2020.1北京市朝阳区高一年级第一学期期末-数学试题及答案(图片版),推荐文档
2020-2021北京市朝阳外国语学校高一上学期数学期末考试及答案
北京市朝阳外国语学校2020-2021学年度第一学期期末考试高一年级 数学试卷班级_____层______ 姓名______________ 成绩__________一、 单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合{}1,0,1,2A =-,{B x y ==，则()RAB 等于 （ ）A.{}1B.{}0C.{}1,0-D.{}1,0,1-2.下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是 （ ） A.cos y x =B.|1|y x =-C.2y x =D.ln y x =3.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 （ ） A.sin(+)2πα B.s(+)2co πα C.sin()πα+ D.s()co πα+4.函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ） A.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.下列命题正确的是 （ ）A.若a b ≥，则11≤a bB.若ln ln a b ≥，则11≤a bC.若a b ≥，则b c b a c a+≥+ D.a b e e ≥，则11≤a b 6.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 在π2π[,]63上单调递增”是“02ω<≤”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在ABC ∆中,若tan tan 1,A B >则ABC ∆是 （ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 8.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A.B.C. D.9.已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 （ ）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<10.如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿 线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB y =)．令 P 与Q 同时分别从A ，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是7710110()exy =，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为 （ ） A.3ln 2B.4ln 3C.ln 2D.ln3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答题卡横线上.） 11.命题p ：“[)0,x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为__________________. 12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若PCA1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则t =___________,s 的最小值为____________. 14.函数()cos23cos f x x x =--的最小值为___________．15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠===的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________ .16.已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=,且当(]0,2x ∈时(),23xf x =-有以下三个结论： ①()112f -=-； ②当1142a ⎛⎤∈⋅⎥⎝⎦时，方程()f x α=在区间[]4.4-上有三个不同的实根； ③函数()f x 有无穷多个零点，且存在一个零点Z b ∈.其中，所有正确结论的序号是____________. 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17.（本小题满分12分）已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-． （Ⅰ）当1m =-时，求AB ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若AB =∅，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分15分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<同时．．满足下列四个条件中的三个：① 最小正周期为π； ② 最大值为2； ③(0)1f =-； ④()06f π-=.（Ⅰ）给出函数()f x 解析式，并说明理由； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.（Ⅲ）求函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．19.（本小题满分14分）已知二次函数 ()222f x x ax =++．（Ⅰ）若[]15x ∈， 时，不等式()3f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）解关于x 的不等式 ()()21a x x f x ++>（其中 a ∈R ）．20.（本小题满分15分）若a ，b ，c 为锐角ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且()222sin sin sin sin sin B C B C B C +-+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．21.（本小题满分14分）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数． （Ⅰ）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （Ⅱ）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（Ⅲ）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．北京市朝阳外国语学校2020-2021学年度第一学期期末考试高一年级 数学试卷答案一、 单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.D2.C3.D4.A5.B6.A7.C8.D9.A 10.B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答题卡横线上.）11.[)00,∃∈+∞x ，020x e x ≤ 12. 79- 13.12t =，s 的最小值为6π14.4- 15.{|012k k <≤或k = 16.①②. 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17.【详解】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m mm m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由AB =∅得①若21mm ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21m m ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩．得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<．综上知0m ≥，即实数的取值范围为[)0,+∞．18.解：（Ⅰ）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与π0,02A ϕ><<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2ππ||ω=， 又因为0ω>，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得ππ()2sin()063f ϕ-=-+=，又因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=.所以π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅱ）由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， 得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . （Ⅲ）当,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，[]()2sin 21,23f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ 所以函数f(x)的值域为[]1,2-．19.【详解】(1) 不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]15x ∈， 时，可变形为：222x a x x x +<=+，即min 2a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭.又2x x +≥=2x x=，即[]15x =，时，等号成立，2min x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即a <实数a的取值范围是：a <（2） 不等式 ()()21a x x f x ++>，即 ()22122a x x x ax ++>++，等价于()21220ax a x +-->，即()()210x ax -+>，①当0a =时，不等式整理为20x ->，解得：2x >； 当0a ≠时，方程()()210x ax -+=的两根为：11x a=-，22x = ②当0a >时，可得102a -<<，解不等式 ()()210x ax -+>得：1x a<- 或 2x >； ③当102a -<<时，因为12a ->，解不等式 ()()210x ax -+>得：12x a <<-；④当12a =-时，因为12a -=，不等式 ()()210x ax -+>的解集为 ∅；⑤当12a <-时，因为12a -<，解不等式 ()()210x ax -+>得：12x a-<<；综上所述，不等式的解集为：①当0a =时，不等式解集为()2,+∞；②当0a >时，不等式解集为()12a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭,,；③当102a -<<时，不等式解集为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当12a =-时，不等式解集为∅；⑤当12a <-时，不等式解集为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.【详解】（1）在ABC ∆中，可得B C A +=π-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=， 因为()222sin sin sinsin sin B C B C B C +-+=，即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理，可得222b c a bc +-=，又由余弦定理，可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知3A π=，可得23B C π+=， 又由正弦定理sin sin c b C B = ，可得sin 2sin sin sin b C Cc B B==，则2sin()112sin 313sin 2sin 22sin 3sin 22tan ABC B C S bc A B B Bππ-==⨯⨯⨯==+⨯， 因为ABC ∆为锐角三角形，可得02B π<<且2032B ππ<-<，解得62B ππ<<，所以tan B >，所以10tan B<>所以2ABC S <<△，即ABC 的面积的取值范围是2. 21【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =， 考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<=，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=， 分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n Mx ∴=， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈， 特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．。
