第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案

一、 填空题☎每空  分，共  分✆ 设()=⎰2

2

t x

F

x e dt ，则()F x '=-2

2x xe

曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫

⎪⎝⎭

1442ππ处

的切平面方程是--+=210x y z

交换累次积分的次序：

()(),,-+⎰⎰⎰⎰12330010

x

dy f x y dx dy f x y dx

=

(),-⎰⎰

2

302

x x dx f x y dy

设闭区域 是由分段光滑的曲线☹围成 则：

使得格林公式： ⎛⎫

∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D L

Q P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：

()(),,和在D上具有一阶连续偏导数

P x y Q x y

其中☹是 的取正向曲线

级数

∞

=-∑

1n

n 的收敛域是

(]

,-33

二、 单项选择题 ☎每小题 分 共 分✆

当→0x ，→0y 时 函数

+242

3x y

x y 的极限是

()D

✌等于   等于1

3

 等于1

4

 不存在

函数(),=z

f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，

(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C

✌充分必要条件 充分但非必要条件 必要但非充分条件  既非充分又非必要条件 设()cos sin =+x z

e y x y ，则==10

x y dz

()=B

✌e  ()

+e dx dy  ()-+1

e dx dy  ()+x e dx dy

若级数

()

∞

=-∑1

1n

n n a x 在=-1x 处收敛

则此级数在=2x

处()A

✌绝对收敛 条件收敛

发散 收敛性不确定 微分方程

()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D

✌ 3x

ae 

()+3x ax b e

 ()+3x

x ax b e 

()+23x

x ax b e

三 （ 分）设一平面通过点

(),,-312 而且通过

直线

-+==43521

x y z

求该平面方程 解：

()(),,,,,--312430A B

(),,∴=-142AB 平行该平面

∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z

即：---=8922590x

y z

四 （ 分）设(

),=y

z f xy e

其中

(),f u v 具有二阶连续偏导数 试求∂∂z

x

和

∂∂∂2z

x y

解：令=u

xy ，=y v e

∂=∂u z

yf x ()()

∂∂

==++∂∂∂2y u u uu uv

z yf f y xf e f x y y

五 （

分）计算对弧长的曲线积分

⎰L

其中L 是圆周+=2

22x

y R 与直线,==00x y

在第一象限所围区域的边界

解：=

++123L L L L

其中： 1L ：(),+=≥≥2

2200x

y R x y

2L ：()=≤≤00x y R 3L ：

()=≤≤00y x R

∴===⎰⎰⎰⎰1

2

3

L

L L L

而

Re ==

⎰⎰1

20

2

R

R L e Rdt π

π

==-⎰⎰2

01R

y R L e dy e

==-⎰⎰3

01R

x R L e dx e

故：

()

Re =

+-⎰21

2

R R L

e π

六、（ 分）计算对面积的曲面积分∑⎛

⎫++ ⎪⎝

⎭⎰⎰423z x y dS

其中∑为平面

++=1234

x y z

在第一卦限中的部分 解：

xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩02

3032

x y

x

=3

∑⎛

⎫

∴++

== ⎪⎝

⎭⎰⎰⎰⎰42433xy

D

z x y dS dxdy

-==⎰⎰32

3200

x dx

七 （ 分）将函数()=++2

1

43

f x x x 展开成x 的幂级数

解：()⎛⎫=-=⋅

-⋅ ⎪+++⎝⎭+1111111

21321613

f x x

x x x 而 ()∞=⋅

=-+∑0

1111212n n

n x x (),-11 ()

∞

=-⋅

=+∑0111

63

13

n

n n n x x (),-33