《自动控制原理》课后习题解答第三章

第三章习题及答案
3-1 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ(s)。

t e t k 25.10125.0)(-=
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125
3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述
T c t c t r t r t ••
+=+()()()()τ
其中，0<(T-τ)<1。

试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+=τln 693.0
t T r =22. T T T t s ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-+=)ln(
3τ 解 设单位阶跃输入s
s R 1)(= 当初始条件为0时有:
1
1
)()(++=Ts s s R s C τ 1
11
11)(+--
=
⋅
++=
∴
Ts T s s Ts s s C τ
τ C t h t T T
e t T
()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时
h t T T
e t t
d ()./==---051τ
12=--T T e t T d τ/ ; T
t T T d
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴
T T T t d τln 2ln
2) 求t r （即)(t c 从0.1到0.9所需时间) 当 T
t e T
T t h /219.0)(---
==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ
当 T
t e
T
T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21
09
01
22ln ... 3) 求 t s
T
t s s e
T
T t h /195.0)(---==τ ∴=--t T T T s [ln ln .]τ005=-+T T T
[ln ln ]τ20=+-T T T [ln
]3τ
3-3 一阶系统结构图如题3-3图所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t （s ），试确定参数21,K K 的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数
111)(212211211
+=+=+
=ΦK K s
K K K s K s
K K s K s
令闭环增益21
2
==
ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03
32
1≤=
=K K T t s ，得：151≥K 。

3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 题3-4图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。

（1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a ）系统： 1
101
110)(+=
+=
s s K s G a ， 时间常数 10=T 632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；
对（a ）系统：1101
10101100
10110100
)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=
T 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a ）系统： 1)
()
()(==
s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。

对（b ）系统： 101101
101
1010011)
()
()(++=++
==
Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.0101
1
1.0≈⨯。

3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如题3-5图）和所测数据,并假设传递函数为
)
()()()(a s s K
s V s s G +=Θ=
可求得K 和a 的值。

若实测结果是：加10伏电压可得每分钟1200转的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2秒，试求电机传递函数。

[提示：注意
)()(s V s Ω=a s K +，其中dt
d t θ
ω=)(，单位是弧度/秒] 解 依题意有： 10)(=t v （伏）
ππ
ω4060
21200)(=⨯=
∞ （弧度/秒） （1）
πωω20)(5.0)2.1(=∞= （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 a
s K
s V s s G +=Ω=
)()()(0 应有 πω401010lim )()(lim )(0
00
==+⋅⋅
=⋅=∞→→a
K a s K s s s V s G s s s （3） [][]
at
e a K a s s L a K a s s K L s V s G L t -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⋅=1101110)(10)()()(1101ω 由式（2），（3） [][]
ππω20140110)2.1(2.12.1=-=-=
--a a e e a
K
得 5.012.1=--a
e
解出 5776.02
.15
.0ln =-=
a （4） 将式（4）代入式（3）得 2586.74==a K π
3-6 单位反馈系统的开环传递函数)
5(4
)(+=
s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间
t s 。

解：依题，系统闭环传递函数
)1)(1(4
)
4)(1(4
454)(2
12T s T s s s s s s ++=
++=++=Φ ⎩⎨⎧==25.0121T T
)4)(1(4
)()()(++=
Φ=s s s s R s s C =4
1210++++s C s C s C
1)
4)(1(4
lim
)()(lim 00
0=++=Φ=→→s s s R s s C s s
3
4
)4(4lim
)()()1(lim 0
1
1-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
3
1
)1(4lim
)()()4(lim 0
4
2=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
t t e e t h 43
1
341)(--+-=
421
=T T ， ∴3.33.3111==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T T T t t s s 。

3-7 设角速度指示随动系统结构图如题3-7图。

若要
求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？
解 依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为
02,11T -=λ。

写出系统闭环传递函数
K
s s K
s 101010)(2
++=Φ 闭环特征多项式
2
0022
02
1211010)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=K T T 101102
2
00 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 59.075.40''==T t s 1''<
3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量
σ%5≤%，调节时间 s t 3<（s ），峰值时间1
<p t （s ），试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解 依题
σ%5≤%， ⇒ )45(707.0︒≤≥βξ；
35
.3<=
n
s t ωξ，⇒ 17.1>n ωξ；
n
p t ωξπ
21-=
1<，⇒ n ωξ21-14.3>
综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。