2020年北京市朝阳区实验中学高一数学上学期期末试题
数学试卷一、选择题 1、已知集合，，则集合是A ．B ．C ．D ．2.对于R α∈,下列等式中恒成立的是( ) A. ()cos cos αα-=-B. ()sin sin αα-=-C. ()sin sin παα+=D. ()cos cos παα+=3、要得到函数 y = sin 的图象,只要将函数 y = sin x 的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位4、设，则A ．B ．C ．D ．5、化简向量等于A. B. C.D.6、已知函数 是定义域为R 的奇函数,当时,,则等于A 、B 、C 、D 、<7、在同一个坐标系中画出函数 的部分图象，其中 ，则下列所给图象中可能正确的是8、定义在R 上的偶函数满足:对任意的 ,有,则当时,有A 、B 、C 、D 、<二、填空题 9、已知点A,B ,则线段AB 的中点M 的坐标为 ___________10.已知42,lg ax a ==,则x =__________. 11、如果函数的图象过点，那么 的值为12.已知()()221120x f x x x--=≠,则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________. 13、在中，，且,则边的长为14、已知函数若函数 有3个零点,则实数 的取值范围是 ______ ▲_______. 三、解答题 15、已知向量,.(I) 若 , 共线,求 的值;(II)若,求的值;(III)当时,求与夹角的余弦值.16、已知.(I) 求函数的定义域;(II) 判断函数的奇偶性;(III)求的值.17、已知, .(1)求的值;(2)求的值;(3)若且,求的值18、已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值19、已知函数, .(1)当时,求函数的最大值;(2)如果对于区间上的任意一个,都有成立,求的取值范围.20、已知函数满足,对于任意R都有,且,令.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）研究函数在区间上的零点个数.参考答案答案： 1、 解析： 略 2.答案：B解析：根据诱导公式知:结合正弦、余弦函数的奇偶性得: ()cos cos αα-=,故A 错;()sin sin αα-=-正确,故B 对;()sin 180sin αα︒-=故C 错; ()cos 180cos αα︒+=-,故D 错.∴只有B 正确. 故选B.答案： 3、解析： 根据函数图象平移“左加右减,上加下减”的原则可知,将函数 的图象向左平移个单位可以得到函数 的图象,故选A答案： 4、 解析：，所以，故选A答案： 5、 解析：,故选B 。
2022-2023学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高一年级上册学期数学期末练习试题【含答案】
2022-2023学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高一上学期数学期末练习试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}2log ,2A y y x x ==>{}4B y y =<A B = A ．B ．C ．D ．{}04y y <<{}01y y <<{}14y y <<∅【答案】C【解析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.A A B ⋂【详解】因为对数函数为增函数，当时，，即，2log y x =2x >22log log 21x >={}1A y y =>又，因此，.{}4B y y =< {}14A B y y ⋂=<<故选：C.2．命题“，”的否定是（ ）0x ∀>2210x x -+≥A ．，B ．，0x ∃>2210x x -+<0x ∀>2210x x -+<C ．，D ．，0x ∃≤2210x x -+<0x ∀≤2210x x -+<【答案】A【解析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“，”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，0x ∀>2210x x -+≥所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>2210x x -+≥0x ∃>2210x x -+<故选：A3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．yB ．y ＝3x ﹣3﹣xC ．y ＝tanxD ．y 1x=-【答案】B【解析】对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.()(),00,-∞⋃+∞对于B 选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.13333x x x x y -=-=-R对于C 选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.,,22k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭对于D 选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.[)0,∞+综上所述，符合题意的是B 选项.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4．已知，则的大小关系为（ ）3.11211, 3.1,lg22a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A ．B ．C ．D ．c<a<b a c b <<c b a <<a b c<<【答案】A【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结,,a b c 果.【详解】，，， 3.11(0,1)2a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭123.11b =>1lg 02c =<，c a b ∴<<故选：A ．5．函数的图象可能是（ ）2()ln ||xfx x x =+A．B．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的单调性排除A D ；根据排除C.(1)(1)f f -≠【详解】因为，2()ln ||xf x x x =+()12ln ,012ln ,0x x x x +>⎧=⎨-+-<⎩所以函数在上递减，在上递增，故排除A D ；2()ln ||xf x x x =+(,0)-∞(0,)+∞因为，，所以，所以函数不是偶函数，图象不关于轴对称，(1)1f -=-(1)1f =(1)(1)f f -≠()f x y 故排除C.故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不符合的选型进行求解是解题关键.6．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）()2114log 11a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩，，R a A ．B ．1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．D ．1142⎡⎤⎢⎣⎦，112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C【解析】当时，经分析不符合题意，当时，根据分段函数单调性的求法，列出不等式1a >01a <<组，即可求得答案.【详解】当时，在为减函数，在为增函数，1a >21()4f x ax x =--1(,2a -∞()log 1a f x x =-(1,)+∞不符合题意；当时，可得在R 上为单调递减函数，01a <<()f x 所以，解得，011121114a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩1142a ≤≤故选：C二、多选题7．已知函数的最小正周期为 ，且，则下列说法中正确的()sin()(0)f x x ωϕω=+>π()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有（ ）A ．的一个零点为B ．是偶函数()f x 8π-8f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在区间上单调递增D ．的一条对称轴为()f x 37,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 38x π=-【答案】AD【解析】利用周期公式可求，由恒成立，结合的范围，可求，求得函数的2ω=()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ϕϕ解析式，比较各个选项即可得答案.【详解】由函数的最小正周期为，()()()sin 0f x x ωϕω=+>π得，得，2ππω=2ω=又，()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()max 8f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即，()2282k k Z ππϕπ⨯+=+∈得，()24k k Z πϕπ=+∈故，()sin 22sin 244f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，sin 20884f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项A 正确；又是奇函数，sin 2sin 2884f x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 不正确；当，()37,,2,2884x x πππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭所以在区间不单调；()f x 37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选项C 不正确；由，33sin 2sin 18842f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项D 正确；故选：AD.8．