证明不等式的常用方法和技巧.

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不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。

对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。

首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。

通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。

2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。

例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。

3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。

通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。

无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。

在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。

此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。

不等式的证明的方法介绍

不等式的证明的方法介绍不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围. 若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.一、不等式的证明方法1．比较法：（1）作差法比较：.作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知2．分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.3．综合法：利用不等式的性质和已经证明过的不等式以及函数的单调性导出特征不等式的方法叫做综合法，概括为“由因导果”。

综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以在实际证题时，往往分析法分析用综合法写出。

例3设a,b,c都是正数，求证：4．反证法：正难则反.证明步骤：假设结论不成立，由此出发进行推理，最后导出矛盾的结果，从而得出所证的结论一定成立。

5．放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

高考数学中常规的不等式证明思路及技巧

高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。

不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。

本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。

一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。

在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。

例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。

解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。

接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。

因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。

二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。

这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。

可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。

例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。

解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。

具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。

高等数学课程中的不等式的证明

高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。

下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。

二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。

从而当x>O时，f（x）>f（O）。

由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。

即>0，亦即1+＞。

注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。

三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。

函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。

不等式证明(陈老师)_

不等式证明一、不等式证明的方法与技巧不等式证明的基础是对于任意实数a ,0≥a .常用方法有:比较法(作差比较、作商比较) 、分析法、综合法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法等等,证明方法因题而异,一题可以多种方法,能够显示选手的思维能力.例1 设a ,b ,c 是正实数,求证:))()(b (bc c b a b a c a c a -+-+-+≥.分析与解设a ,b ,c 中a 最大,若a ≤+c b ,则不等式显然成立.若a c >+b ,则可以应用二元均值不等式))((b c a c b a -+-+[]ab c a c b a =-++-+≤)()(21同理ba cbc a b ≤-+-+))((,cb ac a b c ≤-+-+))((.以上三式相乘,即证.例2已知+∈Rd c b a ,,,,且4=+++d c b a .求证:42222≤+++bc d da c da b bc a .证明bc d da c da b bc a 2222+++)()(bd ac cd bd ac ab +++=))((bd ac cd ab ++=2)2(bd ac cd ab +++≤[]4))((2c bd a ++=4)2(41d c b a +++≤4=.例3 设a ，b ，c 为正实数，且1=++c b a ，证明:cabc ab bb ca a a bc c c ab ++≥++++++++1221221221222.证明因1=++c b a 及abb a 222≥+,所以2)(ca bc ab ++abc ca b bc a a c c b b a 222222222222+++++=)(2)(22222c b a abc b a c b a +++++=abcb a abc 22222++≥.因此22)(221ca bc ab abc c ab ++≥++,同理 22)(221ca bc ab bca a bc ++≥++,22)(221ca bc ab cab b ca ++≥++,以上三式相加即证. 例4 若,0,0>>>z y x ,且1=xyz ,求证:21111111<+++++<zy x . 证明任取0>a ,令by c ax b ==,,由1=xyz 得,,,caz b c y a b x ===从而有 z y x +++++111111ca cc b b b a a +++++=c b a c c b a b c b a a ++++++++>1=,又 c a c c b b b a a +++++2a =+++++++++++<cb c b c b a b a c b a c a ,所以 21111111<+++++<zy x . 例5 设cb a ,,是正实数,并且1=abc ,证明:1555555≤++++++++caa c cabc c b bc ab b a ab .分析与解注意条件不等式的证明,充分利用abc=1,观察不等式左边各式特征,找到一个放缩式,由)(2255b a b a b a +-+))((3322≥--=b a b a有)(2255b a b a b a +≥+,所以cb a b a cb a ab b a ab 22552255++=++cb a b a b a cb a 222222)(++≤cb a c++=.以下略.例6 设c b a ,,是三角形三边,求证:)()()(222222b ac a c b c b a +++++abcc b a 2333+++>.