3-9 电子心律起博器心率控制系统结构图如题3-9图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节，要求：
（1） 若ξ=0.5对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？
（2） 若期望心速为60次/分钟，并突然接通起博器，问1秒钟后实际心速为多少？瞬时最
大心速多大？
解 依题，系统传递函数为
2
222205
.005.0105.0)(n
n n s s K s s K
s ωξωω++=+
+=Φ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⨯==n n K
ωξω205.0105.0 令 5.0=ξ可解出 ⎩⎨⎧==2020
n
K ω
将 1=t （秒）代入二阶系统阶跃响应公式 ()
βωξξ
ξω+---
=-t e t h n t n 22
1sin 11)(
可得 000024.1)1(=h （次/秒）=00145.60（次/分）
5.0=ξ时，系统超调量 σ%=1
6.3% ，最大心速为
163.1163.01(=+=）p t h （次/秒）=78.69（次/分）
3-10 机器人控制系统结构图如题3-10图所示。

试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t （s ），超调量σ%2=%。

解 依题，系统传递函数为
22212121211
2.)1()
1()1(1)1()(n n n
s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωω++=+++=+++
+=ΦΦ
由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-=≤=--5.0102.0212n p o
o t e ωξπσξπξ 联立求解得
⎩⎨
⎧==1078
.0n
ωξ 比较)(s Φ分母系数得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-===146.012100
1221K K K n n ξωω 3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如题3-11图所示。

试确定系统的闭环传递函数。

解 依题，系统闭环传递函数形式应为
2
2
22.)(n
n n
s s K s ωξωω++=ΦΦ 由阶跃响应曲线有：
21
)(lim )()(lim (0
==⋅
Φ=Φ=∞Φ→→K s
s s s R s s h s s ）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-===-=--o o
o o n p e t 25225.221212ξξπσξωπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==717.1404
.0n
ωξ，所以有
95
.239.19
.5717.1717.1404.02717.12)(2222++=+⨯⨯+⨯=Φs s s s s
3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为 )
12.0(5
.12)(+=
s s s G
试求系统在误差初条件1)0(,10)0(==e
e 作用下的时间响应。

解 依题意，系统闭环传递函数为 5
.6255
.62)(1)()()()(2++=+==
Φs s s G s G s R s C s 当0)(=t r 时，系统微分方程为 0)(5.62)(5)(=+'+''t c t c t c 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换
[]
[]0)(5.62)0()(5)0()0()(2=+-+'--s C c s C s c c s s C s
整理得 ()
())0()0(5)(5.6252
c c s s C s s
'++=++ （1）
对单位反馈系统有 )()()(t c t r t e -=， 所以
1
10)0()0()0(10
1000()0()0(-=-='-'='-=-=-=e r c e r c ）
将初始条件代入式（1）得 2
225.7)5.2(26
)5.2(105.6255110)(++++-=++--=
s s s s s s C 2
2225.7)5.2(5
.747.35.7)5.2()5.2(10
++-+++-=s s s
)8.705.7sin(6.105.7sin 47.35.7cos 10)(5.25.25.2︒+-=--=---t e t e t e
t c t t t
3-13 设题3-13图（a ）所示系统的单位阶跃响应如题3-13图（b ）所示。

试确定系统参数,1K 2K 和a 。

解 由系统阶跃响应曲线有
⎪⎩⎪
⎨⎧=-===∞o
o o o
p t h 3.333)34(1.03)(σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2122
12)(n
n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧
===-=--o o o
o n
p e t 3.331.012
12
ξξπσωξπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωξ 由式（1）⎩⎨⎧====22
21108
2
1n n a K ξωω
另外 3lim 1
)(lim )(21
22100
==++=⋅
Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s
3-14 题3-14图是电压测量系统，输入电压
)(t e t 伏，输出位移)(t y 厘米，放大器增益
10=K ，丝杠每转螺距1毫米，电位计滑臂每移
动1厘米电压增量为0.4伏.当对电机加10伏阶跃电压时（带负载）稳态转速为1000转/分钟，达到该值63.2%需要0.5秒。