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列[],a a -()y f x =()y g x =0a c b >>>四个结论中正确的有（）A ．方程有且仅有三个解B ．方程有且仅有三个解()0f g x =⎡⎤⎣⎦()0g f x =⎡⎤⎣⎦C ．方程有且仅有八个解D ．方程有且仅有一个解()0f f x =⎡⎤⎣⎦()0g g x =⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外()t f x =()t g x =()y f x =()y g x =层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；()y f x =a y c -≤<-c y a <≤()y f x =当时，方程只有两解；当时，方程有三解；y c =±()y f x =c y c -<<()y f x =对于方程，当时，方程只有唯一解.()y g x =a y a -≤≤()y g x =对于A 选项，令，则方程有三个根，，，()t x g =()0f t =1t b =-20t =3t b =方程、、均只有一解，()g x b =-()0g x =()g x b =所以，方程有且仅有三个解，A 选项正确；()0f g x =⎡⎤⎣⎦对于B 选项，令，方程只有一解，()t f x =()0g t =1t b =方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B 选项正确；()f x b=()0g f x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，设，方程有三个根，，，()t f x =()0f t =1t b =-20t =3t b =方程有三解，方程有三解，方程有三解，()f x b=-()0f x =()f x b=所以，方程有且仅有九个解，C 选项错误；()0f f x =⎡⎤⎣⎦对于D 选项，令，方程只有一解，方程只有一解，()t x g =()0g t =1t b =()g x b=所以，方程有且仅有一个解，D 选项正确.()0g g x =⎡⎤⎣⎦故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：()y f g x ⎡⎤=⎣⎦（1）确定内层函数和外层函数；()u g x =()y f u =（2）确定外层函数的零点；()y f u =()1,2,3,,i u u i n == （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、()1,2,3,,i u u i n == ()u g x =1a 2a 3a ，则函数的零点个数为.n a ()y f g x ⎡⎤=⎣⎦123n a a a a ++++ 三、填空题9．函数的定义域为_______.1()lg(2)3f x x x =-+-【答案】(2,3)(3,)⋃+∞【解析】由对数函数的真数大于零和分式的分母不为零，列不等式组可得答案【详解】解：由题意得，解得或，2030x x ->⎧⎨-≠⎩>2x 3x ≠所以函数的定义域为，(2,3)(3,)⋃+∞故答案为：(2,3)(3,)⋃+∞10．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左cos y x =平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.4π【答案】sin 2y x=-【解析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，cos y x =可得的图象，再向左平移个单位，cos 2y x =4π所得图象的解析式为，cos 24y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即.cos 2sin 22y x xπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭故答案为：sin 2y x=-11．已知函数，方程有两个实数解，则的范围是____．()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩()f x k =k 【答案】{}()43,--+∞ 【解析】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范y k =()f x k 围.【详解】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，y k =()f x 作出直线与函数的图象如下图所示：y k =()f x由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点.4k =-3k >-y k =()f x 因此，实数的取值范围是.k {}()43,--+∞ 故答案为：.{}()43,--+∞ 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、双空题12．若的终边过点，则_________．________．α(1,2)-tan α=sin()sin cos()2παπαπα-=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭【答案】 2-1-【解析】由三角函数的定义可得，利用诱导公式和同角公式化简后，tan αsin()sin cos()2παπαπα-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭代入可求得结果.tan α【详解】因为的终边过点，由三角函数的定义可得，α(1,2)-2tan 21α==--.sin()sin 11tan (2)1cos cos 22sin cos()2παααπαααπα-===⨯-=-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭故答案为：；2-1-【点睛】关键点点睛：利用三角函数的定义和诱导公式求解是解题关键.13．设函数，若，则实数________，________．log (0)()2(0)ax x x f x x >⎧=⎨≤⎩1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭=a ((2))f f =【答案】 .14【解析】代入分段函数求解的值，然后再求和的值.a (2)f ((2))f f 【详解】，所以，；，111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭1212a=21124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭()212412log 2log 22f -===-所以.121((2))(22f f f -=-==故答案为：.14五、解答题14．已知集合，集合．4{|0}3x A x x -=>+{|221}B x a x a =-≤≤+（1）当时，求和；3a =A ()R A B⋃（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．x A ∈x B ∈a 【答案】（1）或，；（2）或.{|3A x x =<-}4x >(){}|37R AB x x ⋃=-≤≤ 2a <-6a >【解析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从3a =B A 而可求出；()R A B ⋃ (2)由题意知，当时，；当时，或，从而B A B =∅221a a ->+B ≠∅221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩22124a a a -≤+⎧⎨->⎩可求出实数的取值范围.a 【详解】解：（1）由题可知，当时，则，3a ={}|17B x x =≤≤或，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭}4x >则，{}|34R A x x =-≤≤ 所以.(){}{}{}|34|17|37R A B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤ （2）由题可知，是的必要不充分条件，则，x A ∈x B ∈B A当时，，解得：；B =∅221a a ->+3a <-当时，或，B ≠∅221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩22124a a a -≤+⎧⎨->⎩解得：或；32a -≤<-6a >综上所得：或.2a <-6a >【点睛】结论点睛：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q qp （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q p q（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．p qqp 15．已知，.π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3tan 4α=-（1）求的值；tan 2α（2）求的值；sin 2cos 5cos sin αααα+-（3）求的值.πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)；(2)24-7523【解析】(1)利用二倍角的正切公式求解即可；(2)将分子分母同除得到，代值求解即可；sin 2cos 5cos sin αααα+-cos αtan 25tan αα+-(3)先求得，再用两角差的正弦公式求解即可.sin 2,cos 2αα【详解】(1)2232()2tan 244tan 2===-31-tan 71-()4ααα⨯--(2)3-2sin 2cos tan 254===35cos sin 5tan 235-4αααααα⎛⎫+ ⎪++⎝⎭--⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)222232()2sin cos 2tan 244sin 2====-3sin cos 1+tan 251+()4ααααααα⨯-+-2222222231-()cos sin 1-tan 74cos2====3sin cos 1+tan 251+()4ααααααα--+-π12417sin 22cos 26225225ααα⎛⎫⎛⎫∴----⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．函数是R 上的奇函数，a ，b 是常数．12()2x x b f x a +-=+（1）求a ，b 的值；（2）若不等式对任意实数x 恒成立，求实数k 范围．()()33920x x x f k f ⋅+--<【答案】（1）；（2）.2,1a b ==(),1-∞-【解析】（1）根据函数是R 上的奇函数，由求解. ()f x ()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩（2）由（1）知，先利用单调性的定义证明是R 上的增函数，11()221xf x =-+()f x 再结合奇偶性，将不等式对任意实数x 恒成立，转化为不等式()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意实数x 恒成立求解.2133x x k -++<【详解】（1）因为函数是R 上的奇函数，12()2x x bf x a +-=+所以 ，()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得21a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知，12111()22221x x x f x +-==-++设，且，12,x x R ∈12x x <则，()()12121222()()2121x x x x f x f x --=++因为，12x x <所以，12220x x -<又，12210,210x x +>+>所以，即，12())0(f x f x -<12()()f x f x <所以是R 上的增函数，()f x 因为不等式对任意实数x 恒成立，()()33920x x x f k f ⋅+--<所以不等式对任意实数x 恒成立，()()()3392392x x x x x f k f f ⋅<---=-++所以不等式对任意实数x 恒成立，3392x x x k ⋅<-++所以不等式对任意实数x 恒成立，2133x x k -++<令，()2133x x g x +-+=令 ，30x t =>则由对勾函数的性质得：211y t t +=≥+-即的最小值为，()gx 1所以.1k <所以实数k 的范围是.(),1-∞-【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D 上有最值，则；；()f x ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；()a f x >()a f x <()()max a f x a f x >⇔>.()()min a f x a f x <⇔<。