证法一作差变形,因式分解,注意到0>-+c b a ,>-+a c b ,>-+b c a .证法二欲证不等式等价于acbc a bc c a b 22222222-++-+12222>-++abc b a⇔1cos cos cos >++C B A .这里C B A ,,分别为题设三角形三边 c b a ,,所对应的内角,应用三角变换,则可证.证法三由B cC b a cos cos ⋅+⋅=,A c C a b cos cos ⋅+⋅=,于是)cos (cos cos )(B A c C b a b a +⋅++=+,即有 b a B A c C +++=)cos (cos cos 1,ba BA c C ++=-cos cos cos 1,1cos 1cos cos >+=-+cba C B A ,也即1cos cos cos >++C B A ,化归为解法二的最后不等式.C B A cos cos cos ++)cos(cos cos B A B A +-+=12cos 22cos 2cos 22++--+=B A B A B A)2cos 2(cos 2cos 21BA B A B A +--++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=)2sin(2sin 22sin 21B A C12sin 2sin 2sin 41>+=CB A .例7 △ABC 的三边c b a ,,满足条件1=++c b a ,证明:3718)(5222≥+++abc c b a .证明因为)(2)(2222ca bc ab c b a c b a ++-++=++)(21ca bc ab ++-=,所以,欲证的不等式等价于 274)(95≤-++abc ca bc ab .构造一个辅助函数）（c x b x a x x f ---=))(()(.一方面xca bc ab x c b a x x f )()()(23+++++-= abc-,所以)(95)95()95()95(23ca bc ab f +++-=abc-；另一方面因c b a ,,是三角形的三条边长，所以21,,0<<c b a ，cb a ---95,95,95 均为正数,利用平均不等式, 有)95)(95)(95()95(c b a f ---=7298)95()95()95(2713=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-≤c b a ,所以23)95)(()95(c b a ++-729895)(≤-+++abc ca bc ab ,即274)(95<-++abc ca bc ab .本题我们巧妙地构造了一个辅助函数)(x f ,通过从两个方面来考察)95(f ，使问题得到了证明.构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作函数的性质进行研究,从而达到目的. 二、平均值不等式n i a i ,,2,1,0 =>, na a a A nn +++=21,n nn a a a G 21=,nn a a a n H 11121+++=,na a a Q nn 22221+++=,则nn n n Q A G H ≤≤≤.不等式中等号成立成立的条件是na a a === 21.例8 以知,,>c b a ,且1=++c b a ,求证:34113113113=+++++c b a .证明应用 33222cb ac b a ++≤++.略. 例9 已知0,,>c b a ,且1111=+++++cc b b a a ,求证:12111222≥++cb a .证明由已知,得 1111111111=+++++c b a ，令cz by ax 111,111,111+=+=+=,则1=++z y x ,由111-=x a ,111-=y b ,111-=zc ,得zz y y x x abc -⋅-⋅-=1111zyx y z x x z y +⋅+⋅+=32222=⋅⋅≥zxy y xz x yz ,从而32-≤abc ,得1231113222222≥≥++cb a cb a .例10 已知0,,>c b a ,且1=++c b a ,求证:427)1(1)1(1)1(1≥+++++a c c b b a .分析与解31===c b a 时,不等式中等号成立.此时49)311(311)1(1=+=+b a ,由二元均值不等式可得2916)1(81)1(1≥+++b a b a ， 2916)1(81)1(1≥+++c b c b ,2916)1(81)1(1≥+++a c a c ，以上三式相加,整理可得)(1681227ab ca bc c b a +++++-≥左)1(1681227ab ca bc +++-=,而 31)(312=++≥++c b a ab ca bc ,所以427)311(1681227=+-≥左.例11 已知)2,0(πα∈N n ∈,求证: ααα12sin1)sin 1(sin )12(+-<-+n n n .分析与解只须证αααnn n sin )12(sin 1sin 112+>--+.αααn22sin sin sin 1++++= 左,应用均值不等式即可证.例121>n ,Nn ∈,证明:nn n nn n n C C C 1212-⋅≥+++ .分析与解由二项式定理知1221-=+++nn nn n C C C ,又12121222221210-=--=++++-n nn ,应用Gn A n ≥即可证.例13 若n S n 1211+++= ,证明:（1）n nS n n n +<+1)1(；（2）nn S n nn -<---11)1(.分析与解nn n n n n n S n n 1342321211++++=+++=+n n n 134232+⋅⋅⋅⋅>nnn n 111）（+=+=,以下略.三、柯西不等式设n i R b R a i i ,,2,1,, =∈∈,则22211)(n n b a b a b a +++))((2222122221n n b b b a a a ++++++≤ ,等号当且仅当i i b a λ=，（λ为常数,n i ,,2,1 =）时成立.例14 设0,,>c b a 且 1=abc ,试证:23)(1)(1)(1333≥+++++b a c c a b c b a .证法一应用柯西不等式推论由1=abc ,得 ac ab cb c b a +=+223)(1,从而原不等式等价于23222222≥+++++ab ca b a ba bc a c ac ab c b , ）（）（）（）（左cb ca ba bc ac ab ab ca bc +++++++≥2232)(3)(2132=⋅≥++=abc ab ca bc .证法二（平均值不等式）由xy y x 4422≥+,有42y x y x -≥ )0(>y ,得)(13c b a +))(12ac ab a +=b c a bc a 11(41111)1(2+-≥+=. 同理)11(411)(13ca b a c b +-≥+,)11(411)(13ba cb ac +-≥+,三式相加得23123)111(213=≥++≥abc c b a 左.例15 已知N n ∈,且2≥n ,求证:22n 211-n 21413121174<-++-+-< .证明先变形n 211-n 214131211-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=n 2141212)n 21211( )n 1211()n 2131211(+++-+++= n 212111++++= n n ,所以不等式等价于22n 21211174<++++< n n .由柯西不等式推论有nn n n n n 2)2()1(n 2121112+++++>++++ 74132≥+=n,又由柯西不等式有2)n 212111(+++++ n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++<222222)2(1)2(1)1(1)111(n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++++++<n n n n n n n 2)12(1)2)(1(1)1(121)211(=-=n n n ，22212111<+++++∴n n n ,故原不等式成立.例16 设n 是大于1的自然数,求证:3121221nC n C C n n nn n -<⋅++⋅+⋅ .证明当n=2时,有22<, 当n=3时,有31<,所以下面证明中可设n ≥4. 联想到柯西不等式n nnnCn C C ⋅++⋅+⋅ 2121212121222)(21n nnn C C C n ++++++≤ ）（2121)12(6)12)(1(-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=n n n n .于是若能证得312)12(6)12)(1(nn n n n n ⋅<-⋅++- ①即可，而①式等价于nn n n n 23)12)(132(22⋅<-++ ②,因为n ≥4，故1323,13,32222++>+≥>n n n n n n n ,所以②成立,n=2,3时已检验原不等式成立. 所以对1>n 的自然数有3121221nC n C C n n nnn⋅<⋅++⋅+⋅- .例17 设n x x x ,,2 为正实数,证明:n x x x x x x x x nn <+++++++++22122212211111 .