2013—2014海淀区第一学期期中高三数学(文科)参考答案

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2013届海淀区高三第一学期期中练习数学试题(文科)

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科） 2012. 11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =-≤，则U A =ð A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．()f x x =B ．()f x =C ．1()2xf x =D ．()ln f x x =3．在平面直角坐标系中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，(1B ，则OA OB ⋅uu r uu u r的值为A ．1B 1C D 14．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 A ．[2,)+∞ B ．5[,)2+∞C ．5[2,]2D ．(0,2]5．设0.5a =π，3log 2b =，cos 2c =，则 A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是 A ．x ∀∈R ，()()f x f x >- B ．0x ∃∈R ，00()()f x f x >- C ．x ∀∈R ，()()0f x f x -≥ D ．0x ∃∈R ，00()()0f x f x -<7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,1]-B ．[1,2]-C ．(,1]-∞D ．[1,)-+∞8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列3个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|cos }M x y y x == ③{(,)|e 2}xM x y y ==-其中所有“好集合”的序号是 A ．①②B ．②③C ．③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，则5a = ． 10．2(sin15cos15)︒+︒= ．11．已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r ，则yx= ．13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称k a 为{}n a 的一个峰值．（Ⅰ）若|7|n a n =--，则{}n a 的峰值为；（Ⅱ）若2,24,2n n tn n a tn n ⎧-≤=⎨-+>⎩且{}n a 存在峰值，则实数t 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，点D 是斜边AB 上的一点，且AC AD =．（Ⅰ）求CD 的长；（Ⅱ）求sin BDC ∠的值．16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．17．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+．（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值． 19．（本小题满分14分）已知函数31()13f x x ax =-+．（Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m ∈R ，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,4)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,2,4,6}与{1,3,4,7}是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）求证：41232a a a a ≤++；（Ⅲ）若72n a =，求n 的最小值．NBMDF CA海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文）参考答案及评分标准 2012．11说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为在直角ABC ∆中，3,4AC BC ==，所以5,AB = ………………1分所以3cos 5A = ………………3分在ACD ∆中，根据余弦定理2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅ ………………6分所以2223332335CD =+-⋅⋅⋅ 所以CD = …………8分（II ）在BCD ∆中，3sin 5B =………………9分根据正弦定理sin sin BC CDBDC B=∠∠ ………………12分把4BC =，CD =代入，得到sin BDC ∠=………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分（II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-==………………9分令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n > 所以n 的最小值为15 ………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)2f x x x =-+22sin sin 2x x =+………2分 1cos2sin 2x x =-+ ……4分πs i n (2)14x -+ …………6分所以πππ()sin()11844f =-+= ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =-+ 所以2ππ2T == …………9分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π+22k k -（）() Z k ∈，……………10分所以令πππ2π22π242k x k -<-<+， ………………11分解得π3πππ88k x k -<<+………………12分所以函数()f x 的单调增区间为π3π(π,π)88k k -+() Z k ∈，…………13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………2分在EDF ∆中，EQ EF PQ FD= 所以4482x y -=- …………4分所以1102y x =-+，定义域为{|48}x x ≤≤ …………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当[4,8]x ∈，()S x 单调递增 ……………11分所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为2()f x x a =-' ………………2分当1x =时，()f x 取得极值，所以(1)10f a =-=', 1a = ………………3分又当(1,1)x ∈-时, ()0,f x <'(1,)x ∈+∞时,()0,f x >' 所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意 ………………4分(II) 当0a ≤时，()0f x >'对(0,1)x ∈成立，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在0x =处取最小值(0)1f = ………………6分当0a >时，令2()0f x x a =-='，12x x == ………………7分当01a <<1<x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 x ∈时，()0,f x >' ()f x 单调递增所以()f x 在x =1f =- ………………9分当1a ≥1(0,1)x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减所以()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =- ……11分综上所述，当0a ≤时，()f x 在0x =处取最小值(0)1f =当01a <<时，()f x 在x =1f = 当1a ≥时，()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =-. (III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立，…12分只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可，而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………14分 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P ………………2分因为不存在,{1,3,4,7}i j a a ∈，使得3i j a a =+ 所以{1,3,4,7}不具有性质P ………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ，所以对4a 而言，存在12,{,,,}i j n a a a a a ∈⋅⋅⋅，使得 4i j a a a =+ 又因为12341<<<<, 4n a a a a a n =⋅⋅⋅≥所以3,i j a a a ≤，所以432i j a a a a =+≤ ………6分同理可得322a a ≤，212a a ≤将上述不等式相加得234123++2(++)a a a a a a ≤ 所以41232++a a a a ≤…9分。