2023-2024学年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{﹣2，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，1}B ．{﹣2，2}C ．{1，2}D ．{2，3}2．命题“∀x ∈R ，都有|x |+x ≥0”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，使得|x |+x ＜0 B ．∃x ∈R ，使得|x |+x ≥0 C ．∀x ∈R ，都有|x |+x ≤0D ．∀x ∈R ，都有|x |+x ＜03．若a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．1a ＜1bC ．ac ＞bcD ．2a ＞2b4．设x ∈R ，则“x ＞1”是“x 2＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知x 0是函数f （x ）＝e x +x 3的一个零点，且a ∈（﹣∞，x 0），b ∈（x 0，0），则（ ） A ．f （a ）＜0，f （b ）＜0 B ．f （a ）＞0，f （b ）＞0C ．f （a ）＞0，f （b ）＜0D ．f （a ）＜0，f （b ）＞06．已知a =(23)12，b =(13)12，c =log 2312，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=1，φ=−π4B ．ω=1，φ=π4C ．ω=2，φ=−π4D ．ω=2，φ=π48．函数f （x ）＝|sin x |+cos x 是（ ） A ．奇函数，且最小值为−√2 B ．奇函数，且最大值为√2 C ．偶函数，且最小值为−√2D ．偶函数，且最大值为√29．已知函数f （x ）的图象是在R 上连续不断的曲线，f （x ）在区间[1，+∞）上单调递增，且满足f （2﹣x ）+f （x ）＝0，f （2）＝3，则不等式﹣3＜f （x +1）＜3的解集为（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，1）C ．（0，2）D ．（1，3）10．在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c 随时间t （单位：min ）的变化规律可以用函数模型c =c 0+λe−tδ近似表达．在该通风条件下测得当t ＝0，t ＝5，t ＝10时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当t ＝15时c 的值约为（ ）A ．0.04%B ．0.05%C ．0.06%D ．0.07%二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．函数f （x ）＝lg （x +1）的定义域是 ． 12．已知x ＞1，则x +1x−1的最小值为 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，若角α的终边经过点P(−45，35)，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sin α＝ ，cos β＝ ．14．已知函数f （x ）＝a •2x ﹣1的图象过原点，则a ＝ ；若对∀x ∈R ，都有f （x ）＞m ，则m 的最大值为 ．15．将函数f （x ）＝sin2x 的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象．若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值为 ．16．已知函数f （x ）＝2x +b ，g （x ）为偶函数，且当x ≥0时，g （x ）＝x 2﹣4x ．记函数T （x ）={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)，给出下列四个结论：①当b ＝0时，T （x ）在区间[﹣2，+∞）上单调递增； ②当b ＝﹣8时，T （x ）是偶函数； ③当b ＜0时，T （x ）有3个零点；④当b ≥8时，对任意x ∈R ，都有T （x ）＞0． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分。
2020.1朝阳区高一期末数学试题+答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷20(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共5()分)和非选择题(共100分)两部分第一部分(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题海小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 己知集合 A = {—1,0,1},集合 B = {xeZ∣T -2x5θ},那么 AUB 等于(A) {-l}(B) {0,1} 2. 已知命题P ^X<-l,x 1>1,则是(A) 3x<-1, X 2≤ 1 (C) ∀x<-l,x 2>1 3. 下列命题是真命题的是(A)若a>b>O > 则ac 2 >bc 2(C)若 αvbvθ,贝 IJ cr <ab< b 24. 函数/(x) = COS 2X-Sin 2X 的最小正周期是(B) π(C) {0,l,2} (D) {-1,0,1,2}(B) ∀x≥-l,x 2>1 (D) av≤-l,x 2≤l(B) 若a>b ,则α? >b 2(D)若a<b<Q,则->-a b(C) 2π (D) 4π(B) /(x) = SillX+26.己知 α,b,Ce 贝 IJ aa =b =c ,f tia 2+b 2+c 2 >ab + ac +bc ,f fi ⅛(A)充分而不必要条件 (B 〉必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 已知函数/(x)在区间(0, + ∞)上的函数值不恒为正, 则在下列函数中，/(X)只可能是(C) /(x) = ħι(x 2-x+l)(D) ∕ω=2v-l,x>0 -x + l,x≤O(A) f(X) = X-7.通过科学研究发现：地震时释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE =4.8 + 1.5M .已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E l, E2,则耳和血的关系为(A) E I = 32E2(B) E l = 64E2(C) E L = IOOOE2 (D) E l = 1024£：& 己知函数f(x) = x+--a(aeR)f g(x) = -x2 +4x+3 f在同一平面直角坐标系里，函X 数∕ω与goo的图像在)‘轴右侧有两个交点，则实数Q的取值范围是(A) {α∣αv-3} (B) {α∣α>-3} (C) {α∣α = -3} (D) {α∣-3<αv4}9.已知大于1的三个实数a,b,c满足(Iga)2-2Igalgb+ Igblgc = O,则a,b,c的大小关系不可能是(A) a = b = c(B) a>b>c(C) b>c>a(D) b>a>c10.己知正整数x t, x2 ,∙∙∙,⅞满足当ivj ( /, J ∈ N* )时，X i < XJ ,且V +√ + ∙∙∙ + x102≤ 2020 ,则 x9- (X I+x2+x3+x4)的最大值为(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22第二部分(非选择题共U)O分)二•填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分.11.Si∏330° = _____ .12.若集合A = {x∣x2-αv + 2<θ} = 0,则实数α的取值范围是_______ .13.已知函数f(x) = Iog2X t在 X 轴上取两点 A(X I, O), B(Λ2,0) ( O < x1 < X2 ),设线段AB的中点为C,过A,B,C作X轴的垂线，与函数/(x)的图象分别交于A l,B∖,C∖,则点G在线段人耳中点M的__________ .(横线上填“上方”或者'‘下方”)14.给出下列命题:①函数/(兀)=Sm(^ + 2x)是偶函数:②函数/(Q = taιι2x在上单调递增;③直线X = £是函数/(x) = sin(2x+∙^)图彖的一条对称轴；④将函数/(x) = cos(2x-^)的图象向左平移彳单位，得到函数J = CoS2x的图象•其中所有正确的命题的序号是__________ .15. _________________________________________________________________ 已知在平面直角坐标系；IOy中，点A(l,l)关于y轴的对称点A'的坐标是 ______________________ •若A 和占中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组 1 r ,则实数α的取值范围是16.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动” •可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y =Asin(cux+0) , x∈[θ,+∞)表示，其中A>Q,ω>Q.如图，平面直角坐标系XOy 中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为&，则点A的坐标是 ,从A点出发，以恒定的角速度0转动，经过r秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为______________________ .三解答题:本大题共4小题,共70分•解答应写出文字说明,演算步琛或证明过程.17.(本小题满分14分)已知集合 A = {x*2 — 5x-6≤θ} , B = {Λ∣W + L≤x≤2m-L, IfieR].(I)求集合A ；(II)若AU3 = A求实数加的取值范围；18.(本小题满分18分)已知函数/(x) = siιι2x-2√3siii2x+√3 •(I)若点P(¥，»在角。
北京市朝阳区2020-2021学年高一上学期期末数学试题
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解以及集合的并，本题属于容易题.