证明由柯西不等式知∑∑==+++≤+++ni i ini iix x x n x x x 12221221221)1()1( ,而对+∈Nk ,均有22212)1(k kx x x +++)1)(1(2212121212k k k kx x x x x x +++++++≤--2212121211111kk k x x x x x ++++-+++=-- .于是∑∑=-=+++-+++≤+++n i ii ni i i x x x x n x x x 1221212121221)1111()1( 1111221<+++-=nx x . 所以,由①知nx x x ni ii∑=<+++12211 .例18 已知正实数c b a ,,满足1=++ca bc ab ,证明:2143131211222<+++++c b a .证明设2tan ,2tan ,2tan Cc B b A a === ),,0(π<<C B A .由条件式1=++ca bc ab ,有12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =⋅+⋅+⋅A C C B B Aπ=++C B A ,于是23cos cos cos ≤++C B A .利用柯西不等式有2cos32cos 22cos 131211222CB A c b a ++=+++++)2cos 2cos 2)(cos 321(222222C B A ++++≤)2cos cos cos 3(14CB A +++=2143)2233(14=+≤.因为第一个不等式等号成立的条件是32cos22cos 12cos C B A ==,第二个不等式等号成立的条件是3π===C B A ,所以两个等号不可能同时成立，故2143131211222<+++++c b a .例19 设+∈Rd c b a ,,,,证明:3232323232≥+++++++++++c b a d b a d c a d c b d c b a .证明∑∑∑∑++≥++=++=)32()()32(3222d c b a a d c b a ad c b a 左32424)(22=+==∑∑∑∑∑ababa aba ,所以,原不等式成立. 此题推广设+∈R x i),,2,1(n i =,且i i n x x =+)1(i n i -≤≤),则12)(20121-≥-+++∑=-+++n x i n x x x n i n i i i i .说明:柯西不等式的灵活应用,不仅在于如何找出两组符合条件的数组,它们能符合公式中的项数、次数、系数和元素等对应的特征,更重要的是对于它的几种常见的变形的理解,以及它与其他不等式的结论的联合应用.四、综合例子例20 设+∈R z y x ,,,且1=++z y x ,证明:∑≥-81)1(24y y x .证明)1()1()1(242424x x zz z y y y x -+-+-=左 )1()1()1()(2222222x x z z y y z y x -+-+-++≥)()()3(33322z y x z y x z y x ++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥)(191333z y x ++-=.又 zzy y x x z y x 444333++=++22222222)()(z y x zy x z y x ++=++++≥ 913)(22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥z y x .所以 8191191=-≥左边.原不等式得证. 例21 已知c b a ,,是正实数,求证:cb a b ac b a a c c b b a ++-+++≥++2222)(4.证明由2222)(bab a b a +-=-,则b b a b a b a 22)(2-+-=, c c b c b c b 22)(2-+-=, aa c a c a c 22)(2-+-=, 原不等式等价于cb a b a a ac c c b b b a ++-≥-+-+-2222)(4)()()( ①.为证明不等式①，应用柯西不等式推论cb a b ac b a c cb a b ac b a c ++-+-+-≥++-+-+-≥22)()(左cb a b ac b a b a ++-=++-=22)(4)2(.例22 设0,,>c b a 且 8=abc ,证明:34)1)(1()1)(1()1)(1(332332332≥++++++++a c cc b bb a a①.证明注意到22211)1)(1(12223+=+++-≤++-=+t t t t t t t t ，如果能证明不等式31)2)(2()2)(2()2)(2(222222222≥++++++++a c c c b b b a a ②成立，就可得到待证的不等式. 令2ax =，2by =，2cz =，且使64=xyz ，则不等式②变为31)2)(2()2)(2()2)(2(≥++++++++x z z z y y y x x ③,去分母，展开并化简，得72)()(2≥+++++zx yz xy z y x ④,应用A-G 不等式即可证④.例23 设c b a ,,为三角形的三边长,证明:cabc ab b c a c a c b a c b b c b a c b a a b c a ++≥-+-++-+-++-+-+)()()()()()(444.证明设x b c a =-+，y c b a =-+，z a c b =-+，则2y x a +=，2z y b +=，2x z c +=，z y x c b a ++=++，于是，所求证的不等式左边等价于)(2)(2)(2444x z x z z y z y y x y x K +++++=,由柯西不等式推论得)(2)(22222222z y x z y x K ++++≥， cabc ab c b a z y x z y x K ++≥++=++≥++≥3)(3)(22222.例24 已知正实数dc b a ,,,满足1=+++d c b a ,证明:81)()(622223333++++≥+++d c b a d c b a .证法一结论不等式等价于))((8)(4822223333d c b a d c b a d c b a ++++++≥+++3)(d c b a ++++.整理，得)(393333d c b a +++）（dab cda bcd abc +++≥6[])()(1122222222da cd bc ab a d d c c b b a ++++++++)(2222b d a c d b c a ++++.由均值不等式,得abc c b a ≥++3333， bcddc b ≥++3333，acd d c a ≥++3333， abddb a ≥++3333.以上四式相加,得）（dab cda bcd abc d c b a +++≥+++6)(63333.于是，只须证明)(333333d c b a +++[])()(1122222222da cd bc ab a d d c c b b a +++++++≥)(2222b d a c d b c a ++++,不妨设d c b a ≥≥≥,则由排序不等式即可证出,其中等号成立,当且仅当41====d c b a .证法二根据幂平均不等式得6414433333=+++≥+++）（）（d c b a d c b a则81)(23333≥+++d c b a ①由均值不等式得41)(4122222=+++≥+++d c b a d c b a ②由柯西不等式得3333dc b a +++))((3333d c b a d c b a ++++++=22222)(d c b a +++≥.结合②)(412222d c b a +++≥ ③结合①,③,即得所证不等式. 证法三显然)1,0(,,,∈d c b a ,下面证明8156)(23-≥-=x x x x f )10(<<x .经整理，知上式等价于01584823≥+--x x x )10(<<x .精品资料欢迎下载而 0)13()14(15848223≥+-=+--x x x x x , 所以上式成立.于是81848)(5)()()()(=-+++≥+++d c b a d f c f b f a f . 结论得证.例25 m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有的这样的m 与n,问3m+4n 的最大值是多少?证明你的结论.分析先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界,然后举例说明此上界可以达到,从而得到3m+4n 的最大值.解设m a a a ,,2,1 是m 个互不相同的正偶数,n b b b ,,2,1 是互不相同的正奇数,使得 19872121=+++++++n m b b b a a a ① 这时分别有)1(24221+=+++≥+++m m m a a a m ② 221)12(31nn b b b n =-+++≥+++ ③ 由①,②,③得198722≤++n m m , 因而有 4119875)21(434)21(32222+≤++⋅+≤++n m n m , 即 7949254233≤++n m 由于n m 43+为整数,所以 22143≤+n m .另一方面,当m=27,n=35时198122=++n m m ,且22143=+n m ,故3m+4n 的最大值为221.。