北京海淀区高三上学期数学期中考试试卷(附答案)

=
−
3 2
，b3
=
−
3 2
，b4
=
1．
(2) （必要性）当数列 {an} 是等差数列时，设其公差为 d，
当 d > 0 时，an − an−1 = d > 0，
所以 an > an−1，
5
5
根据余弦定理 c2 = a2 + b2 − 2ab
所以 △ABC 的面积 S△ABC
=
1 2
cos C 和 ab sin C
=a +6√b 6=．11，c
=
7，得到
ab
=
30，
19.
(1) 函数 f (x) 的定义域为 (0, +∞) 且 m ̸= 0．
f ′ (x) = 2mx − 1 − 1 = 2m2x2 − mx − 1 = (2mx + 1) (mx − 1) ．
B. 4
C. − 3
3
3
4
D. 3 4
5. 在等差数列
{an}
中，a1
=
1，
a6 a5
= 2，则公差 d 的值是 (
)
A. − 1
B. 1
C. − 1
3
3
4
D. 1 4
6. 已知数列 {an} 的通项公式为 an = n +
a n
，则“a2
> a1”是“数列 {an} 单调递增”的 (
)
A. 充分而不必要条件
y
−
( −
3 2a
−
23
3)
=
a
(27 x
−
( −
2
)) ，

2013-2014海淀区高三数学文科期中试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第1题：
【正确答案】：B
第2题：
【正确答案】：D
第3题：
【正确答案】：C
第4题：
【正确答案】：A
第5题：
【正确答案】：B
第6题：
【正确答案】：A
第7题：
【正确答案】：A
第8题：
【正确答案】：B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

第9题：
【参考解析】：
第10题：
【参考解析】：
1
第11题：
【参考解析】：
3
第12题：
【参考解析】：
第13题：
【参考解析】：
3
第14题：
【参考解析】：
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

第15题：
【参考解析】：
第16题：
【参考解析】：
第17题：
【参考解析】：
第18题：
【参考解析】：
第19题：
【参考解析】：
第20题：
【参考解析】：。

北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2.下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x =D. ()sin f x x =3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B.12-C. 12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为，向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量.4.“π6α=”是“1sin2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{}na的前n项和为n S，且*1110,3()n na a a n+=-=+∈N，则nS取最小值时，n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan,0,()2(1)1,0x xf xa x xπ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞ D. (0,)+∞【答案】A7.若函数()sinf x x kx=-存在极值，则实数k的取值范围是( )A. (1,1)- B. [0,1) C. (1,)+∞ D. (,1)-∞-8.已知点(1,0)B，P是函数e xy=图象上不同于(0,1)A的一点.有如下结论：①存在点P使得ABP∆是等腰三角形；②存在点P使得ABP∆是锐角三角形；③存在点P使得ABP∆是直角三角形.其中，正确的结论的个数为( )A. 0B.1C. 2D. 3【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013-2014海淀区高三数学期末考试文科试卷

