无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

无锡市八年级上学期期末数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列实数中，无理数是（ ） A ．
227
B ．3π
C ．4-
D ．327
3．若分式12
x
x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1
B ．2-
C ．1-
D ．2 4．一次函数y ＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
6．如图，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，下列条件不能判断△ABE ≌△ACD 的是
（ ）
A ．∠
B ＝∠
C B ．BE ＝C
D C ．AD ＝A
E D ．BD ＝CE 7．下列各组数不是勾股数的是（ ）
A ．3，4，5
B ．6，8，10
C ．4，6，8
D ．5，12，13
8．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，则不等式20kx b +->的解集是
（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x <
D ．2x > 9．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A ．1
B ．5
C ．7
D ．49
10．将直线y ＝1
2
x ﹣1向右平移3个单位，所得直线是（ ） A ．y ＝
12x +2 B ．y ＝
1
2
x ﹣4 C ．y ＝
1
2x ﹣52
D ．y ＝
12x +1
2
二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第四象限内，且点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标是_____． 12．在
311，2π，122-，0，0.454454445…，31
9
中，无理数有______个.
13．阅读理解:对于任意正整数a ，b ，∵
(
)
2
0a b
-≥，∴20a ab b -+≥，
∴2a b ab +≥，只有当a b =时，等号成立；结论：在2a b ab +≥（a 、b 均为正实数）中，只有当a b =时，+a b 有最小值2ab .若1m ，1
m m +-有最小值为__________．
14．已知一次函数()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___． 15．如图，在平面直角坐标系中，()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -．把一条长为2020个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按
A B C D A -----…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的
坐标是__________．
16．使函数6y x =
-有意义的自变量x 的取值范围是_______.
17．如图，已知直线l 1：y=kx+4交x 轴、y 轴分别于点A （4，0）、点B （0，4），点C 为x 轴负半轴上一点，过点C 的直线l 2：1
2
y x n =
+经过AB 的中点P ，点Q （t ，0）是x 轴上一动点，过点Q 作QM ⊥x 轴，分别交l 1、l 2于点M 、N ，当MN=2MQ 时，t 的值为_____．
18．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
19．如图，等边△ABC 的周长是18，D 是AC 边上的中点，点E 在BC 边的延长线上．如果DE ＝DB ，那么CE 的长是_____．
20．如图，在ABC ∆中，AC AD BD ==，28B ∠=，则CAD ∠的度数为__________．
三、解答题
21．如图，已知一次函数2y x =-的图像与y 轴交于点A ，一次函数4y x b =+的图像与
y 轴交于点B ，且与x 轴以及一次函数2y x =-的图像分别交于点C 、D ，点D 的坐标
为()2,m -.
（1）关于x 、y 的方程组2
4y x y x b -=-⎧⎨-=⎩
的解为______________.
（2）关于x 的不等式24x x b -≥+的解集为__________________.
（3）求四边形OADC 的面积；
（4）在x 轴上是否存在点E ，使得以点C ，D ，E 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E 的坐标：若不存在，请说明理由.
22．如图①，A 、B 两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器A 中盛满水，容器B 中盛有高度为1 dm 的水，容器B 下方装有一只水龙头，容器A 向容器B 匀速注水.设时间为t (s)，容器A 、B 中的水位高度A h (dm)、B h (dm)与时间t (s)之间的部分函数图像如图②所示.根据图中数据解答下列问题:
(1)容器A 向容器B 注水的速度为 dm 3/s(结果保留π)，容器B 的底面直径m = dm; (2)当容器B 注满水后，容器A 停止向容器B 注水，同时开启容器B 的水龙头进行放水，放水速度为4
πdm 3
/s.请在图②中画出容器B 中水位高度B h 与时间 (4t ≥)的函数图像，说明理由;
(3)当容器B 注满水后，容器A 继续向容器B 注水，同时开启容器B 的水龙头进行放水，放水速度为2πdm 3/s ，直至容器A 、B 水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器A 向容器B 全程注水时间.(提示:圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高)
23．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

小明同学对以上结论作了进一步探究.如图1，在Rt ABC ∆中，
1
90,2
ACB AC AB ∠==
，则：30ABC ∠=. 探究结论：（1）如图1，CE 是AB 边上的中线，易得结论：ACE ∆为________三角形. （2）如图2，在Rt ABC ∆中，1
90,,2
ACB AC AB CP ∠==
是AB 边上的中线，点D 是边CB 上任意一点，连接AD ，在AB 边上方作等边ADE ∆，连接BE .试探究线段BE 与
DE 之间的数量关系，写出你的猜想加以证明.