画出系统方框图，求出传
递函数)(/)(s E s Y t ，并求系统单位阶跃响应的峰值时间p t 、超调量o o
σ、调节时间s
t 和稳
态值)(∞h 。

解 依题意可列出环节传递函数如下
比较点： )()()(s F s E s E t -= 伏 放大器：
10)
()
(==K s E s U a 电动机： 1
5.03515.060101000
1)()(+=+⨯=+=Ωs s s T K s U s m m a (转/秒/⁄伏)
丝杠：
1.0)
()
(1==ΘK s s Y (厘米⁄转) 电位器：
4.0)
()
(2==K s Y s F (伏⁄厘米) 画出系统结构图如图解3-14所示
系统传递函数为
3
42310
)()()(2+
+==Φs s s E s Y s t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===866.02232n n ωξω
∴ 44.512
''=-=
n
p t ωξπ
o o o o e 433.02
1==--ξξπ
σ
5.35
.3''==
n
s t ξω
5.21
)(lim )(0
=⋅
Φ=∞→s
s s h s 3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 （2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 （3）22)(4
5
--+=s s s s D =0
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11
S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2
εε124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434⨯-= 32348
316⨯-= 0 S 2
424316
4
12⨯-⨯= 48 S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：24s=0 S 0 48
系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）22)(4
5
--+=s s s s D =0
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s
S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s
S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-16 题3-16图是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的K 值范围。

解 由结构图，系统开环传递函数为：
)
4()
124()(232++++=s s s s s K s G
⎩⎨
⎧==3
4
v K K k 系统型别开环增益
0244)(2
345=+++++=K Ks Ks s s s s D Routh ： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K
S 3 -4(1-K) K 1<⇒K
S 2 )
1(4)1615(K K K -- K 067.11516=>⇒
K
S )
1(41647322
K K K --+- 933.0536.0<<⇒K
S 0 K 0>⇒K
∴使系统稳定的K 值范围是： 933.0536.0<<K 。

3-17 单位反馈系统的开环传递函数为
)
5)(3()(++=
s s s K
s G
为使系统特征根的实部不大于-1，试确定开环增益的取值范围。

解 系统开环增益 15K K k =。

特征方程为： 0158)(2
3
=+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有：
0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s D
Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 5
18K - 18<⇒
K S 0 K-8 8>⇒
K
使系统稳定的开环增益范围为：
15
1815158〈K K k =< 。

3-18 单位反馈系统的开环传递函数为
)
12)(1()
1()(+++=
s Ts s s K s G
试在满足 1,0>>K T 的条件下，确定使系统稳定的T 和K 的取值范围，并以T 和K 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。

解 特征方程为：
0)1()2(2)(2
3
=+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>⇒T S 2 T +2 K 2->⇒T S T
TK K +-+221 1
4
2-+
<⇒K T S 0 K 0>⇒
K
综合所得条件，当1>K 时，使系统稳定的参数取值 范围如图解3-18中阴影部所示。

3-19 题3-19图是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水
平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直流增益为1，设控制器传递函数1)(=s G c 。

（1） 求使系统稳定的功率放大器增益K 的取值范围； （2） 设20=K ，传感器的传递函数1
1
)(+=
s s H τ（τ不一定是0.1），求使系统稳定的τ的取值范围。

解 （1）当控制器传递函数1)(=s G c 时
K
s s s s K s R s C s 64.2)11.0)(6()
11.0(64.2)()()(++++==
Φ 04.2660164.26)10)(6()(2
3
=+++=+++=K s s s K s s s s D
4.2636.360
164.269604.2616601:0
1
23
>→<→-K K
s K K
s
K s s Routh
∴
36.360<<K
（2）20=K ，1
1
)(+=s s H τ时 8
.52)1)(6()
1(8.52)()()(++++==Φs s s s s R s C s ττ
08.526)16(8.52)1)(6()(23=++++=+++=s s s s s s s D τττ
8
.52357
.00
1
68.166167.08.52166:0
1
23
s s
s s Routh <→+-->→+ττττττ
∴ 357.00<<τ
3-20 题3-20图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。

（1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数
)
()
(s M s d Θ；
（2） 为保证d M 为单位阶跃时倾斜角θ的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求a K 、
1K 和g K 应满足的方程；
（3） 取a K =1时，确定满足（2）中指标的1K 和g K 值。

