(仅供参考)节点导纳矩阵法

n
n
∑ ∑ ( ) uk ykj = uk ykj = uk − ykk = −uk ykk
j =1
j =1
j≠k
j≠k
节点电流方程写为：
∑ ∑ ik
=
⎛
−
⎜ ⎜⎜⎝
uk
ykk
+
n
u j ykj
j =1 j≠k
⎞
⎟ ⎟⎟⎠
=
−
n
u j ykj
j =1
5
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
全电路共有n个节点：
2
3.2.1 待定导纳矩阵的定义
z 设某个电路网络有n个节点，在分析过程中电路不 接地，这样更具有通用性。上图表示的是给定n个
节点网络的局部电路。节点j与节点k之间导纳用 ykj或yjk表示，ykj=yjk。当k节点与任意节点j （j=1,2,…,n,且j≠k）有支路直接相连时，此两 节点之间的导纳才能定位ykj（=yjk）；而与k节点 不直接相连接的各节点x与k之间的导纳应定为 零，即ykx=0。
3.2 节点导纳矩阵法（待定导纳矩阵法） Admittance Matrix Method
1
一般电路
端点：元件与外部连线的衔接点； 端口：电路网络的输入与输出口， 一个端口由两个端点构成； 节点：元件与元件的端点互相连接 之处； 支路：两个节点之间的通路； 回路：由一个节点出发，再回到该 节点的一组支路。
=
⎡y ⎢⎣− y
−y⎤ y ⎥⎦
⎧1 R
y
=
⎪ ⎨
jωC
⎪⎩1 jωL
电阻 电容 电感
15
均匀传输线
⎧⎪⎨Y1
=
θ
jY0tg 2
⎩⎪Y2 = − jY0 cscθ
⎛ ⎜
−
jY0ctgθ
⎜
Y
=
⎜ ⎜
jY0 cscθ
⎜ ⎜⎜⎝
−
jY0tg
θ
2
jY0 cscθ
− jY0ctgθ
−
jY0tg
y2 j
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
L
∑ ∑ ⎛ n−1
n−1 ⎞
⎜ ynj − ynj ⎟
⎝ j=1
j=1 ⎠
L − y2n =
M
n−1
∑ L
ynj
j =1
− y21
M − yn1
n
∑ y2 j
j =1 j≠2
M
− yn2
L
− y2n
M
n−1
L
∑ ynj
j =1
0
0L0
− y21
= M
n
∑ y2 j L
j =1 j≠2
M
− yn2
L
− y1n
⎞ ⎟
⎟
⎟ L − y2n ⎟
⎟
⎟ M⎟
n−1 ⎟
∑ L j=1 ynj ⎟⎟⎠
3个节点时：
⎡ y12 + y13
⎢ ⎢
− y21
⎢⎣ − y31
− y12 y21 + y23
− y32
− y13 ⎤
− y23
⎥ ⎥
y31 + y32 ⎥⎦
9
3.2.2 待定导纳矩阵的性质
z 性质一：列元素之和为零。
− −
y1n y2n
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
u1 u2
⎞ ⎟ ⎟
M ⎟⎜ M ⎟
⎜⎜⎝ in ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ − yn1 − yn2 L − ynn ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ un ⎟⎟⎠
7
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
写成向量形式：
I = YU
Y : 待定导纳矩阵
n
∑ 其中− ykk = ykj j =1 j≠k
全部流入电路的外电流总和为零：
∑ ∑ ∑ n
n⎛n
⎞
ik = ⎜ ykju j ⎟ = 0
k =1
⎝ k =1 j=1
⎠
n
n
n
∑ ∑ ∑ yk1u1 + yk 2u2 +L + yknun = 0
k =1
k =1
k =1
节点电压u
可为任何值
j
→
各项系数为零
n
n
n
∑ ∑ ∑ yk1 = yk 2 = L = ykn = 0
I : 外电流向量 I = [i1 i2 L ]in T
U : 节点电压向量 U = [u1 u2 L ]un T
8
待定导纳矩阵Y
当电路具有n个节点时，Y为n × n矩阵：
∑ ⎛ n
⎜ y1 j ⎜ j=2 ⎜ ⎜ − y21 ⎜ ⎜ ⎜M ⎜ ⎜⎜⎝ − yn1
− y12
n
∑ y2 j
j =1 j≠2
j =1
j =1
j =1
11
z 性质三：Y的行列式值为零。
n
∑ y1 j
j=2
− y21
M − yn1
− y12
n
∑ y2 j
j =1 j≠2
M
− yn2
L − y1n
∑ ∑ ⎛ n
n⎞
⎜ y1 j − y1 j ⎟
⎝ j=2
j=2 ⎠
∑ ∑ ⎛
⎜ ⎜⎜⎝
n
j =1 j≠2
y2 j
−
n
j =1 j≠2
3
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
∑( ) n
ik + u j − uk ykj = 0
j =1 j≠k
展开得到：
n
n
∑ ∑ ik = uk ykj − u j ykj
j =1
j =1
j≠k
j≠k
4
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
n
∑ 引入符号：ykk = − ykj j =1 j≠k
上式右边第一项：
M
− y2n
=0 M
− yn1
− yn2
n−1
∑ L
ynj
j =1
12
z 性质四：若网络的第t个节点接地（ut=0），则其
不定导纳矩阵降1阶，降阶后的矩阵称为确定导纳 矩阵。
i1 = − y11u1 − y12u2 L − y1tut L − y1nun i2 = − y21u1 − y22u2 L − y2tut L − y2nun LLLLLLLLLLLLLLL it = − yt1u1 − yt2u2 L − yttut L − ytnun LLLLLLLLLLLLLLL in = − yn1u1 − yn2u2 L − yntut L − ynnun
k =1
k =1
k =1
10
z 性质二：行元素之和为零。
假设各节点电位都相等且不为零（u1=u2 =L=un ≠ 0）。 由于节点间无电位差，所以各电流都为零。
n
∑ ik = − u j ykj = 0 j =1
k = 1, 2,L, n
又由于u1=u2 =L=un ≠ 0，所以
n
n
n
∑ ∑ ∑ y1 j = y2 j = L = ynj = 0
ut = 0 → 去掉第t列 性质一 → 去掉第t行
13
3.2.3 微波元器件的待定导纳矩阵
z 在用节点导纳矩阵分析微波电路时，先要 求出电路的导纳矩阵，而电路导纳矩阵[Y] 可从电路各元器件的不定导纳矩阵中求 出，所以我们先讨论如何形成微波电路中 各元器件的不定导纳矩阵。
14
集总参数元件
[Y
]
∑ ⎧
⎪i1
=
−
wenku.baidu.com
n
u j y1 j
⎪
j =1
∑ ⎪
n
⎪⎨i2
=
−
u j y2 j
j =1
⎪⎪M
∑ ⎪
⎪in
=−
n
u j ynj
⎩
j =1
6
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
全电路节点方程组：
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
i1 i2 M
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
− −
y11 y21 M
− y12 − y22
M
L L