不等式证明的基本方法与策略总结

不等式证明的基本方法与策略总结不等式证明在数学研究、数学建模以及各种工程问题中都有重要的应用价值。

同时，不等式证明也是各种数学竞赛中的重头戏。

本文将总结不等式证明的基本方法与策略，以便读者更好地理解不等式证明的思路和套路。

一、基本方法1. 套路化：对于一些经典不等式如柯西不等式等，可以先了解它的证明方法，将其归纳总结出来，然后通过类比去证明其他不等式。

2. 变形：对于一个不等式，可以通过一些代数变形，将其转换为其他形式，更容易被证明出来。

如将两个不等式的左侧相乘，右侧相乘，再相减，得到新的不等式。

或者将一个不等式的左右两侧都平方，再相减，也可以得到新的不等式。

3. 等价转换：将不等式转化为等价形式，然后再利用已有的定理进行证明。

如将一个不等式的等号两侧同时加上一个数，就可以转化为另一个不等式，然后再进行证明。

4. 递推：递推是一种常用的证明方法，它可以将一个复杂的不等式转化为一个比较简单的不等式，然后通过多次递推证明出原不等式。

递推的关键在于找到一个递推式和一个初始条件。

二、基本策略1. 二分法：二分法是一种常用的证明策略，它将一个不等式的左右两侧分别处理，然后比较两侧的大小关系得到证明的结论。

2. 置换对称法：置换对称法指的是将一组变量按照一定的置换方式进行对称化，然后证明得到不等式后，再通过恢复变量之间的关系，得到原始不等式。

3. 大杀器策略：大杀器策略指的是使用一些已知的定理和公式来证明不等式。

如柯西不等式、阿贝尔不等式、托肯不等式等，这些定理都是不等式证明中比较重要的工具。

4. 分段讨论法：分段讨论法是一种常用的证明策略，适用于证明一些具有特定性质的不等式。

它将不等式的变量进行合理的分段，然后分别证明每个分段中的不等式。

三、小结总的来说，不等式证明的基本方法和策略都比较常用和灵活，在实际应用中需要根据具体问题进行灵活运用。

同时，在证明不等式之前，需要对不等式的基本定义和定理进行系统化的学习和掌握，才能更好地利用这些理论工具进行证明。

不等式证明的常用方法

不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧．一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一（作差比较）左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二（作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号．【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号．若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键．二、基本不等式法常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【例 3 】（ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于解决实际问题和证明数学定理。