解 （1）
)5.01()5.02.0(5.01
2.05.012.05.0112.05
.0)()(122
122a g a a g a d K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s ++++=++++++++=Θ （2）令： 1.05.015
.0)()(1lim )()()(lim )(100
≤+=Θ⋅⋅=Θ⋅
=∞→→a
d s d d s K K s M s s s s M s s M s θ
得 81≥a K K 。

由 )()(s M s d Θ 有： ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=5.025.02.05.011n a g
n K
K K K ωξω， 可得 a g a K K K K 15.0125.02.0+=+
（3）1=a K 时，81≥K ，525.02.0≥+g K ，可解出 072.4≥g K 。

3-21 温度计的传递函数为
1
1
+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
=
Φ)(s 1
1
+Ts 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T h 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
Ts
s s s G 1
)(1)()(=Φ-Φ=
⎩
⎨
⎧==11v T
K 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K
e ss ︒===
5.21010。

解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1
111)()(1)()()(+=+-=-==
ΦTs Ts
Ts s R s C s R s E s e C T s Ts Ts s
s R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.21010
1lim )()(lim 2
3-22 系统结构图如题3-22图所示。

试求局部反馈加入前后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为
)
1()
12(10)(2
++=
s s s s G
∞==→)(lim 0
s sG K s v
10)(lim 20
==→s G s K s a
局部反馈加入后，系统开环传递函数为
)20()12(1012011(10
12)(2
+++=++
+⋅+=s s s s s s s s s s G ）
（）
∞==→)(lim 0
s G K s p
5.0)(lim 0
==→s sG K s v
0)(lim 20
==→s G s K s a
3-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为
)
22)(4()
1(7)(2++++=
s s s s s s G
试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2
t 时系统的稳态误差[)()()(t c t r t e -=]。

∞
==→)(lim 0
s G K s p
解 )22)(4()
1(7)(2
++++=
s s s s s s G ⎩⎨⎧==1
87v K 由静态误差系数法
)(1)(t t r =时， 0=ss e
t t r =)(时， 14.17
8
===K A e ss
2)(t t r =时， ∞=ss e
3-24 系统结构图如题3-24图所示。

已知)(1)()()(21t t n t n t r ===，试分别计算
)()(),(21t n t n t r 和作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的
稳态误差的影响。

解 )
1)(1()(21++=
s T s T s K
s G
⎩
⎨⎧=1v K
)(1)(t t r =时， 0=ssr e ；
K
s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en ++++-=+++
+-
==Φ)1)(1()1()
1)(1(1)1(1
)()
()(21121211
)(1)(1t t n =时， K
s s s s N s s e en s en s ssn 11)
(lim )()(lim 1110
10
-=Φ=Φ=→→ K
s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en ++++-=+++
+-
==Φ)1)(1()1()
1)(1(1)1(1
)()
()(21121222
)(1)(2t t n =时， 01
)
(lim )()(lim 2120
20
=Φ=Φ=→→s
s s s N s s e en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。

3-25 系统结构图如题3-25图所示，要使系统对)(t r 而言是II 型的，试确定参数0K 和τ
的值。

解 )1()1)(1()
1()
1)(1()1(1)1)(1()
1()(02121021+-+++=
+++-
+++=s K K s T s T s K s T s T s K K s T s T s K s G ττττ )
1()()
1(0021221K K s K K T T s T T s K -+-+++=
ττ
依题意应有：⎩⎨⎧=-+=-00
1021
0τK K T T K K 联立求解得
⎩
⎨
⎧+==2101T T K
K τ 此时系统开环传递函数为 2
2121)()(s T T K
s T T K s G ++=
考虑系统的稳定性，系统特征方程为
0)()(21221=+++=K s T T K s T T s D
当 1T ，2T ，0>K 时，系统稳定。

3-26 宇航员机动控制系统结构图如题3-26图所示，其中控制器可以用增益2K 来表示。

宇航员及其装备的总转动惯量2
25m kg I ⋅=。

（1） 当输入为斜坡信号t t r =)(（m ）时，试确定3K 的取值，使系统稳态误差ss
e 1
=（cm ）； （2） 采用（1）中的3K 值，试确定21,K K 的取值，使系统超调量σ%限制在10%以内。

解 （1）系统开环传递函数为
)
()
()()()(3212
132121I
K K K s s I K K K K K s I s K K s E s C s G +=+==
⎪⎩⎪⎨⎧==
1
13v K K t t r =)(时，令 01.01
3≤==
K K
e ss ， 可取 01.03=K 。