2．A
【分析】
根据全称命题否定的结构形式可得 .
【详解】
为： ,
故选：A.
【点睛】
全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的一般形式是 ， ，其否定为 .
3．D
【解析】
试题分析：A中当 时不成立；B中若 不成立；C中 不成立，所以D正确
对于B，当 时， 的值域为 ；
对于C，因为当 时， ，故 的值域为 ，
所以 的函数值不恒为正；
对于D，当 时， 的取值范围为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查在给定范围上的函数的函数值的正负判断，一般地，可结合解析式的具体形式选择合适的方法求出函数的值域即可，本题属于中档题.
6．D
【分析】
设 “ ”， “ ”，考虑命题“若 则 ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系.
14．给出下列命题：
①函数 是偶函数；
②函数 在 上单调递增；
③直线 是函数 图象的一条对称轴；
④将函数 的图象向左平移 单位，得到函数 的图象.
其中所有正确的命题的序号是_______.
三、双空题
15．已知在平面直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点 的坐标是______.若 和 中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组 ，则实数 的取值范围是____.
考点：不等式性质
4．B
【分析】
由二倍角的余弦公式可得 ，根据最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期.
【详解】
由二倍角的余弦公式可得 ，故最小正周期为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查二倍角的余弦以及余弦型函数的最小正周期，本题为基础题.
2019-2020学年人教A版北京市朝阳区高一第一学期期末数学试卷 及答案
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10个小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1 B．∀x≥﹣1，x2＞1 C．∀x＜﹣1，x2＞1 D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E28．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3} B．{a|a＞﹣3} C．{a|a＝﹣3} D．{a|﹣3＜a＜4}9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．计算sin330°＝．12．若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值参考答案一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1 B．∀x≥﹣1，x2＞1 C．∀x＜﹣1，x2＞1 D．∃x≤﹣1，x2≤1 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T＝，可得结论．解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3} B．{a|a＞﹣3} C．{a|a＝﹣3} D．{a|﹣3＜a＜4} 【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣12．若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1} ．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y 与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B ≠∅时，，解出m的范围即可．解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．。
北京市朝阳区2020届高三第一学期期末质量检测数学(理)试卷及答案.doc
北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb cdaca cbD C BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2020.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACBB 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2022-2023学年北京市朝阳区高一上册数学期末试题(含解析)
2022-2023学年北京市朝阳区高一上册数学期末试题（含解析）一、单选题1．若a b >，则下列各式一定成立的是（）A ．22a b >B ．22ac bc >C ．33a b >D ．2211a b <【答案】C【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD 选项，1,1a b ==-，则a b >，但222211,a b a b==，所以AD 选项错误.B 选项，若0c =，则22ac bc =，所以B 选项错误.C 选项，若a b >，由于3y x =在R 上递增，所以33a b >，所以C 选项正确.故选：C2．若角θ满足cos 0,tan 0θθ<<，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】cos 0,θθ<∴ 为第二，三象限角或者x 轴负半轴上的角；又tan 0,θθ<∴ 为第二，四象限角所以θ为第二象限角.故选：B3．下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为R 的是（）A ．2x y =B ．3(1)y x =-C ．1y x x=+D ．|ln |y x =【答案】B【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A ，2x y =在定义域上单调递增且值域为()0,∞+，故A 不正确；对于B ，3(1)y x =-在定义域上单调递增值域为R ，故B 正确；对于C ，由双勾函数的图象知，1y x x=+在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故C 不正确；对于D ，|ln |y x =的值域为[)0,∞+，故D 不正确.故选：B.4．设集合ππ,Z 2A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合π2π,Z 2B k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则A 与B 的关系为（）A ．AB =B ．ABC ．B AD ．A B ⋂=∅【答案】A【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合ππ,Z 2A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，所以集合A 表示终边落在y 轴上的角的集合；由于集合π2π,Z 2B k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，所以集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合；所以A B =.故选：A5．声强级1L （单位：dB ）出公式11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W /m ）．若平时常人交谈时的声强约为6210W /m -，则声强级为（）A ．6dB B ．12dBC ．60dBD ．600dB【答案】C【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意661121010lg 10lg1060dB 10L --⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：C6．已知0a >，0b >，则“2a b +≤”是“1ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当0a >，0b >时，a b +≥则当2a b +≤时，有2a b ≤+≤，解得1ab ≤，充分性成立；当2a =，12b =时，满足1ab ≤，但此时522a b +=>，必要性不成立，综上所述，“2a b +≤”是“1ab ≤”的充分不必要条件.故选：A.7．已知函数31()31x xf x -=+，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减；②函数()f x 的值域为()0,1；③函数()f x 的图象是中心对称图形；④方程()1f x x =-+有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【答案】D【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】31()31x x f x -=+的定义域为R ，3122()13131x x xf x +-==-++，所以()f x 在R 上递增，①错误.由于1311,0131xx +><<+，22202,20,111313131x x x <<-<-<-<-<+++，所以()f x 的值域为()1,1-.由于()()31133113x xx xf f x x ----+-==-+=，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，③正确.由()1f x x =-+得2211,03131xx x x -=-+-=++构造函数()231x g x x =-+，()g x 在R 上单调递增，()()2210010,1101142g g =-=-<=-=>+，所以()g x 在R 上存在唯一零点，也即方程()1f x x =-+有且只有一个实根，④正确.所以正确结论的序号是③④.故选：D8．已知角α为第一象限角，且sincos 22αα>，则sin 2α的取值范围是（）A ．,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛-- ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎪⎝⎭D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】先确定2α的取值范围，由此求得sin2α的取值范围.【详解】由于角α为第一象限角，所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈，所以πππ,Z 24k k k α<<+∈，由于sin cos 22αα>，所以5π2ππ2π,Z 24l lk l α+<<+∈，所以sin 022α-<<.故选：A9．某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A ．2千克/小时B ．3千克/小时C ．4千克/小时D ．6千克/小时【答案】C【分析】生产100千克该产品获得的利润为()100210031f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，令1t x =，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为()2210021211100311000031000023f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+-=+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，110x ≤≤，令1t x =，1110t ≤≤，则()()22251000023200010641f t t t t ⎡⎤⎛⎫=-++=--⎢⎥ ⎪⎝⎢⎣-⎭⎥⎦，故当14t =时，()f t 最大，此时4x =.