子群的陪集练习题及其解答

子群的陪集练习题及其解答

1. 假定a 和b 是一个群G 的两个元,并且ba ab =,又假定a 的阶是m ，

b 的阶n 是并且1)(=mn .证明:ab 的阶是mn

证 e b a ab e b e a mn mn mn n m ==∴==)

(, . 设.)(e ab r = 则1),(,)(=⇒===n m mr n e b b a ab mr mr mr mr 故.r n 1),(,)(=⇒==n m nr m e b a ab nr nr nr 故r m 又1),(=n m r mn ∴

因此ab 的阶是mn .

2.假定~是一个群G 的元间的一个等价关系,并且对于G 的任意三个元',,x x a 来说,''~~x x ax ax ⇒证明与G 的单位元e 等价的元所作成的集合为H

证 由于~是等价关系,故有'~e e 即H b a H e ∈∈,,.,则e b e a ~,~

因而11~,~--bb be aa ae

由题设可得11~,~--b e a e

由对称律及推移律得11~--a b

再由题设得e ab

~1- 即 H ab ∈-1

这就证明了H 是G 的一个子群.

3.我们直接下右陪集Ha 的定义如下:Ha 刚好包含G 的可以写成

ha )(H h ∈

G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集

. 证 任取G a ∈则Ha ea a ∈=

这就是说,G 的每一个元的确属于一个右陪集

若Hb x Ha x ∈∈,则.,21b h x a h x ==

则b h a h 21=,因而a h h b b h h a 11

2211,--==

a h hh h

b b h hh ha 112211,--==⇒

Ha Hb Hb Ha ⊂⊂⇒,故Ha=Hb

这就证明了,G 的每一个元只属于一个右陪集.

4.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群,

它们都是交换群.

证设G是阶为4的群.那么G的元的阶只能是.4,2,1

1．若G有一个元的阶为4,则G为循环群;

2. 若G有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2.

就同构的观点看阶为4的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确

存在. 循环群

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1

2

3 0

2 2

3 0 1

3 3 0 1 2

非循环群

e a b c

e e a b c

a a e c b

b b

c e a

c c b a e

循环群是交换群，由乘法表看出是交换群