（2）系统闭环传递函数为
I
K K s I K K K s I K K s R s C s 2
132122
1)
()()(++==Φ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==I K K K I K K n 2213
2
1ξω 由
o o o o e 102
1≤=--ξξπ
σ，可解出 592.0≥ξ。

取 6.0=ξ进行设计。

将25=I ，01.03=K 代入6.022
13==I
K K K ξ表达式，可得
36000021≥K K
3-27 大型天线伺服系统结构图如题3-27图所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15(s)。

（1） 当干扰)(110)(t t n ⋅=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01º，试确定a
k 的取值；
（2） 当系统开环工作（a k =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ⋅=引起的系
统响应稳态值。

解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为
2
222)2)(1()1()()
()(n
a n n n en K s s s s s s N s E s ωωξωττω+++++-==Φ )(110)(t t n ⋅=时， 令
a
en s en s ssn K s s s s s N s e 10
)(10lim )()(lim 0
=Φ⋅⋅
=Φ⋅⋅=→→01.0≤ 得： 1000≥a K
（2）此时有
)
2(10)()2()()(22
22
222n n n
n n n s s s s N s s s s C s E ωξωωωξωω++-=⋅++-=-= -∞==∞=→)(lim )(0
s sE e e s ss
3-28 单位反馈系统的开环传递函数为
)
5(25
)(+=
s s s G
（1） 求各静态误差系数和2
5.021)(t t t r ++=时的稳态误差ss e ； （2） 当输入作用10秒时的动态误差是多少？
解 （1）)5(25
)(+=
s s s G ⎩⎨⎧==1
5v K
∞=+==→→)
5(25
lim
)(lim 0
s s s G K s s p
55
25
lim
)(lim 00=+==→→s s G s K s s v
0525lim )(lim 020=+==→→s s
s G s K s s a
)(1)(1t t r =时， 011
1=+=
p
ss K e
t t r 2)(2=时， 4.052
2===
v ss K A e 235.0)(t t r =时，∞===
1
3a ss K A e 由叠加原理 ∞=++=321ss ss ss ss e e e e （2） 题意有
25
5)
5()(11)(2+++=+=
Φs s s s s G s e
用长除法可得 ++=++++=Φ3
332210008.02.0)(s s s C s C s C C s e
008.00
2
.00
3210====C C C C
)(1)(2)(5.021)(2
='''=''+='++=t r t r t
t r t t t r
∴ t t r C t r C t r C t r C t e s 2.04.0)()()()()(3210+=+'''+''+'+=
∴ 4.2)10(=s e
3-29 已知单位反馈系统的闭环传递函数为
200
6502.001.0200
5)(2
3++++=
Φs s s s s 输入2
10205)(t t t r ++=，求动态误差表达式。

解 依题意
200
6502.001.0502.001.0)(1)(2323+++++=Φ-=Φs s s s
s s s s e
用长除法可得
+-+=++++=Φ3
2
3322100000335.000236.005.0)(s s s s C s C s C C s e
∴ 1472.01.02000236.0)2020(005.0)(+=⨯++=t t t e s 。

3-30 控制系统结构图如题3-30图所示。

其中1K ，2K 0>，0≥β。

试分析： （1）β值变化(增大)对系统稳定性的影响；
（2）β值变化(增大)对动态性能（σ%，s t ）的影响； （3）β值变化(增大)对t a t r =)(作用下稳态误差的影响。

解 系统开环传递函数为
)
(1
)(221221
K s s K K s K s K K s G ββ+=⋅+=
⎩
⎨
⎧==11v K K β
2
12221)(K K s K s K K s ++=Φβ ⎪⎩
⎪
⎨⎧===1
22122
122K K K K K K K n β
βξω
2122
)(K K s K s s D ++=β
（1）由 )(s D 表达式可知，当0=β时系统不稳定，0>β时系统总是稳定的。

（1） 由 βξ1
221K K = 可知， ⎪⎩
⎪
⎨⎧↓==↓
→↑↑275.3K t n s o o βξωσξβ )10(<<ξ （2） ↑==
→
↑
1
K a K a e ss β
β 3-31 设复合控制系统结构图如 题3-31图所示。