在解决不等式问题时，我们需要运用一些方法和技巧，以便更好地理解和求解不等式。

本文将介绍一些常用的不等式应用解题方法与技巧。

1.几何方法：利用几何图形的性质和特点进行不等式的证明和求解。

例如，可以利用几何图形的面积、周长和边长等关系来解决不等式问题。

2.分析方法：利用函数的性质进行不等式的证明和求解。

例如，可以通过分析函数的单调性、奇偶性和极值等特点来求解不等式问题。

3.递推方法：通过构造递推关系式，将复杂的不等式问题转化为简单的递推序列，从而求解不等式问题。

4.特殊技巧：利用一些特殊的不等式技巧进行不等式的证明和求解。

例如，利用均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和归纳法等方法来解决复杂的不等式问题。

5.等效转化法：通过对不等式进行等效转化，将原不等式转化为易于求解的等价不等式，从而简化不等式求解的过程。

6.归纳法：通过归纳的思路，逐步推导不等式的解空间，从而求解不等式问题。

归纳法对于复杂的不等式问题尤为有效。

7.分组法：将不等式中的变量进行分组，以便更好地理解和求解不等式。

分组法常常可以简化不等式的结构，使其更易于判断和求解。

8.拆分法：将复杂的不等式拆分成多个简单的不等式，从而逐一求解。

拆分法可以降低不等式问题的难度，使其更容易求解。

9.借助替换：通过借助一些等价不等式或变量替换，将原不等式转化为更容易求解的形式。

借助替换可以使不等式的求解过程更简单和直观。

10.运用不等式定理：利用一些已知的不等式定理，通过推导和运用定理来求解不等式问题。

常用的不等式定理包括二次平均不等式、均值不等式和柯西-施瓦茨不等式等。

以上是一些常用的不等式应用解题方法与技巧，这些方法和技巧可以在解决不等式问题时起到指导作用。

当然，在实际问题中，我们还需要根据具体情况选择合适的解题方法与技巧，以便更好地应用不等式解决实际问题。

不等式证明方法大全

不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。

目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。

二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。

三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。

四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。

五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。

六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。

七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。

以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。

不等式证明方法

不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。

不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。

一、数学归纳法。

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。

在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。

具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。

通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。

二、换元法。

换元法是不等式证明中常用的一种方法。

当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。

换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。

三、分析法。

分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。

在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。

四、综合利用不等式性质。

不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。

具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。

五、几何法。

在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。

通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。

在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。

六、数学推理法。

数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。

在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。

不等式证明方法大全

不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。

常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。

其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。

（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。

（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。

通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。

2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。

常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。

在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。

3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。

几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。

通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。

4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。

这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。

5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。

通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。

6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。

反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。

7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。

通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。

以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。

在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。

证明不等式的常用技巧

证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。

作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。

换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。

1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。

综合法由因导果。

证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

分析法执果索因。

证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。

数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。

2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。

高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些

高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些在高考数学中，不等式的证明是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的问题。

不等式的证明方法多种多样，需要我们灵活运用数学知识和思维方法。

下面，我们就来详细探讨一下高考数学中不等式的证明的一些常见方法和技巧。

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法之一，分为作差比较法和作商比较法。

作差比较法的基本步骤是：将两个式子作差，然后对差进行变形，判断差的正负性。

如果差大于零，则被减数大于减数；如果差小于零，则被减数小于减数。

例如，要证明 a ＞ b ，我们可以计算 a b ，然后通过因式分解、配方等方法将其变形为易于判断正负的形式。

作商比较法适用于两个正数比较大小。

将两个正数作商，然后与 1比较大小。

如果商大于 1，则被除数大于除数；如果商小于 1，则被除数小于除数。

比如，要证明 a ＞ b （a、b 均为正数），计算 a/b ，若 a/b ＞ 1 ，则 a ＞ b 。

二、综合法综合法是从已知条件出发，利用已知的定理、公式、性质等，经过逐步的逻辑推理，最后推导出所要证明的不等式。

例如，已知 a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，且 a ＋ b ＝ 1 ，要证明 a^2 ＋b^2 ≥1/2 。

因为 a ＋ b ＝ 1 ，所以（a ＋ b)＾2 ＝ 1 ，即 a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＝1 。

又因为2ab ≤ a^2 ＋ b^2 ，所以 a^2 ＋ b^2 ＋2ab ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，即1 ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，从而得出 a^2 ＋b^2 ≥ 1/2 。