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准 2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACACBDB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ02()2sin 22ππ4422sin cos 4422f =+=+=++. ------------------------3分（Ⅱ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x xx x x-=++ ------------------------------------5分 cos sin x x =+π2sin()4x =+， -------------------------------------7分所以()f x 的最小正周期2πT =. -------------------------------------9分因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z , ------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z ,所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分9． 210． 1611. 712． {1,2,4}13． 50，101514． 1-;①②③16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分所以//CD 平面PAB . --------------------------4分（Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分（Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，PAEBCD所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分（Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下： x (,1)a -∞--1a --(1,)a --+∞'()f x -0 +()f x↘极小值↗--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ，若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --，若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分又由题意可得12c a =，所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分（Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分（Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分所以OP AB ⊥. ------------------------------8分由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有[]y x =是N 函数. ----------------------------3分（Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. 证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<，即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立，所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<，所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分（Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>，所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅，所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤；当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+，所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。

北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学文

2
2
---------------------------2 分
所以 bc 6 ，--------------------------------------3
分
又 3b 2c,
所
以
. b 2,c 3
------------------------------------5 分
（Ⅱ）因为 b 2,c 3 , A 60 ,
① a1(q2 1) 3
----------------------------------2 分
由 a1 a2 3 得 a1(1 q) 3 ② ----------------------------------4
分
两式作比可得， q 11 所以， q 2
----------------------------------5 分
由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccos A
------------------------------------7 分
， a2 22 32 6 7
即
. a 7
------------------------------------9 分
由正弦定理可得， a b sin A sin B
函数 f (t) 与 f '(t) 在定义域上的情况如下：
(0, 2)
2
(2, 2 3)
f '(t)+0f (t)↗ 极大
↘
值
------------------------------------12 分所以当时 t 2 ，函数取 f (t) 得最大值 8. ------------------------------------13 分

2012-2013年海淀区高三年级第一学期期中数学试题(文科)

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
C
D
C
A
B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．
10．
11．
12．1
13．
14．
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为在直角中，，所以 ………………1分
所以 ………………3分
所以函数的单调增区间为 ………………13分
18.（本小题满分13分）
解：（I）作于，所以 ………………2分
在中，
所以 ………………4分
所以，定义域为 ………………6分
(II)设矩形的面积为，则
………………9分
所以是关于的二次函数，且其开口向下，对称轴为
所以当，单调递增………………11分
令，即 ………………11分
解得或
又，所以
所以的最小值为 ………………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
………………2分
………………4分
………………6分
所以 ………………7分
（Ⅱ）因为
所以 ………………9分
又的单调递增区间为 ………………10分
所以令，………………11分
解得 ………………12分
9.已知数列中，，，则 ________.
10.
11.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________.
12.在中，点为边中点，若，且，
则
13.已知函数的图象可以由的图象向