故选：C10．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x -=-，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a>>【答案】A【分析】由(1)()f x f x -=-得(2)()f x f x -=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x -=-得(2)(1)()f x f x f x -=--=，∴()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==，∵10ln 2<，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<.故选：A二、填空题11．已知集合{20}A x x =-<<，集合{}01B x x =≤≤，则A B ⋃=____________．【答案】{}21x x -<≤【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为{20}A x x =-<<，{}01B x x =≤≤，所以{}21A B x x ⋃=-<≤，故答案为：{}21x x -<≤12．设1a >且1b >，22log log 1a b ⋅=，则2log ()ab 的最小值为__________.【答案】2【分析】对2log ()ab 利用对数运算公式，得到22log log a b +，再由基本不等式以及条件中的22log log 1a b ⋅=，得到答案.【详解】因为1a >且1b >，所以2log 0a >且2log 0b >而()222log log log ab a b =+，且22log log 1a b ⋅=所以由基本不等式可得()222log log log 2ab a b =+≥，当且仅当22log log a b =，即2a b ==时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.13．设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，已知函数()f x 的最大值为2，则()f x 可以是___________．【答案】()2cos f x x =（答案不唯一）【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的()f x .【详解】依题意可知()f x 是偶函数，且最大值为2，所以()2cos f x x =符合题意.故答案为：()2cos f x x =（答案不唯一）14．已知下列五个函数：21,,ln ,,e x y x y y x y x y x=====，从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =______________．【答案】1e x x+【分析】观察图象确定函数()F x 的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x 的解析式.【详解】由已知()()()F x f x g x =+，()()21,,,,ln ,e x f x g x y x y y x y x y x ⎧⎫∈=====⎨⎬⎩⎭，观察图象可得()F x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()f x 或()g x 中必有一个函数为1y x=，且另一个函数不可能为ln y x =，又()F x 的图象不关于原点对称，所以1()F x x x ≠+，所以21()F x x x=+或1()e x F x x=+，若21()F x x x =+，则1(1)101F -=+=-与函数()F x 图象矛盾，所以1()e x F x x =+，故答案为：1e x x+.15．已知函数()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，给出以下四个结论：①存在实数a ，函数()f x 无最小值；②对任意实数a ，函数()f x 都有零点；③当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；④对任意(0,1)a ∈，都存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是________________．【答案】①②④【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，当1a =-时，()3,1,1x x f x x x ⎧>-⎪=⎨≤-⎪⎩，()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 没有最小值，①正确.②，由于()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当a<0时，()3000f ==；当0a ≥时，()000f ==，所以对任意实数a ，函数()f x 都有零点，②正确.③当12a =时，()31,21,2x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，311112822⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，即函数()f x 在(0,)+∞上不是单调递增函数，③错误.④，当01a <<时，()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当01x <<时，()32310,x x x x x x -=-<<，画出()f x 的图象如下图所示，由图可知存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④三、双空题16．已知角3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1sin(π)2α+=，则α=__________；πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】7π6##7π6【分析】由条件结合诱导公式求sin α，根据特殊角三角函数值求出α，πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为1sin(π)2α+=，所以1sin 2α-=，故1sin 2α=-，又3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π6α=，所以ππ7π5πππsin sin sin sin 2πsin 226333α⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：7π6，四、解答题17．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin cos αα+和sin 2α的值；(2)求πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)124sin cos ,sin 2525α+α=α=-(2)1731【分析】（1）根据三角函数的定义求出sin ,cos αα，再根据二倍角的正弦公式即可求得sin 2α；（2）先根据二倍角的余弦公式求出cos 2α，再根据商数关系求出tan 2α，再根据两角和的正切公式即可得解.【详解】（1）解：由题意得43sin ,cos 55αα==-，所以14324sin cos ,sin 2255525⎛⎫α+α=α=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：227cos 2cos sin 25ααα=-=-，所以sin 224tan 2cos 27ααα==，所以241π177tan 22443117α-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+.18．已知函数2()21,R f x ax ax a =--∈．(1)当1a =时，解不等式()0f x <；(2)若命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)8a ≤-或0a >【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式()0f x <的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得a 的取值范围.【详解】（1）当=1a 时，()221f x x x =--，()0f x <即2210x x --<，()()2110x x +-<，解得112x -<<所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）当()2210f x ax ax =--<恒成立，当a 不为0时，a<0且280a a ∆=+<，即80a -<<，当0a =时,()10f x =-<成立，所以80a -<≤命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题所以a 的取值范围为：8a ≤-或0a >．19．已知函数2π()2cos 2,0,2f x x x a x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(1)求a 的值；(2)求()f x 的最小值，以及取得最小值时x 的值．条件①：()f x 的最大值为6；条件②：()f x 的零点为π2．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)若选条件①，则3a =；若选条件②，则0a =(2)若选条件①，则当ππ,Z 3x k k =-∈时，()f x 取得最小值2；若选条件②，则当ππ,Z 3x k k =-∈时，()f x 取得最小值1-【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据条件①或②求得a 的值.（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1）2()2cos 2f x x x a =++π1cos 2sin 22sin 216x x a x a ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭.若选条件①，则216,3a a ++==.若选条件②，则ππ12sin π1210262f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）若选条件①，由（1）得()π2sin 246f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当πππ22π,π,Z 623x k x k k +=-=-∈时，()f x 取得最小值为242-+=.若选条件②，由（1）得()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当πππ22π,π,Z 623x k x k k +=-=-∈时，()f x 取得最小值为211-+=-.20．已知函数()12()log 21,xf x mx m =+-∈R ．