确定C K ，使系统在
t t r =)(作用下无稳态误差。

解 系统误差传递函数为
[]421322323
4322
42132432)1()1)(()
1(1)
1()1()()()(K K K s K K s K TK Ts K K Ts K K s s Ts s K K K s K K Ts s K
K s K K s R s E s C C
e ++++-++=++++-+
==Φ 由劳斯判据，当 T 、1K 、2K 、3K 和4K 均大于零，且41332)1(K TK K K TK >+时，系统稳定。

令 2
1)(lim s
s s e e s ss ⋅
Φ=→0421432=-=K K K K K K K C 得 4
3
2K K K K C =
3-32 已知控制系统结构图如题3-32图所示，试求：
（1） 不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作
用下的传递函数)(s n Φ；
（2） 当干扰)(1)(t t n ⋅∆=时，系统的稳态输出；
（3） 若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求)(t n 对输出)
(t c 稳态值影响最小的适合K 值。

解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为 25
65
20)5)(1(5)()()(2+++=++++==
Φs s s s s s s N s C s n （2）5
)(lim )()(lim )(0
∆=∆⋅Φ=⋅Φ=∞→→s s s s N s s c n s n s n （3）有顺馈时，系统误差传递函数为
25
6205)
5)(1(2012520111)()()(2++-+=+++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-
+=
=Φs s K s s s s K s s N s C s n
令 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∆=∆⋅
Φ=⋅Φ=∞→→25205)(lim )()(lim )(0
K s s s s N s s c n s n s n =0 得 25.0=K
3-33 设复合校正控制系统结构图如题3-33图所示，其中N(s)为可量测扰动。

若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置G c1(s)和串联校正装置G c2(s)。

解 （1）求)(1s G c 。

令
[]0
)()1()1()()
1()(1)()1(11)()()(22111112221112
112=++++-+=++
++-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++==Φs G K K Ts K Ts s s G K K s K Ts s s G K K s K s G Ts s K K s K Ts K s N s C s c c c c n 得： 1
1
1)(K K s s G c +=。

（2）求)(2s G c 。

令
)()1()1(1)(()
1()(11)
()()(2211122111
s G K K Ts K Ts s Ts K s Ts s s G K K s K s K s R s E s c c e ++++++=++
++
==Φ）
当)(1)(t t r =作用时，令 0)
(lim 1
)(lim 2211100
=+=⋅
Φ=→→s G K K K K s s s e c s e s ss 明显地，取 s
s G c 1
)(2=
可以达到目的。

3-34 已知控制系统结构图如题3-34图（a ）所示，其单位阶跃响应如题3-34图（b ）所示，系统的稳态位置误差0=ss e 。

试确定v K ,和T 的值。

解 )
1()(++=
Ts s a
s s G v
⎩
⎨
⎧=待定v a
K K 由 )(1)(t t r =时，0=ss e ，可以判定：1≥v
a s Ts s a s K Ts s a s Ts s a s K s v v
v ++++=+++++=Φ)1()()
1(1)
1()
()(
a s s Ts s D v v +++=+1)(
系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： 2≤v 。

根据单位阶跃响应曲线，有
10)1()(1lim )()(lim )(0
==++++⋅⋅
=⋅Φ=∞→→K a
s Ts s a s K s s s R s s h v s s 10lim )1()(lim )(lim )0()0(12=++++=++++=Φ=='+∞→∞→∞→a
s s Ts aKs
Ks a s Ts s a s sK s s k h v v s v s s
当0≠T 时，有
10lim
)0(1
2
==+∞→v s Ts Ks
k 可得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===1110T v K
当0=T 时，有
10lim )0(2
==∞→v s s
Ks k 可得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===0210
T v K
3-35 复合控制系统结构图如题3-35图所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。

（1） 确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件； （2） 当输入t V t r 0)(=时，选择校正装置)(s G C ，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数
21211221212
122
)1)(1()1)(()1)(1()
1)(1(1)
()1(1)()
()(K K s T s T s s T s G K s T s T s s T s T s K K s G s T s K s R s E s c c e ++++-++=
+++
+-
==Φ 212
213
21)()(K K s s T T s T T s D ++++= 列劳斯表
2
10
212
121211212
12
2130
1K K s T T K K T T T T s K K T T s T T s +-++
因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。