2013北京市海淀区高三第一学期期末数学文科试题纯word版含答案

2013北京市海淀区高三第一学期期末数学文科试题纯word版含答案开始 10n S ==，S p <是输入p否海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i- D.1i -- 2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A.2- B.1- C.1D. 23. 在等边ABC∆的边BC上任取一点P，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是A. 13B. 12C. 23D. 564.点P 是抛物线24yx=上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF则线段1A P 长度的取值范围是A ．5 B.325[C.52] D.[2,3]二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.tan225的值为________.10. 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}na 是公差不为0的等差数列，且268aa a +=，则55_____.S a =12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为_________.DABC22234B 1C 1D 1A 1FE BCD A13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______. 14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b aa b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x=⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}na 是公比大于0的等比数列，且51a=，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数21()3sin cos cos2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.16. （本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数3 4 5 6 7车辆数3 35 7 5 B型车出租天数3 4 5 6 7车辆数10 10 15 10 5（I）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）C11如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .18.（本小题满分13分）已知函数211()22f x x=-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ）求a 的值；（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .19. （本小题满分14分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”. (Ⅰ) 若2()f x axax=+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+；（Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准 2013．1 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B C B D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．110．;2y x =± 11． 312．[3,)+∞ 13． 4214．0； e三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）因为21()3sin cos cos 2f x x x x =-+312cos22x x=- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-，πππ2,623A A -== ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos ab c bc A=+- 得到2π492525cos3c c =+-⨯，所以25240c c --= ………………11分解得3c =-（舍）或8c = ………………13分所以8c =16. （本小题满分13分）解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大 ……………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分17. （本小题满分14分）解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B………………3分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC………………6分 (Ⅱ)因为AB AC=，又E为CB中点，所以AE BC⊥ ………………8分又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B=，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C………………10分在矩形11BCC B 中,1112tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C∠=∠，所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分又1AEEC E=，所以1B C⊥平面11BCC B ………………14分18. （本小题满分13分）解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a ==所以1a =………………3分（Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-=………………5分当0m <时，2'()0m x mF x x x x -=-=>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x m x m ==- (舍)1m ≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分 em 时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减，其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1em <<,即21e m <<时, '()0F x <对)m 成立,'()0F x >对(,e)m 成立所以()F x 在)m 单调递减,在,e)m 上单调递增其最小值为1111()ln 22222mF m m m m m m =--=--………13分综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11(ln 222mF m m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--. 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b=所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y,得到27880x x +-= ………………5分所以121288288,,77x xx x ∆=+=-=所以21224||1|7CD k x x =+-=………………7分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=显然∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++ ………………10分此时122121|||2||||||2||S Sy y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………12分因为k ≠,上式123332124||24||||||k k k k =≤==+，（3k =所以12||S S -的最大值为3………………14分20. （本小题满分13分）解：（I ）由题2()f x ax axy ax ax x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以a >………………3分（Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x 在(0,)+∞上是增函数，又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212xx x <+所以112112()()f x f x x x x x +<+，212212()()f x f x x x x x +<+ (5)分所以112112()()x f x x f x x x+<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x xf x x f x f x f x x x xx x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+………………8分（Ⅲ）设0()0f x =，其中0x>.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >=法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m = 由（Ⅱ）知(2)2f t m>，同理(4)2(2)4f t f t m>>，(8)2(4)8f t f t m >>所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013nnf t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t = 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立只要 2013x k >，则有()2013f x kx >>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分。

