多元随机变量的数字特征

多元随机变量的数字特征

1．均值向量

随机向量),,,(21'=p X X X x 的均),,,()(21'

==p x E μμμμ 其中 p j X E j j ,...,

2,1),(==μ 2．协方差矩阵(Covariance Matrix )))(()('--=μμ

x x E x D

其中的 μ -x ),,,(2211'---p p X X X μμμ ＝ ),,,21'≡p x x x （

于是 ))(('--μμ x x

()p p j i p p p p p p x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⨯≡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212221212111()()p

p j i p p j i x x E x x E x D ⨯⨯==∴）（)( ()()p p p p ij p p j i X X Cov ⨯⨯⨯∑≡≡=σ),(

协方差矩阵： *主对角线元素是各分量的方差； *是一个实对称矩阵； *行列式⎢∑ ⎢称为多元随机变量的广义方差。

3．均值向量与协方差矩阵的性质 在以下的表述中b 代表一个常数； ),...,,(,),...,,(2121'='=p p d d d d c c c c 是两个p 维常数向量。 A=(a ij )n ⨯p 是一个n 行p 列的常数矩阵，B=(b jk )p ⨯n 是一个p 行n 列的常数矩阵。

性质1 )

()(,

)()(2x D b c x b D c x bE c x b E =++=+ 性质2,)()(),

()(c x E c x E x E c x c E '=''=' c x D c x c D )()('='

性质3,)()(),()(A x E A x E x AE x A E ''=''=

B x x AE B x x A E )()('=' ，A x AD x A D '=)()(

性质4d x D c x d x c Cov )(),('=''协方差矩阵为非负定矩阵。

4．相关矩阵

1）分量X i 与X j 的相关系数

)()()

,(),(j i j i j i ij X Var X Var X X Cov X X Corr ==ρ

p ⨯p 矩阵M=(ρij )p ⨯p 称为相关矩阵。

2）标准化变量

p i X Var X E X X i i i i ,...,2,1,)()(=-=*

当随机向量的每个分量都是标准化变量时，得到的协方差矩阵就是相关矩阵。