(1)当0m =时，解不等式()1f x >-；(2)若函数()f x 是偶函数，求m 的值；(3)当1m =-时，若函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)(),0∞-(2)12-(3)(),0∞-【分析】（1）()1f x >-即()11222log 21log x+>，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-，即可由数形结合判断b 的取值范围.【详解】（1）当0m =时，()1f x >-即()11222log 211log x +>-=，即212x +<，解得(),0x ∈-∞；（2）函数()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即()()1122log 21log 21x xmx mx -+-=++，即1221log 221x x mx -+=+，即12log 22x x mx =-=，∵x ∈R ，故12m =-；（3）当1m =-时，()()1111122222211()log 21log 21log log lo 2g 221x x xx x x f x x -⎪++⎛⎫=++=++== ⎝⎭，x ∈R .∵112x y =+为减函数，故121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-∵函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，故实数b 的取值范围为(),0∞-.21．设全集(){1,2,,}U n n *=∈N ，集合A 是U 的真子集．设正整数t n ≤，若集合A 满足如下三个性质，则称A 为U 的()R t 子集：①t A ∈；②,U a A b A ∀∈∀∈ð，若ab U ∈，则ab A ∈；③,U a A b A ∀∈∀∈ð，若a b U +∈，则a b A +∉．(1)当6n =时，判断{1,3,6}A =是否为U 的(3)R 子集，说明理由；(2)当7n ≥时，若A 为U 的(7)R 子集，求证：2A ∉；(3)当23n =时，若A 为U 的(7)R 子集，求集合A ．【答案】(1){1,3,6}A =不是U 的(3)R 子集；(2)证明见解析；(3)集合{}7,14,21A =.【分析】（1）取1,2a b ==，由2ab A =∉不满足性质②可得A 不是U 的(3)R 子集；（2）通过反证法，分别假设1A ∈，2A ∈的情况，由不满足(7)R 子集的性质，可证明出2A ∉；（3）由（2）得，1U A ∈ð，2U A ∈ð，7A ∈，再分别假设3A ∈，4A ∈，5A ∈，6A ∈四种情况，由不满足(7)R 子集的性质，可得出3,4,5,6A ∉，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.【详解】（1）当6n =时，{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,6}A =，{}2,4,5U A =ð，取1,2a b ==，则2ab U =∈，但2ab A =∉，不满足性质②，所以{1,3,6}A =不是U 的(3)R 子集.（2）当7n ≥时，A 为U 的(7)R 子集，则7A ∈；假设1A ∈，设U x A ∈ð，即x A∉取1,a b x ==，则ab x U =∈，但ab x A =∉，不满足性质②，所以1A ∉，1U A ∈ð；假设2A ∈，取2,1a b ==，3a b U +=∈，且3a b A +=∉，则3U A ∈ð，再取2,3a b ==，6ab U =∈，则6ab A =∈，再取6,1a b ==，7a b U +=∈，且7a b A +=∉，但与性质①7A ∈矛盾，所以2A ∉.（3）由（2）得，当7n ≥时，若A 为U 的(7)R 子集，1U A ∈ð，2U A ∈ð，7A ∈，所以当23n =时，{1,2,,23}U = ，若A 为U 的(7)R 子集，1U A ∈ð，2U A ∈ð，7A ∈；若3A ∈，取3,1a b ==，4a b U +=∈，则4A ∉，4U A ∈ð，再取3,4a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则3A ∉，3U A ∈ð；若4A ∈，取4,3a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则4A ∉，4U A ∈ð；若5A ∈，取5,2a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则5A ∉，5U A ∈ð；若6A ∈，取6,1a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则6A ∉，6U A ∈ð；取7,1,2,3,4,5,6a b ==，8,9,10,11,12,13a b U +=∈，则8,9,10,11,12,13A ∉，,8,9,10,1112,13U A ∈ð；取7,2a b ==，14ab U =∈，则14A ∈；取14,1,2,3,4,5,6a b ==，15,16,17,18,19,20a b U +=∈，则15,16,17,18,19,20A ∉，81,16,17,1,0519,2U A ∈ð；取7,3a b ==，21ab U =∈，则21A ∈；取21,1,2a b ==，22,23a b U +=∈，则22,23A ∉，22,23U A ∈ð；综上所述，集合{}7,14,21A =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x）＝，f ′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x ﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】(1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f （x），得f （x）＝2f（x﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
2020 北京朝阳高一(上)期末数 学
2020北京朝阳高一（上）期末数学2020.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共80分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={−1，0，1}，集合B={x∈Z/x2−2x≤0}，那么A∪B等于（）A. {−1}B. {0，1}C. {0，1，2}D. {−1，0，1，2}2.已知命题p:∀x<−1，x2>1，则¬p是（）A. ∃x<−1，x2≤1B. ∀x≥−1，x2>1C. ∀x<−1，x2>1D. ∃x≤−1，x2≤13.下列命题是真命题的是（）A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b，则a2>b2C. 若a<b<0，则a2<ab<b2D. 若a<b<0，则1a>1b4.函数f(x)=cos2x−sin2x的最小正周期是（）A. π2B. πC. 2πD. 4π5.已知函数f(x)在区间(0，+∞)上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f(x)只可能是（）A. f(x)=x 12 B. f(x)=sinx+2C. f(x)=ln(x2−x+1)D. f(x)={2x−1，x>0−x+1，x≤06.已知a，b，c∈R，则“a=b=c”是“a2+b2+c2>ab+ac+bc”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间关系：lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1与E2的关系式为（）A. E1=32E2B. E1=64E2C. E1=1000E2D. E1=1024E28.已知函数f(x)=x+4x−a(a∈R)，g(x)=−x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f(x)与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A. {a/a<−3}B. {a/a>−3}C. {a/a=−3}D. {a/−3<a<4}9.已知大于1的三个实数a，b，c满足(lga)2−2lgalgb+lgblgc=0，则a，b，c大小关系不可能的是（）A. a=b=cB. a>b>cC. b>c>aD. b>a>c10.已知正整数x1，x2，⋯，x10满足当i<j(i，j∈N∗)时，x i<x j，且x12+x22+⋯+x102≤2020，则x9−(x1+x2+x3+x4)的最大值为（）A. 19B. 20C. 21D. 22二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年北京市朝阳区一年级(上)期末数学试卷(附答案)
2020-2021学年北京市朝阳区一年级（上）期末数学试卷一、选择正确答案填写在（）里（共21分）1．根据数字15，可以选择下面的算式是（）A．9+7B．18﹣8C．8+72．得数小的车先到车站，第一个到站的是（）号车．A．B．C．3．谁搭的积木不稳（）A．B．C．4．图中不是14的是（）A．B．C．二、我会填，（24分）5．18和20中间的数是．6．16和12两个数，接近10，接近20．7．①一共有个数，其中最大的数是，最小的数是．②从左往右数，20是第个数，5是第个．③从右往左数，第三个数是．④请把上面的数按从大到小的顺序排一排．＞＞＞＞＞．三、解答题．8．（3分）我会准确报时时．妈妈起床的时间是．9．（8分）根据算式画一画，把算式补充完整．（1）4+＝10△△△△（2）+8＝1510．（8分）如图，仔细数一数，再填空．个；个；个；个．11．（9分）仔细看图，列出一个加法算式一个减法算式：+＝．﹣＝．﹣＝．七、解决问题．（27分）12．解决问题．13．解决问题．14．原来有多少根胡萝卜？□〇□＝□（根）15．小熊排队数游戏，它们之间有几只小熊？16．如果把下面其中两堆花给小红．（1）小红最多有几朵？□〇□＝□（朵）（2）小红最少有几朵？□〇□＝□（朵）2020-2021学年北京市朝阳区一年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择正确答案填写在（）里（共21分）1．根据数字15，可以选择下面的算式是（）A．9+7B．18﹣8C．8+7【答案】C2．得数小的车先到车站，第一个到站的是（）号车．A．B．C．【答案】B3．谁搭的积木不稳（）A．B．C．【答案】A4．图中不是14的是（）A．B．C．【答案】C二、我会填，（24分）5．18和20中间的数是19．【答案】见试题解答内容6．16和12两个数，12接近10，16接近20．【答案】见试题解答内容7．①一共有6个数，其中最大的数是20，最小的数是3．②从左往右数，20是第3个数，5是第6个．③从右往左数，第三个数是3．④请把上面的数按从大到小的顺序排一排．20＞16＞13＞9＞5＞3．【答案】见试题解答内容三、解答题．8．（3分）我会准确报时时．妈妈起床的时间是5时．【答案】见试题解答内容9．（8分）根据算式画一画，把算式补充完整．（1）4+6＝10△△△△△△△△△△（2）7+8＝15【答案】见试题解答内容10．（8分）如图，仔细数一数，再填空．5个；4个；4个；3个．【答案】见试题解答内容11．（9分）仔细看图，列出一个加法算式一个减法算式：5+8＝13．13﹣5＝8．13﹣8＝5．【答案】见试题解答内容七、解决问题．（27分）12．解决问题．【答案】见试题解答内容13．解决问题．【答案】见试题解答内容14．原来有多少根胡萝卜？□〇□＝□（根）【答案】见试题解答内容15．小熊排队数游戏，它们之间有几只小熊？【答案】见试题解答内容16．如果把下面其中两堆花给小红．（1）小红最多有几朵？□〇□＝□（朵）（2）小红最少有几朵？□〇□＝□（朵）【答案】见试题解答内容。
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8
4
④ 将函数/(X) = cos(2x -1)的图象向左平移y单位，得到函数灭=COS2X的图象.