北京市海淀区2014年高三一模数学(文科)试题

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈= 则A.{}1-B.{}0C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1 B. 3 C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为A ．1B ．2C ．12D ．3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件OyxOyxOyxOyx8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一：方案二：方案三：11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C = ，则sin ______,_______.sin Ac B== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++.能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是.俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数π()sin sin()3f x x x =--.（Ⅰ）求π()6f ;（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]22-上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机.10(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ；（Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.1图图 218. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.19. （本小题满分14分）已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0). （Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ；（Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市海淀区2013届高三一模(数学文)试题-含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数)1(i i -(i 是虚数单位〕对应的点位于〔〕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.30sin 75cos 30cos 75sin -的值为〔〕 A ．1 B ．21 C ．22 D ．23 3. 已知向量b a ,，则“a //b ”是“a +b =0”的〔〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12323=-S S ，则数列}{n a 的公差是〔〕 A ．21B ．1C ．2D ．3 5．在同一坐标系中画出函数 a x y a y x y x a +===,,log 的图象, 可能正确的选项是〔〕6.一个体积为123的正三棱柱的三视图如下列图，则这个三棱柱的左视图的面积为〔〕A.36 B ．8 C ．38 D ．12 以下四个命题:①假设集合B A ,满足,A B A = 则B A ⊆；11xyO B 11xyO A11xyO C 11xyO D②给定命题q p ,, 假设“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真； ③设,,,R m b a ∈ 假设,b a <则22bm am <；④假设直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a . 其中正确命题的个数是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．48.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点〔其中b a ,是实数〕，且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为〔〕 A12+ B. 2 C. 2 D. 12-第Ⅱ卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9. 假设,0>x 则xx y 4+=的最小值是____________________. 10. 已知动点P 到定点〔2，0〕的距离和它到定直线2:-=x l 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________.11. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ，表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为______.12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图〔如图〕.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为 _______人.13. 已知程序框图如下列图，则执行该程序后输出的结果是_______________.第12题第13题图2 4 6 8 10 12 0.140.12 0.05 0.04小时频率/组距开始a =2,i =1i ≥2011a a=-i =i +1 结束输出a 是否14. 假设点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则〔1〕点集{1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；〔2〕点集{}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 〔本小题总分值13分〕已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,22A ππωϕ>>-<<),其部分图象如下列图. (I)求()f x 的解析式; (II)求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值.16. 〔本小题总分值13分〕某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100元可以转动如下列图的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.〔例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券.〕顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.〔I 〕假设顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？〔II 〕假设顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？0元20元10元17. 〔本小题总分值14分〕如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . (I) 证明：BC ⊥平面AMN ； (II)求三棱锥AMC N -的体积；(III)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；假设存在，求出PE 的长；假设不存在，说明理由.18. 〔本小题总分值14分〕已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .〔I 〕假设)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；〔II 〕设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值.19. 〔本小题总分值13分〕已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点〔1，32〕在该椭圆上.〔I 〕求椭圆C 的方程；〔II 〕过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，假设AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.20. 〔本小题总分值13分〕已知数列{}n a 满足：11=a ，21212,,12,,2n n n n a n a a -+⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数为奇数， 2,3,4,.n =N MP AB C〔Ⅰ〕求345,,a a a 的值；〔Ⅱ〕设121n n b a -=+，1,2,3...n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；〔III 〕对任意的*2,m m N ≥∈，在数列{}n a 中是否存在连续．．的2m项构成等差数列？假设存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；假设不存在，说明理由.海淀区高三年级第二学期期中练习数学〔文〕参考答案及评分标准 2010．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCDABA第II 券〔非选择题共110分〕二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕9.4 10.x y 82= 11.6 12.30 13.1214.π，π+12 15.〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕由图可知，A=1 …………1分,24π=T 所以π2=T ……………2分所以1=ω ……………3分又1)4sin()4(=+=ϕππf ，且22ππϕ-<<所以4πϕ=……………5分所以)4sin()(π+=x x f . ……………6分〔II 〕由〔I 〕)4sin()(π+=x x f ，所以)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g =sin()sin()4444x x ππππ++⋅-+ sin()sin 2x x π=+ ……………8分cos sin x x =⋅ ……………9分 1sin 22x = ……………10分因为]2,0[π∈x ，所以],0[2π∈x ，]1,0[2sin ∈x故：]21,0[2sin 21∈x ，当4π=x 时，)(x g 取得最大值21. …………… 13分 16. 〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕设“甲获得优惠券”为事件A …………… 1分因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是31. …………… 3分顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，根据互斥事件的概率，有323131)(=+=A P ， …………… 6分所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23.