三、分析法分析法是从要证明的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或明显成立的事实。

比如，要证明√a ＋√b ＜√（a ＋ b) （a ＞ 0 ，b ＞ 0 ）。

先将不等式移项得到√a ＋√b √（a ＋ b) ＜ 0 ，然后对其进行分析，逐步转化为易于证明的形式。

分析法的书写格式通常是“要证……，只需证……”。

高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法1.常用在多项式中"舍掉一些正(负)项'而使不等式各项之和变小(大)，或"在分式中扩大或缩小分式的分子分母'，或"在乘积式中用较大(较小)因式代替'等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个(或多个)中间变量C，使，由A到C叫做"放'，由B到C叫做"缩'。

常用的放缩技巧还有：(1)假设(2)(3)假设则(4) (5)(6)或 (7)2.你必须铭记基本公式,均值不等式以及课后的一些重要推倒式.证实主要就是要将不等式的一边变形成为你所熟知的公式类型,也要铭记分析法,综合法等解题思路,一般不等式证实用分析法就好,思路比较简单,试于为灵活应用公式打下基础.2学习方法一比较法是证实不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。

基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)例1已知a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证实不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30推断差式的正负。

∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证实： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20a+b0(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba分析：由求证的不等式可知，a、b具有替换对称性，因此可在设ab0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而达到证实目的，步骤是：10作商20商形整理30推断为与1的大小证实：由a、b的对称性，无妨解ab0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba 学习1 已知a、bR+，nN，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1) 3学习方法二1. 解：设函数f(x)=e^x，g(x)=x+1.关于函数f(x)=e^x,为自然指数函数，定义域为全体实数，函数在定义域上为单调增函数，值域为：[0,+)，图像示意图如下： 2. 关于函数g(x)=x+1,为一次函数，定义域和值域均为全体实数，在定义域范围内，函数为增函数，图像示意图如下3.从图像可，函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方，二者有一个交点为(0,1),所以有：f(x)=g(x)即：e^x=x+1，成立。

不等式的推导和证明方法

不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。

不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。

在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。

本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。

一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。

若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。

不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。

例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。

对于 $n=1$，该不等式显然成立。

假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。

根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。

不等式的数学运算法则与证明技巧

不等式的数学运算法则与证明技巧不等式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等。

了解不等式的数学运算法则和证明技巧，对于解决问题和推导结论具有重要意义。

本文将介绍一些常见的不等式运算法则和证明技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本运算法则1. 加法和减法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，则a + c >b + ca > b，则a - c >b - c2. 乘法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，且c > 0，则ac > bca > b，且c < 0，则ac < bc3. 除法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，且c > 0，则a/c > b/ca > b，且c < 0，则a/c < b/c4. 幂法则：对于任意正实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，则a^c > b^c这些基本的不等式运算法则可以帮助我们进行不等式的简化和变形，从而更好地理解和解决问题。

二、常见的不等式证明技巧1. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明技巧，可以用来证明一类不等式的成立。

它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

首先证明当n取某个特定值时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立，由此可以得出当n为任意正整数时不等式成立。

2. 反证法：反证法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式的否定命题不成立。

假设不等式的否定命题成立，然后通过推理和推导得出矛盾，从而证明原不等式成立。

3. 极值法：极值法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式的最大或最小值。

通过求导或其他方法找到函数的极值点，然后证明在极值点附近不等式成立，从而得出结论。

4. 增减函数法：增减函数法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式随变量的增大或减小而成立。

不等式证明的方法与技巧

不等式证明的方法与技巧陈怡不等式证明是不等式中的基本内容之一，也是其重难点所在。

许多学生遇到不等式证明题不知所措，无从下手。

因此，有必要从解题思路入手，总结一些不等式证明的方法、技巧以及在某些方法技巧中所体现的数学思想，使学生们在解题时有的放矢。

除常见的综合法、分析法、反证法、放缩法及利用公式证明不等式外，本文另总结、归纳常见不等式证明方法技巧如下：一、利用数列的单调性证不等式法：我们常常用数学归纳证明含自然数n的不等式（这里不举例说明），然而，换一种角度，用数列的单调证性证此类不等式，更是简单明晰。

例1．求证明：1＋＋＋…＋＞（n＞1）证明：令：a n＝1＋＋＋…＋－＝11＋＋＋…＋－则a n－1∴a n－a n＝＋－－1＝＞０∴a n＞a n－1即数列｛a n｝递增∴1＋＋＋…＋＞（n＞1）例2．求证：1＋＋＋…＋＜2－（n≥2）证明：令a n＝1＋＋＋…＋－2＋＝1＋＋＋…＋＋－2＋(n≥)则a n－1∴a n－a n＝＋－－1＝－＜0＋＜…＜a2＝－＜0∴a n＜a n－１∴1＋＋＋…＋＜2－仔细分析上面两个例题，我们发现这里运用了转化的思想，其实是把难解的关于自然数n的不等式证明问题，转化成了熟悉易解的求某数列的单调性问题。