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边ABC ∆，当点C 在第一象内，且(2,0)B 时，求点C 的坐标.
24．已知甲，乙两名自行车骑手均从P 地出发，骑车前往距P 地60千米的Q 地，当乙骑手出发了1.5小时，此时甲，乙两名骑手相距6千米，因甲骑手接到紧急任务，故甲到达Q 地后立即又原路返回P 地甲，乙两名骑手距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数图象如图所示．（其中折线O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣D （实线）表示甲，折线O ﹣E ﹣F ﹣G （虚线）表示乙）
（1）甲骑手在路上停留 小时，甲从Q 地返回P 地时的骑车速度为 千米/时； （2）求乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（3）在乙骑手出发后，且在甲，乙两人相遇前，求时间x （时）的值为多少时，甲，乙两骑手相距8千米．
25．如图，有一个长方形花园，对角线AC 是一条小路，现要在AD 边上找一个位置建报亭H ，使报亭H 到小路两端点A 、C 的距离相等．
（1）用尺规作图的方法，在图中找出报亭H 的位置（不写作法，但需保留作图痕迹，交
代作图结果）
（2）如果AD ＝80m ，CD ＝40m ，求报亭H 到小路端点A 的距离．
四、压轴题
26．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．
27．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且
//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从
点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ； （3）设BCQ ∆的面积为(
)2
S cm
，求S 与t 之间的关系式．
28．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6． （1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE
于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度； ②当t 为何值时，点M 与点N 重合； ③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
29．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．图1为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A 的坐标为（1，2）． （1）如图2，点B 的坐标为（b ，0）．
①若b ＝﹣2，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是 ； ②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为 ．
（2）如图3，点C 在直线y ＝﹣1上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；
（3）如图4，等边△DEF 的边DE 在x 轴上，顶点F 在y 轴的正半轴上，点D 的坐标为（1，0）．点M 的坐标为（m ，2），若在△DEF 的边上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围．
30．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
=，并求（1）当点P运动到点O处，过点P作AP的垂线交直线l于点D，证明AP DP
此时点D的坐标；
、、为顶点的三角形和（2）点Q是直线l上的动点，问是否存在点P，使得以P C Q
∆全等，若存在求点P的坐标以及此时对应的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．ABP
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【详解】
A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
A.22
7
是有理数，不符合题意；
B.3π是无理数，符合题意；
C.=-2，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
根据题意得，1-x=0且x+2≠0，
解得x=1且x≠-2，
所以x=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵k=-2＜0，
∴一次函数经过二四象限；
∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限，
故选C．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC 的长.
【详解】
在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BC=2BD.
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4
∴BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质和判定即可求解．
【详解】
解：选项A，∠B＝∠C 利用 ASA 即可说明△ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；选项B，BE＝CD 不能说明△ABE≌△ACD ，说法错误，故此选项正确；
选项C,AD＝AE 利用 SAS 即可说明△ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项D，BD＝CE 利用 SAS 即可说明△ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
故选B.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，熟悉掌握判定方法是解题关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2=c2，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】
解：A、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误；
B、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误
C、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确；
D、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
由图知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大，由此得出当x＞0时，y＞2，进而可得解．
【详解】
根据图示知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大；即当x＞0时函数值y的范围是y＞2；
因而当不等式kx+b-2＞0时，x的取值范围是x＞0．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，
∴BD=CD=1
2
BC=3，AD同时是BC上的高线，
∴2222
345
BD AD
+=+=．
故它的腰长为5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD同时是BC上的高线．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，将直线y=1
2
x﹣1向右平移3个单位，所得直线的表达式是
y =12
（x ﹣3）﹣1， 即y =12x ﹣52
． 故选：C ．
【点睛】
此题主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律，即可解题.
二、填空题
11．（3，﹣2）．
【解析】
【分析】
根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【详解】
设P(x ，y)，
∵点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，
∴，
∵点P
解析：（3，﹣2）．
【解析】
【分析】
根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【详解】
设P(x ，y)，
∵点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3， ∴32x y ==，
， ∵点P 在第四象限内，即：00x y ><，
∴点P 的坐标为（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，点的坐标，掌握“点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值”，是解题的关键．
12．3
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行判断.
【详解】
解：根据无理数的定义可知，，0.454454445…，为无理数，共3个.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键是掌握无
解析：3
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行判断.