〔II 〕设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B …………… 7分因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x 元，第二次获得优惠券金额为y 元，则基本领件空间可以表示为：{(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}Ω=，…………… 9分即Ω中含有9个基本领件，每个基本领件发生的概率为91. ………… 10分而乙获得优惠券金额不低于20元，是指20x y +≥，所以事件B 中包含的基本领件有6个， ………… 11分所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为3296)(==B P ………… 13分答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为32，乙获得优惠券金额不低于20元的概率为32. 17. 〔本小题总分值14分〕证明：(Ⅰ) 因为ABCD 为菱形，所以AB=BC又60ABC ∠=，所以AB=BC=AC ， ……………1分又M 为BC 中点，所以BC AM ⊥ …………… 2分而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PA BC ⊥ …………… 4分又PA AM A =，所以BC ⊥平面AMN …………… 5分〔II 〕因为1133122AMC S AM CM ∆=⋅== …………… 6分又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 所以1AN = 所以，三棱锥N AMC -的体积31=V AMCS AN ∆⋅ ………… 8分11326=⨯=………… 9分 (III)存在 …………… 10分取PD 中点E ，连结NE ，EC,AE, 因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，所以AD NE 21// …………… 11分又在菱形ABCD 中，1//2CM AD 所以MC NE //，即MCEN 是平行四边形 …………… 12分所以， EC NM //，又⊂EC 平面ACE ，⊄NM 平面ACE所以MN //平面ACE ， …………… 13分即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ，此时12PE PD ==. …………… 14分 18. 〔本小题总分值14分〕解：〔I 〕因为(1)0,(1)0f g ==，所以点)0,1(同时在函数)(),(x g x f 的图象上 …………… 1分因为x a x g x x f ln )(,1)(2=-=， '()2f x x =， ……………3分'()ag x x=……………5分由已知，得)1(')1('g f =，所以21a=，即2a = ……………6分〔II 〕因为x a x x g x f x F ln 21)(2)()(2--=-=〔)0>x ……………7分所以xa x x a x x F )(222)('2-=-= ……………8分当0<a 时，因为0>x ，且,02>-a x 所以0)('>x F 对0>x 恒成立，所以)(x F 在),0(+∞上单调递增，)(x F 无极值 ……………10分；当0>a 时，令0)('=x F ，解得12x x =〔舍〕 ……………11分所以当0x >时，'(),()F x F x 的变化情况如下表：x),0(a)+∞)('x F -+)(x F极小值……………13分所以当a x =时，()F x 取得极小值，且a a a a a a a F ln 1ln 21)()(2--=--=. ……………14分综上，当0<a 时，函数)(x F 在),0(+∞上无极值；当0>a 时，函数()F x 在a x =处取得极小值a a a ln 1--.19. 〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得 21==a c e ,又222c b a +=，所以2243a b =……………2分因为椭圆C 经过〔1，32〕，代入椭圆方程有 14349122=+a a解得2=a ……………4分所以1c = ，2413b =-=故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ……………5分〔Ⅱ〕解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意. ……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+,0≠k由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +++-= …………7分显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21228,34k x x k +=-+ 212241234k x x k -⋅=+ ……………8分又2212221221221)()()()(||x x k x x y y x x AB -+-=-+-=22221212121()1()4k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+-⋅422222644(412)1(34)34k k kk k-=+-++ ……………9分即 222212112(1)||134k k AB k k++=+⋅=+ 又圆O 的半径2211r kk==++ ……………10分所以22221112(1)6||162||223471AOBk k k S AB r k k∆++=⋅⋅=⋅⋅==++……………11分化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得2212181,17k k ==-〔舍〕 ……………12分所以，2221r k ==+，故圆O 的方程为：2212x y +=. ……………13分〔Ⅱ〕解法二：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得 22(43)690t y ty +--= ……………7分因为0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ ……………8分所以2121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t=+++2212143t t +=+ ……………9分所以211216162||||2AOBt S FO y y ∆+=⋅⋅-==化简得到4218170t t --=，即0)1)(1718(22=-+t t ，解得211,t =221718t =-〔舍〕 …………11分又圆O 的半径为22|001|111t r tt-⨯+==++ ……………12分所以2221r t ==+，故圆O 的方程为：2212x y += ……………13分.20.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为 11a =，所以21123a a =+=，3115222a a =+=， 42127a a =+=, 52113222a a =+= …………3分〔Ⅱ〕由题意，对于任意的正整数n ，121n n b a -=+，所以121n n b a +=+ …………4分又122221(21)12(1)2n n n n a a a b -+=++=+=所以12n n b b += …………6分又11112112b a a -=+=+= …………7分所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n b = …………8分〔III 〕存在. 事实上，对任意的*2,m k N ≥∈，在数列{}n a 中，2,21,22,221....,m m m m m a a a a +++-这连续的2m 项就构成一个等差数列 ……10分我们先来证明：“对任意的*2,n n N ≥∈，1*(0,2),n k k N -∈∈，有12212n n k ka -+=--”由〔II 〕得1212n n n b a -=+=，所以1221n na -=- 当k 为奇数时，1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+当k 为偶数时，112222221212n n n k k k a a a---+++=+=+ 记1,,21,,2kk k k k ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数因此要证12212n nk k a -+=--，只需证明21112212n n k k a --+=--，其中2*11(0,2),n k k N -∈∈ (这是因为假设21112212n n k k a --+=--，则当211-=k k 时，则k 一定是奇数，有1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+=212)22112(221)212(221111k k k n n n --=---+=--+--；当21kk =时，则k 一定是偶数，有112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+=212)2212(21)212(21111kkk n n n --=--+=--+-- )如此递推，要证21112212n n k k a --+=--，只要证明32222212n n k k a --+=--，其中11211,,21,,2k k k k k ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数，3*22(0,2),n k k N -∈∈如此递推下去，我们只需证明12222212n n k k a --+=--， 1*22(0,2),n n k k N --∈∈ 即1221115213222a +=--=-=，即352a =，由〔I 〕可得，所以对*2,n n N ≥∈，1*(0,2),n k k N -∈∈，有12212n n k ka -+=--，对任意的*2,m m N ≥∈ ，12212m m i i a ++=--，1211212m m i i a ++++=--，其中*),12,0(N i i m ∈-∈，所以21212m m i i a a +++-=-又1212-=+m m a ，2112112--=++m m a ，所以21212m m a a +-=- 所以2,21,22,221....,m m m m m a a a a +++-这连续的2m项，是首项为1221m m a +=-，公差为12-的等差数列 . …………13分说明：当12m m >〔其中**1122,,m m N m N ≥∈∈〕时，因为1222212222222,...,,,-+++m m m m m a a a a构成一个项数为22m 的等差数列，所以从这个数列中任取连续的12m 项，也是一个项数为12m ，公差为12-的等差数列.。