将未知归为已知，从而最终求得原问题的解决。

下再举一例说明不等式证明中的转化思想。

例3．a、b、c∈R+，求证：＋＋≥（a＋b＋c）(分析：由左边的形式联想到复数的模，引入复数，不等式证明问题转化为复数问题。

)证明：令Z1=a＋bi，Z2=b＋ci，Z3=c＋ai则Z1＋Z2＋Z3=（a＋b＋c）＋(a＋b＋c)I｜Z1｜＋｜Z2｜＋｜Z3｜≥｜Z1＋Z2＋Z3=｜∴＋＋≥（a＋b＋c）二、不等量代换法此法虽是“代换”，但不同于换元法。

一般用于证明条件不等式，如能先求出一个适当的不等式进行代换，往往能简化证明过程。

但在代换时，必须注意保持非严格不等式等号成立的条件的一致性。

证明函数不等式的六种方法

证明函数不等式的六种方法在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。

证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。

下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。

1. 代数法这种方法是最常用的方法之一。

我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。

例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到：f(x) - g(x) = x + 1因此，f(x) > g(x) 当且仅当 x > -12. 消元法这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。

我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。

例如，我们要证明：f(x, y) > g(x, y)其中f(x, y) = x^2 + y^2g(x, y) = x^2 - y^2我们可以将y消去，得到：f(x, y) - g(x, y) = 2y^2因此，f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 03. 极限法这种方法通常适用于连续函数的不等式。

我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。

例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到：lim (f(x)) = +∞x→+∞lim (g(x)) = +∞x→+∞因此，f(x) > g(x) 当 x → +∞4. 导数法这种方法通常适用于在区间内单调的函数不等式。

我们可以计算函数的导数，以确定函数的单调性和不等式的正确性。

例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1g(x) = x^2 + 2x + 1我们可以计算f(x)和g(x)的导数，得到：f'(x) = 3x^2 + 6x + 3g'(x) = 2x + 2由于f'(x) > g'(x) 在 [-1, +∞) 上成立，并且f(-1) > g(-1) ，因此，f(x) > g(x) 在 [-1, +∞) 上成立。

浅谈不等式的证明方法与技巧

浅谈不等式的证明方法与技巧也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。

不等式的证明变化大，技巧性强，它不但能够检验学生数学基础知识的掌握水准，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法1．综合法：由因导果。

2．分析法：执果索因。

基本步骤：要证..只需证..，只需证..（1）“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

（2）“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”实行表达。

3．反证法：正难则反。

4．放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：（2）利用基本不等式，如：（3）将分子或分母放大（或缩小）：5．换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6．构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7．数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8．几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，能够考虑构造相关几何图形来完成，若使用得好，有时则有神奇的功效。

9．函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10．判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。