（2）令 212112212
00
)1)(1()1)(()1)(1(lim )()(lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s V s s R s s e c s e s ss ++++-++⋅⋅
=⋅Φ=→→
0)(1lim
2210
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=→s s G K K K V c s 可得 2)(K s s G c =
3-36 设复合控制系统结构图如题3-36图所示。

图中)(s G n 为前馈补偿装置的传递函数，
s K s G t c '=)(为测速发电机及分压电位器的传递函数，)(1s G 和)(2s G 为前向通路环节的传
递函数，)(s N 为可量测扰动。

如果22111)(,
)(s s G K s G ==，试确定
G n (s)、G c (s)和Ｋ1，使系统输出量完全不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调量σ％=25％，峰值时间t p =2(s)。

解 （1）确定)(s G n 。

由梅逊公式
令 0)()
()(1)1()()()(1
12122121221=++++=++++==ΦK s G K s s G s G K s G G G G G G G G G G s N s C s c n c c n c n
解得 []
)()()(112
t c n K K s s s G K s s G '+-=+-=
（2）确定t K '。

由梅逊公式 2
121211)()
()(G G G G G G G s R s C s c ++==
Φ 2
2
21121
2n
n n t s s K s K K s K ωξωω++=+'+= 比较有 ⎩⎨⎧='=n t n
K K K ξωω212
1 由题目要求 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--2
125
.02
12ξωπσξξπn p o
o t e
可解得 ⎩⎨⎧==72.1403.0n ωξ ⎪⎩
⎪
⎨⎧=='==47.02946
.212
1K K K n t n ξωω 有 s s K s G t c 47.0)(='=
)386.1()()(1+-='+-=s s K K s s s G t n
3-37 已知系统结构图如题3-37图所示
（1） 求引起闭环系统临界稳定的K 值和对应的振荡频率ω；
（2） 2
)(t t r =时，要使系统稳态误差5.0≤ss e ，试确定满足要求的K 值范围。

解 （1）由系统结构图
K
s s s s s s s s K s s s
s R s E s e 2)2)(1()1()
2)(1(21)
2(21)()()(2++++=+++
+-
==Φ
K s s s s D 223)(23+++=
系统稳定时有 0)(=ωj D
令 [][]⎩⎨⎧=+-==+-=0
2)(Im 023)(Re 3
2ωωωωωj D K j D 联立解出 ⎩⎨
⎧==2
3
ωK
（2）当 2
)(t t r = 时，3
2)(s s R =
K
K s s s s s s s s s R s e s e s ss 1
2)2)(1()1(2lim )()(lim 2300=++++⋅⋅=Φ⋅⋅=→→
令 5
1
≤=K e ss ，有 2≥K ，综合系统稳定性要求，得：32≤≤K 。

3-38 系统结构图如题3-38图所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t （秒）
（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ； （3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系
统参数K 及τ；
（4） 计算等速输入t t r 5.1)(=（度/秒）时系统的稳态误差。

解 （1） )110(10)
1(101)1(10
)(++=++
+=ττs s K s s s s s K s G
（2） 2
222210)110(10)(1)()(n
n n s s K s s K
s G s G s ωξωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--113.16212ξωπσςξπn p o
o
o
o t e 联立解出
⎪⎩⎪⎨⎧===263
.063
.35
.0τωξn
由（2） 18.1363.31022
===n K ω，得出
318.1=K 。

（4）
63.31
263.01018
.1311010)(lim 0
=+⨯=+=
=→τK s sG K s v
413.063
.35.1===
v ss K A e
3-39 系统结构图如题3-39图所示。

（1） 为确保系统稳定，如何取K 值？
（2） 为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左
侧，K 应取何值？
（3） 若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差
25.0≤ss e ，K 应取何值？
解 )
5)(10(50)(++=
s s s K
s G
⎩⎨⎧=1
v K
（1） K s s s s D 505015)(2
3
+++=
Routh ：
501515)
15(5050155010
1
2
3>→<→-K K
s K K s
K
s s
系统稳定范围： 150<<K
（2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s
K s s s s D 50)1(50)1(15)1()(2
3
+-'+-'+-'='
)3650(231223-+'+'+'=K s s s
Routh ： 72
.050
36
36
5024.650312
125031236
50122310
1
2
3=>→-'=<
→-'-''K K s K K
s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0<<K （3）由静态误差系数法
当 22)(+=t t r 时，令 25.02
≤=
K
e ss 得 8≥K 。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K。