【详解】
解：根据无理数的定义可知，2π，0.4544544453个. 故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 13．3
【解析】
【分析】
根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．
【详解】
解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】
准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，
解析：3
【解析】
【分析】
根据a b +≥（a 、b
进行化简求最小值． 【详解】
1=1111m m m
11
1m
=111m 1211=31m m 即：当1m 时，m m 3， 故答案为：3．
【点睛】 准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．
14．k ＜1．
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，
∴k -1＜0，
解得k
解析：k ＜1．
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k ＜1，
故答案是：k ＜1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
15．【解析】
【分析】
根据各个点的坐标，分别求出AB 、BC 、CD 和DA 的长，即可求出细线绕一圈的长度，然后用2020除以细线绕一圈的长度即可判断．
【详解】
解：∵，，，
∴AB=2，BC=3，CD
解析：()1,1
【解析】
【分析】
根据各个点的坐标，分别求出AB 、BC 、CD 和DA 的长，即可求出细线绕一圈的长度，然后用2020除以细线绕一圈的长度即可判断．
【详解】
解：∵()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -
∴AB=2，BC=3，CD=2，DA=3
∴细线绕一圈所需：AB+BC+CD+DA=10个单位长度
2020÷10=202（圈），即细线正好绕了202圈
故细线另一端所在位置正好为点A ，它的坐标为()1,1
故答案为：()1,1．
【点睛】
此题考查的是探索点的坐标规律题，掌握把坐标转化为线段的长是解决此题的关键．
16．【解析】
【分析】
根据二次根式，被开方数a≥0，可得6-x≥0，解不等式即可.
【详解】
解：∵有意义
∴6-x≥0
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条
解析：6x ≤
【解析】
【分析】
a≥0，可得6-x≥0，解不等式即可.
【详解】
解：∵y =
∴6-x≥0
∴6x ≤
故答案为：6x ≤
【点睛】
，被开方数a≥0是解题的关键.
17．10或
【解析】
【分析】
先求出的值，确定的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；
解析：10或
227 【解析】
【分析】
先求出k n ，的值，确定12l l ，的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；
【详解】
解：把()40A ，
代入到4y kx =+中得：440k +=，解得：1k =-， ∴1l 的关系式为：4y x =-+，
∵P 为AB 的中点，()40A ，
，()0,4B ∴由中点坐标公式得：()2,2P ，
把()2,2P 代入到12y x n =
+中得：1222n ⨯+=，解得：1n =， ∴2l 的关系式为：112
y x =+， ∵QM x ⊥轴，分别交直线1l ，2l 于点M N 、，()0Q t ，
， ∴(),4M t t -+,1,12N t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，
∴()1341322MN t t t ⎛⎫=-+-+=
- ⎪⎝⎭，44MQ t t =-+=-， ∵2MN MQ =, ∴33242
t t -=-， 分情况讨论得：
①当4t ≥时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：10t =；
②当24t ≤<时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：227
t =； ③当2t <时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：102t =>，故舍去；
综上所述：10t =或227
t =； 故答案为：10或227
． 【点睛】
本题属于一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识点，能够表示出线段的长度表达式，合理的使用分类讨论思想是解决本题的关键，有一定的难度．
18．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴AC=，
∵A 点表示-1，
∴E 点表示的数为：
1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴=
∵A 点表示-1，
∴E ，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
19．3
【解析】
【分析】
由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E，得出CD=CE=AC=3即可．
【详解】
∵△ABC为等边
解析：3
【解析】
【分析】
由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出
∠CDE=∠E，得出CD=CE=1
2
AC=3即可．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
∴∠DBE=30°，
又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为18，
∴AC=6，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE=1
2
AC=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明CD=CE是解题的关键．
20．68°
【解析】
【分析】
由在△ABC中，AC=AD=BD，∠B=28°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC 的度数，接着求得∠C的度数，可得结论．
【详解】
解：∵AD=BD，
∴∠BAD=∠
解析：68°
【解析】
【分析】
由在△ABC中，AC=AD=BD，∠B=28°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC的度数，接着求得∠C的度数，可得结论．
【详解】
解：∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=28°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=28°+28°=56°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC=56°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-56°-56°=68°，
故答案为：68°．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）
2
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
；（2）2
x-
≤；（3）4；（4）点E坐标为(2,0)
-或(18,0)
-.