当a＞0时，f（x）＝ax2＋bx＋c＞0（或＜0）.△＜0（或＞0）。

当a＜0时，f（x）＞0（或＜0）.△＞0（或＜0）。

二、部分方法的例题1．换元法换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。

有些不等式通过变量替换能够改变问题的结构，便于实行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

不等式的八种证明方法及一题多证

不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。

使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。

○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。

○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。

总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。

2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明1AB<。

（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。

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18000 。
7、若 x+y+z=1 ，求 22x 2+33y 2+11z2 的最小值
8、若 n 是不小于 2 的正整数，试证：
4
＜ 1－
1
+ห้องสมุดไป่ตู้
1－
1 +…+
1
－ 1＜
2
7
23 4
2n 1 2n 2
9、已知 a,b,c＞0，求证：
a 12
b 12 +
+
c 12
≥
a10+b
10
+c
10
bc ca ab
10、设
2
2
x 1,x2,… ,xn，
必有 f ( x1 x 2 n
x n )＜ 1 [ f (x 1 )+f (x 2)+ …+f (x n)] n
1 3、(Young 不等式 )设 p,q＞ 1,
1
1 ，则对任何 x,y ≥ 0，有 xy≤ x p
yq 。当且仅
pq
pq
当 xp =yq 时等号成立。
4、(赫德勒不等式 )若 ak≥ 0， bk≥ 0， k=1， 2，…， n，且 p＞ 1， 1 1 1，则 pq
x＞ 0,求证：
1+x+x
2
+
…
+x
2n≥
(2n+1)x
n
11、求证：
n ＜ 1+ 2
1 2
+
1 +… + 3
1 2n
＜n 1
(n≥ 2)
2
2
12、证明：对任意正数 x,y,z 有 x 2 xy y + z 2 y ＞ z 2 zx x2
3
3
2
4
13、若 a,b,c＞ 0，方程 ax +bx+c=0 有实根，求证：a,b,c 至少有一个数不小于 (a+b+c).
a2yz+b
2
zx+c
2
xy
≤
0
五、放缩法
例
12、求证：
1+
1 22
1 + 32
1 +…+ n2
＜
7 4
例 13、已知 a,b,c∈ [0,1] ，求证： a + b + c +(1－ a)(1－ b)(1－ c)≤ 1 bc1 c a1 a b1
例 14、设 x 0=5， xn+1=x n+ 1 ,求证： 45＜ x1000＜45.1 xn
4、设 x,y,x,w 是四个不全为零为实数，求证：
xy 2yz zw ≤ 2 1
x 2 y2 z2 w2
2
5、求证： (a1+a2+… +an)2≤ n(a12+a22+… +an2)
6、有一个矩形铁片，尺寸是 80× 50，现要在四角各裁去一个同样大小的正方形，做
成无盖盒子。求证上：不管如何裁法，所成盒子的容积不超过
1) 2
a1
a2
an
n
例 7、设
3x
2
+2y
2≤
6，求
p=2x+y
的最大值。
例 8、在△ ABC 中，A 、B、C 是三内角， a、b、c 为其对应边。求证： aA bB cC abc 3
例 9、 a,b,c＞ 0，求证： a+b+c≤ a 2
b2 b2 +
c2 c2 +
a2
≤
a3 b3 +
c3 +
9
14、任给 7 个实数，证明其中必存在两个实数
例 21、设 f (x) ，g (x) 是 [0，1] 上的增函数。证明：存在 x 0,y0∈ [0 ，1] ，使得 |x0y0－ f (x 0) － g(y 0)|≥ 1
4
九、数学归纳法
例 22、当 0＜α ＜
， n≥ 2，n∈ N 时，求证： tan nα ＞ ntanα
4(n 1)
练习题：
六、代换法例 15、设 a＞1,n∈ N,n≥ 2，求证： n a 1 ＜ a 1
n
例 16、设 x 1,x2,… ,xn＞0,求证： n (1 x1)(1 x 2 ) (1 x n) － n x1x 2 xn ≥1
例 17、设 a≥4，求证： lg a lg 3 lg(a 2) lg 4 lg 3 lg 2
例 4、若 m、 n∈N* ，求证： m n m n m nnm 2
例 5、求证：对任意正整数
n，有 (1+ 1 )n+1＞ (1+ 1 )n+2＞ 2
n
n1
例 6、已知 a1,a2,… ,an 都是正数，且 a1+a2+… +an=1，求证：
1 (a1+
)2+(a2 +
1
) 2+…+(a n+
1
)2≥ (n 2
1、设 x 1,x2,x3,x4＞ 0，求证：
x12
+
x
2 2
+
x32
+
x42
≥ x 1+x 2+x3+x 4
x2 x3 x4 x1
b 2、设 a,b,c＞ 0，求证：
c x2+ c
a y2+ a
b z2 ≥ 2(xy+yz+xz)
a
b
c
3、设 a,b,c 为正数，试证： abc≥ (b+c－ a)(c+a－ b)(a+b－ c)
2c
2a
2b
bc ca ab
几个古典不等式
1、(切比雪夫不等式 )若 a1，a2，…， an 和 b1， b2，…， bn 为实数，且 a1≤ a2≤…≤ an，
b1≤ b2≤…≤ bn(或
a1 ≥a2 ≥…≥
an， b1≥ b2≥…≥
bn)，则 (
1n
ni
ai
1
)(
1 n
n
bi
i1
)≤
1 n
n
ai bi
i1
当且仅当 a1=a2=… =an 或 b1=b 2=… =bn 时取等号。
2、(琴生不等式 )设 f (x) 为区间 [a，b] 上的严格下凸函数，即对 x1,x2∈ [a,b], x 1≠x 2，总
有 f ( x1 x 2 )＜ 1 [ f (x1)+f (x 2)] ，则对于 [a ，b] 中任意一组不全相同的值
1
1
n
ak bk
k1
≤
n
(a
k1
p k
)
p
n
(
k
1bkq
)
q
四、判别式法例 10、已知 A 、B 、 C 是△ ABC 的内角， x,y,z∈R，求证：
x 2+y 2+z2≥ 2xycosC+2yzcosA+2zxcosB
例 11、若 x+y+z=0 ，且 a,b,c 为三角形的三条边长。求证：
七、构造法例 18、设 a,b,c 为绝对值小于 1 的实数，求证： ab+bc+ca+1＞ 0
例 19、已知 v ＞ 0,u∈ [－ 2 , 2 ] ，求证： (u－ v) 2+( 2 u 2 － 9 )2≥ 8 v
八、反证法例 20、已知 a1，a2，…， a8＞ 0 且 a1+a2+… +a8=20 ，a1a2 … a8＜ 13。求证： a1， a2，…， a8 中至少有一个小于 1。
证明不等式的常用方法和技巧
一、比较法例 1、求证：对任何非负数
a 和 b，不等式 1 (a+b)2+ 1 (a+b) ≥ a b +b a 成立
2
4
二、分析法
例 2、设 0 b a , 求证 : 1 a b 2 a b
8a
2
1 a b2 ab
8b
三、综合法
例 3、对任意实数 x,y,z，有 sinxcosy+sinycosz+sinzcosx ≤ 3 2