立体几何中的最值问题

EF FM A1F FB1 1
A1C1
A1B1
EF FM A1C1 2 6
D
M N
A
．P
Q
C
P．
B
方法点睛
本节课按照由特殊到一般的研究思路，以问题为 牵引，层层探究，步步深入，采用了通过合情推理得 出猜想，最后到推理验证的研究方法,求出周长最值.
同学们,再见!
由面面平行的性质定理得： 所以截面六边形的周长总等于6 6
EF // A1C1，FM // AB1
综上：函数f (x)的值域为3 6, 6 6 .
EF B1F ，FM A1F A1C1 A1B1 AB1 A1B1
D1
C1
又Q 正方体ABCD - A1B1C1D1， A1C1 AB1 A1
F B1 E
周长的最值
主讲人 曹永芹 北京市第十七中学
童嘉森特级教师工作室
如图：正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2 3，动点P在
对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得
到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP x，
则当x 1, 5时，求函数y f (x)的值域
要求截面多边形的周长， 关键是要找到符合要求的截面多边形.
Q BD1 平面NQT , PM 平面NQT
A1
BD1 PM
RtBPM ∽ RtBA1D1
BP BM
A1B BD1
Q BP x，BD1 6，BA1 2 6 A
D1
DM Q
C1 B1
N
．P
C
．
T
B
BM
6 2
x
Q
正方体AC1
截面三角形周长等于3
6x
当x 1时，截面周长最小为3 6
当P运动到E(或F )时，周长最大为6 6
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探究：截面多边形周长的取值范围
2.截面六边形的周长
D1
C1
A1
B1
观察发现：当P运动到BD1中点时， 截面变为正六边形，很容易求出周长为6 6
．P N
D
A
Q
C
．
T B
猜想：是不是所有的六边形周长都等于 6 6？
思路分析：
同理可得：MN NP 2 6，PQ QE 2 6
D1 A1
C1 B1
如何找？
N
D
P．
C
．
T
A
Q
B
探究：截面多边形的形状
当点P从E向B运动（或从F向D1运动）时：
截面多边形是相似的等边三角形
当点P在E到F之间运动时：
截面多边形是六边形
D1
C1
A1
M2
B1M3
F
．
M4
P
M1
D
． E
C M5
M6
A
B
如何求周长？
探究：截面多边形周长的取值范围
1.等边三角形的周长