【解析】
【分析】
（1）把D（-2，m）代入y=x-2可得D的坐标．由图象可得结论；
（2）观察图象可得结论；
（3）过点D作DH⊥AB于H．根据S四边形OADC=SΔABD-SΔOBC计算即可；
（4）分三种情况讨论：①当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1，即可得出结论；
②当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；③当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD 交x轴于点E2．设E2（t，0），利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）∵D（-2，m）在y=x-2上，
∴m=-2-2=-4，
∴D（-2，-4）．
由图象可知：关于x、y的方程组
2
4
y x
y x b
-=-
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
2
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
；
（2）由图象可知：关于x的不等式x-2≥4x+b的解集为x≤-2；
（3）如图1，过点D 作DH ⊥AB 于H ．
由（1）知D （-2，-4），
∴DH =2．
在y =x -2中，当x =0时，y =-2，
∴A （0，-2）．
把D （-2，-4）代入y =4x +b 得：-4=4×（-2）+b ，解得：b =4． ∴B （0，4），
∴直线BD 的函数表达式为y =4x +4．
∴AB =4-（-2）=6，
∴S ΔABD =12AB ⋅DH =12
×6×2=6． 在y =4x +4中，当y =0时，0=4x +4，解得：x =-1．
∴C （-1，0），
∴OC =1．
∵B （0，4），
∴OB =4，
∴S ΔOBC =12OB ⋅OC =12
×4×1=2， ∴S 四边形OADC =S ΔABD -S ΔOBC =6-2=4．
（4）如图2，①当点E 为直角顶点时，过点D 作DE 1⊥x 轴于E 1． ∵D （-2，-4），
∴E 1（-2，0）
②当点C 为直角顶点时，x 轴上不存在点E ．
③当点D 为直角顶点时，过点D 作DE 2⊥CD 交x 轴于点E 2．设E 2（t ，0）． ∵C （-1，0），E 1（-2，0），
∴CE 2=-1-t ，E 1E 2=-2-t ．
∵D （-2，-4），
∴DE 1=4，CE 1=-1-（-2）=1．
在12Rt DE E ∆中，由勾股定理得：()2
222222211242420DE DE E E t t t =+=+--=++． 在1Rt CDE ∆中，由勾股定理得：2221417CD =+=．
在2Rt CDE ∆中，由勾股定理得：22222CE DE CD =+．
∴（-1-t ）2=t 2+4t +20+17
解得：t =-18．
∴E 2 （-18，0）．
综合上所述：点E 坐标为（-2，0）或（-18，0）．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数与方程组、一次函数与不等式的解集，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
22．（1）
34π，2；（2）见详解；（3）6s. 【解析】
【分析】
（1）通过注水速度=注水体积÷注水时间以及圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高，代入公式进行计算即可；
（2）通过放水时间=放水体积÷放水速度，求出时间即可求出放水时间，然后画出图像； （3）列出容器A 和容器B 中水的高度与时间t 的关系，通过水位高度相同求解即可．
【详解】
解：（1）由图象可知，4秒时间A 容器内水的高度下降了1dm ，B 容器内水的高度上升了3dm ，B 容器增加的水的体积等于A 容器减少的水的体积，
A 容器减少的水的体积22313A V sh ππ==⨯=⎝⎭
， 则注水速度为34
V t π=， B 容器流入的水的体积 2332B m V sh ππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
， 解得m=2，
故答案为34
π；2． （2）注满后B 容器中水的总体积为：22442ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
，
∵放水速度为
4
π
，
∴放空所需要的时间为：4π÷
4
π
=16 s．
如图所示，
（3）4秒时A容器体积为
2
3
26
2
ππ
⎛
⨯=
⎝⎭
此时B容器体积为4π
根据注水速度，A容器内水的高度为
()
3
641
43
34
t
t
π
π
π
--
=-
B容器内水的高度：
()()
3
44245
49
4
t t
t
π
ππ
π
+---
=-
由
15
39
44
t t
-=-
解得t=6，
∴容器A向容器B全程注水时间t为6s．
【点睛】
此题的关键是找到题中各个量之间的关系，注水速度=注水体积÷注水时间，圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高，理解题意是解题的关键．
23．（1）等边；（2）ED EB
=，证明详见解析；（3）123
(,)
C+.
【解析】
【分析】
（1）易证,60
AC AE A︒
=∠=，因此ACE
∆是等边三角形；
（2）连接PE，结合,
ACP ADE
∆∆等边三角形的性质，利用SAS可证CAD PAE
∆≅∆，由全等的性质知90
ACD APE
∠=∠=，结合等腰三角形三线合一的性质可得
EA EB
=，
等量代换即得ED EB =；
拓展应用：作AH x ⊥轴于,H CF OB ⊥于F ，连接OA ，易知AO 、AH 长，由题中结论可得30AOH ∠=，结合（2）中结论，利用HL 定理可证ABH OCF ∆≅∆，可知CF 长，易得点C 坐标.
