一元二次方程复习课(精品)

一元二次方程复习课（精品）一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,x 1.x 2=c/a 。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”，而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B02112=-+xxC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足bc a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。

针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b - Da -5、若=∙=-+y x 则y x 324,0352 。

考点三、解法例1、解方程：();08212=-x ()();09122=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

例3、()()3532-=-x x x 的根为（ ） A 25=x B 3=x C3,2521==x x D 52=x例4、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例5、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，xx B.2321-==，xx C.3321-==，xxD.2221-==，xx针对练习：1、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ） A 、-1或-2 B 、-1或2 C 、1或-2 D 、1或22、方程：2122=+xx 的解是 。

3．12244212=-+-++xx x x考点四、配方法例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

变式1：已知041122=---+xx xx ，则=+x x 1 .考点五、 “降次思想”的应用例1、已知0232=--x x ，求代数式()11123-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

考点六、根的判别式acb 42-例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m的值.针对练习：1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

2、当k 取何值时，二次三项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .考点七、应用解答题:⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题1、五羊足球队举行庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3. 如图,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度.4.如图，要建一个面积为1502m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为18米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米.求鸡场的长与宽各为多少？5、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313 ）6、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？7、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？三、例题精讲例题1、解关于x 的方程0)(222=++-mn x n m mnx解：（1）若m=n=0,原方程变为0002=-x x，方程的解为任何实数；（2）若m 、n 中有一个为0，另一个不是0时，原方程变为0022==x m x n 或，方程的解是x=0；(3)若m 、n 都不为0，原方程为一元二次方程，可由因式分解法得：0))((=--m nx n mx ，方程的解为：nm x mn x==21,.例题2、已知方程032)1(2=+++-k kx xk 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.解：因为方程有两个不相等的实数根，∴有⎩⎨⎧>+--=-=∆≠-0)3)(1(4)2(40122k k k ac b k (一定同时考虑∆≠,0a)0>解得⎪⎩⎪⎨⎧<≠231k k ，即：当k 23<且1≠k 时方程有两个不相等的实数根.例题3、m 为何值时，多项式5)22(22+++-m x m x是一个完全平方式.（分析：本题还可以用配方法；除此之外，也可以使用判别式的一个特殊用法）解：在一元二次方程05)22(22=+++-m x m x 中，[])5(4)22(22+-+-=∆m m =168-m当0=∆时，多项式是一个完全平方式 ∴168-m =0， m=2即：当m=2时，二次三项式是一个完全平方式.例题4、分析关于x 的方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k的根的情况解：①当01=-k，即1=k 时，原方程有一个实数根，54=x ；②当⎩⎨⎧≥∆≠-01k 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧-≥≠4211k k ，所以当421-≥k且1≠k 时方程有两个实数根。

综上所述，当421-≥k时，方程有实数根.例题5、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx与544422=--+-m m mx x 的根都是整数？解：由于两个一元二次方程的根都是整数，所以：⎪⎩⎪⎨⎧>∆>∆≠00021m 解得：0,145≠≤≤-m m 且；因为m 是整数，所以m =-1或1，当m =-1时，代入两个方程，其解不为整数，所以m =-1不合题意，舍去；当m =1时，代入方程0442=+-x mx 为442=+-x x ，解得：221==x x代入方程0544422=--+-m m mx x ，为0542=--x x ，解得：1,521-==x x故m =1时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx与544422=--+-m m mx x 的根 都是整数。