其中所有正确的命题的序号是
.
15. 己知在平面直角坐标系中，点>4(1,1)关于;V轴的对称点'的坐标是
,
y>x+a,
若4和'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组j
1 则实数a的取值范围 y>(-)x+a,
a,则点d的坐标是
从J点出发，以恒定的角速度转动，经过£秒转动
到点B(x,
Hale Waihona Puke j),动点S在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标;F与时间f的函 数关系式为 .
三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.(本小题满分14分)
已知集合 J = {X|X2-5X-6<0} . 5 = {x|/n + l<x<2m —1,/ne R}. (I )求集合CR^； (II)若A\JB = A,求m的取值范围.
1.已知集合/! = {-1,0,1},集合B = {xe
Z|X2-2X<0),那么A\)B等于
A.{-1}
B.{0，l}
C. {0,1,2}
D.{-l,0,l,2}
2. 已知命题p:Vx<-l,x2>l(则^是 A. 3x<-l,x2 <1 C.Vx<-l,x2 >1 . 3. 下列命题是真命题的是
丄 A.f(x) = x]
B.f (x) = sin x+2
C. f(x) = ln(x2 - X+1)
D. f(x) = l2r_1,X>0 [-x+l,x<0
6. 己知 a,b,ceR .则 “ a-b = cn 是 “ a2 +b2 +c2 >ab+ac+bc ” 的
A.充分而不必要条件 C.充要条件
A. 19
B.20
C.21
D. 22
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
11. sin 330'=
.
12. 若集合A = {x\x2-ax+2<0} = 0,则实数a的取值范围是
.
13. 己知 /(x) = log2x,在 x 轴上取两点 J(x,,0),
B(X2,Q) (0<xi<x2'),设线段
18.(本小题满分18分) 已知函数 /Xx) = sin2x-2>/^sin2
(I )若点p(y,-|)在角a的终边上，求tan2a和/(a)的值; (II) 求函数/(x)的最小正周期； (III) 若xe[O,y],求函数/(幻的最小值.
19.(本小题满分18分) 己知函数/(x) = — x—a(x*a)
(n)若a = 2,用函数单调性定义证明/(x)在(2,-KO)上单调递减;
(HI)设g(x) = x-/(x)-3,若函数gCO在(0，1)上有唯一零点，求实数a的取值范围.
20.(本小题满分20分) 己知函数/(x) = log2(x+a) (a>0).当点Af
在函数y = g(x)图象上运动时，
. 16. 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的
运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数
y
=
A^.n{a)x+(p)，xe[0,+oo)表示，其中A>0,(o>0.如图，平面直角坐标系xOv中，
以原点为圆心，r为半径作圆，4为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为
9. 已知大于1的三个实数a,b,c满足(lga)2—21galg6+lgZ>lgc = 0， 则a,氏c大小关系不可哮的是
A.a = b = c
B.a>b>c
C.b>c> a
10. 己知正整数x,，x2，…，& 满足当i<j ( z,jeN* )时，x,<Xj ,且
D.b>a>c
X|2 + x22 H ----F xI02 < 2020，则 x9 — (x, + x2 + Xj + x4)的最大值为
A.若a>b>0，则ac2 >be2 C.若a<b<0,则a2 <ab<b2 4. 函数= cos2 x-sin2 x的最小正周期是
B.Vx>-l,x2 >1 D.3X<-1,X2<1.
B-若 a > b，则 a2 >b2 D. 若a<ft<0,则—>-
ab
A. 2
B. n
C.2n
D.4n
5. 已知函数/(X)在区间(0，+oo)上的函数值不恒为正，则在下列函数中，/(X)只可能是
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7. 通过科学研究发现：地震时释放的能量£ (单位：焦耳)与地震里氏震级似之间的关 系为lg£ =
4.8 + 1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级 地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E、，E2,则^与^的关系式为
A. E、= 32E2 B. E' =64E2
中点为C，过J，5，C作x轴的垂线，与函数/(X)的图象分别交于4,5,.^，则点(?,在
线段岣尽中点A/的
.(横线上填“上方’’或者“下方”)
14. 给出下列命题： ① 函数/(x) = sin(|+2x)是偶函数；
② 函数/(x) = tan2x在(-三，三)上单调递增； 44
③ 直线x =-是函数/(x) = sin(2x+1)图象的一条对称轴；
对应的点M'(3x,2y)在函数夕= y(x)图象上运动，则称函数y = g(x)是函数的 相关函数. (I )解关于X的不等式/(x)<l；
(II)对任意的xe(0,l), /(x)的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围：
C.Et =1 OOOfi^ D. Et =1024E2
4 8. 已知函数f(x) = x+—-a (a e R), g(x) = -x2+4x + 3,在同一平面直角坐标系里，
x
函数/CO与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是
A.|a|a<-3} B. {a|a>-3} C. |a|a=-3j D. |a|-3<a<4j
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测
髙一年级数学试卷
(考试时间120分钟 满分150分)
2020.1
本试卷分为选择題(共50分)和非选择題(共100分)两部分 第一部分(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.