【详解】
解：（1）190,2ACB AC AB ∠== 30ABC ∴∠=
60A ∴∠=
CE 是AB 边上的中线
12
AE AB ∴= AE AC ∴=
ACE ∴∆是等边三角形．
（2）结论：ED EB =．
理由：连接PE ．
∵,ACP ADE ∆∆都是等边三角形 ，
,,60AC AD DE AD AE CAP DAE ∴===∠=∠=，
CAD PAE ∴∠=∠，
()CAD PAE SAS ∴∆≅∆，
90ACD APE ∴∠=∠=，
EP AB ∴⊥，
∵PA PB =，
EA EB ∴=，
∵DE AE =，
ED EB ∴=
拓展应用：作AH x ⊥轴于,H CF OB ⊥于F ，连接OA ．
∵(3,1),22,30A AO AH AOH -∴==∴∠=，
由（2）可知，,CO CB OC AC =∴=
∵,1CF OB OF FB ⊥∴==，
,()AH OF ABH OCF HL ∴=∴∆≅∆
23CF BH ∴==+
(1,23)C ∴.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的特殊判定，等腰三角形的性质，属于三角形的综合探究题，灵活利用等边三角形及直角三角形的性质是解题的关键.
24．（1）1小时，30千米/时；（2）y =24x ﹣24（1≤x ≤3.5）；（3）x =173
27
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）求出乙的速度，再利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论列方程解答即可．
【详解】
（1）由图象可知，甲骑手在路上停留1小时，甲从Q 地返回P 地时的骑车速度为：60÷（6﹣4）=30（千米/时），
故答案为：1；30．
（2）甲从P 地到Q 地的速度为20（千米/时），所以乙的速度为：（6+1.5×20）÷1.5=24（千米/时），
60÷24=2.5（小时），
设乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数关系式为y =24x +b ，则
24+b =0，解得b =﹣24．
∴乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数关系式为y =24x ﹣24（1≤x ≤3.5）．
（3）根据题意得，
30（x ﹣4）+（24x ﹣24）=60﹣8，
解得x =17327
． 答：乙两人相遇前，当时间x =173
27时，甲，乙两骑手相距8千米． 【点睛】
此题考查了一次函数与一元一次方程的综合运用，熟练掌握，即可解题.
25．（1）详见解析；（2）报亭到小路端点A 的距离50m ．
【解析】
【分析】
(1)作AC 的垂直平分线交AD 与点H ，进而得出答案；
(2)利用勾股定理以及线段垂直平分线的性质得出即可．
【详解】
(1)如图所示：H 点即为所求；
(2)根据作图可知：A H =H C ，
设AH =xm ，则DH =(80﹣x )m ，HC =xm ，
在Rt △DHC 中，
222DH CD HC +=，
∴222
(80
)40x x +=﹣， 解得：x =50，
答：报亭到小路端点A 的距离50m ．
【点睛】
本题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理和线段垂直平分线的性质和作法等知识，得出A H =H C ，进而利用勾股定理得出是解题关键． 四、压轴题
26．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；
（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，
即可得出结论；
（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.
【详解】
证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l
∴∠ACB＝∠ADC
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°
∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，
∵M（1，3）
∴MF＝1，OF＝3
∴MG＝3，NG＝1
∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，
∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，
∴点N的坐标为（4，2），
（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3
∴P（0，3），
∴OP＝3
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°
∴∠
PSQ＝45°＝∠QPS
∴PQ＝SQ
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），
设直线PR为y＝kx+b，则
3
41
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b3
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线PR为y＝﹣1
2
x+3
由y＝0得，x＝6
∴R（6，0）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.
27．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
（2）通过证明PCQ BQC
≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】
解：（1）CP=3t，BQ=8-t；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6
∴CP=BQ
∵CD∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC
≅
∴∠PQC=∠BCQ
∴PQ∥BC
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM⊥AB
∴AM=11
84
22
AB=⨯=（cm）
∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm）
∴
11
8t4162 22
BCQ
S BQ CM t ==⨯-⨯=-
因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．
【点睛】
此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
28．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10
,2 11
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
ADC CEB
DAC ECB
AC CB
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：
CN＝CN−BC＝8t−10；
②点M与点N重合时，CM＝CN，
即3t＝8t−10，
解得：t＝2，
∴当t为2秒时，点M与点N重合；
③分两种情况：
当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，
∴CM＝CN，
∴3t＝10−8t，
解得：t＝
10
11
；
当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，
则3t＝8t−10，
解得：t＝2；
综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于
10
11
s或2s，
故答案为：
10
11
s或2s．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的。