3.

3. 设a 、b 、m ∈R ＋

，且b a

证明：由b a

，所以b －a ＜0，即

b ＜a.

4. 若a 、b ∈R ＋

，且a ≠b ，M ＝a b ＋b

a

，N ＝a ＋b ，求M 与N 的大小关系． 解：∵ a ≠b ，∴ a b ＋b>2a ，b

a

＋a>2b ， ∴

a b ＋b ＋b a ＋a>2b ＋2a ，即a b ＋b

a

>b ＋a ，即M>N. 5. 用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1

2

(n>1，n ∈N *)的过程中，用n ＝k ＋1时左边的代数式减去n ＝k 时左边的代数式的结果是A ，求代数式A.

解：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1

k ＋3＋…

＋

1（k ＋1）＋（k ＋1），

故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1

，即A ＝

1

（2k ＋1）（2k ＋2）

.

1. 不等式证明的常用方法

(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．

(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．

(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．

2. 不等式证明的其他方法和技巧

(1) 反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．

(2) 放缩法

欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥

C n≥B，利用传递性达到证明的目的．

(3) 数学归纳法

[备课札记]

题型1 用比较法证明不等式

例1求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.

证明：∵ (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝1

2

(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝1

2[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝1

2[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0. ∴ a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 备选变式（教师专享） 已知a>0，b>0，求证：

a b ＋b

a

≥a ＋ b. 证明：(证法1)∵ ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －(a ＋b)＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a

a ＝

（a －b ）（a －b ）ab ＝（a ＋b ）（a －b ）2

ab

≥0，∴ 原不等式成立．

(证法2)由于

a b ＋b a a ＋b ＝a a ＋b b ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋b

ab

－

1≥2ab

ab

－1＝1.

又a>0，b>0，ab>0，∴

a b ＋b

a

≥a ＋ b. 题型2 用分析法、综合法证明不等式 例2 已知x 、y 、z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1

z

.

证明：(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得y

zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y .将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1

z

. (证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1

z .只要证x 2＋y 2＋z 2xyz ≥

yz ＋zx ＋xy

xyz ，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －

y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．

变式训练

已知a>0，求证：

a 2＋1a 2－2≥a ＋1a

－2.