北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学文试题带答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科） 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B = ( ) A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2. 下列函数中，为奇函数的是( ) A. ()f x x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()sin f x x =3. 已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( ) A. 2- B. 12-C.12D. 24.“π6α=”是“1sin 2α=”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1110,3()n n a a a n +=-=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（） A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan ,0,()2(1)1,0x x f x a x x π⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞D. (0,)+∞7.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( ) A. (1,1)-B. [0,1)C. (1,)+∞D. (,1)-∞-8.已知点(1,0)B ，P 是函数e x y =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论： ①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0B.1C. 2D. 3二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2014届高三上学期期末考试-文科数学-Word版包含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科) 2014.01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线1:210l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值为 A. 12- B.12C. 2D.2- 3.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为 A ．10000B ．20000 C ．25000D ．300004.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为 A.15B.14 C. 7D.65.已知2log 3a =，4log 6b =，4log 9c =，则 A ．a b c =<B ．a b c << C ．a c b =>D ．a c b >>6.已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是 A.(3,1)- B. (0,1)C. (2,2)- D. (0,)+∞7.在ABC ∆中，若2a b =，面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是 A ．30B >B ．2A B =C ．c b <D ．2S b ≤ 8.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BDAC O =，1M 是线段1D O 上的动点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面 1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为ABC．1 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年高三一模数学(文)北京市海淀区试题Word版带答案

(II) 若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知圆： ,若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为 .
（I）求椭圆的方程；
（II）已知直线：，若直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点（其中点在线段上），且，求的值.
20. （本小题满分13分）
设为平面直角坐标系上的两点，其中 .令，，若 ,且，则称点为点的“相关点”，记作： .
（Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点，若点满足，求点的坐标；
（Ⅲ）已知为一个定点，点列满足：其中，求的最小值.
又因为，平面， ………………2分
又，所以平面 ………………4分
又平面，所以 ………………5分
（Ⅱ）在正三角形中， ………………6分
在，因为为中点，，所以
，所以，，所以 ………………8分
所以，所以 ………………9分
又平面，平面，所以平面 ………………11分
（Ⅲ）假设直线，因为平面，平面，
所以平面 ………………12分
又平面，平面平面，所以 ……………13分
这与与不平行，矛盾
所以直线与直线不平行………………14分
18.解：（I）因为 ………………2分
当时，，令，所以
随的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
………………4分
所以的单调递增区间是，
单调递减区间是 ………………6分
19.解：(I)设椭圆的焦距为，