《信号检测与估计》第八章习题解答
信号检测与估计试题——答案(不完整版)
一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
信号检测与估计
信号检测与估计信号检测与估计?信号检测匹配滤波器检测系统信号估计信号检测门限, 后验概率,似然函数?最大后验概率准则贝叶斯准则最小错误概率准则极大极小准则涅曼-皮尔逊准则例题1:假设H 1条件下,观测信号由一等幅信号m 和高斯噪声n 组成,高斯噪声为N(0,σ2);假设H 0条件下,观测信号仅是噪声n.当我们获得一个观测值Z 后,根据观测值Z,做出两种假设H 1/H 0的判断.观测信号模型为:H 1: Z=m+n, H 0: Z=n,解:假定先验概率相等P(H 1)=P(H 0)=1/2,采用似然比检测准则: ]2)(exp[21)/(221σπσm Z H Z f --=]2exp[21)/(220σπσZH Z f -=]22exp[)/()/()(2201σmmZ H Z f H Z f Z -==Λ因此判决规则为:)()(]22exp[)(102201H P H P m mZ Z H H <>-=Λσ两端取对数,化简得])()(ln[22102201H P H P m mZ H H <>-σ根据假定先验概率相等P(H 1)=P(H 0)=1/2,则有201m Z H H <>例题2:已知f(Z/H 0)的分布为N(y 0,σ2),f(Z/H 1)的分布为N(y 1,σ2)C i,j ,P(H i )均为已知,i,j=0,1,求贝叶斯准则检测的最佳门限Z T .解:根据已知条件,可以得到:))(())((]2)(exp[21]2)(exp[21)/()/()(110110010022022101C C H P C C H P y Z y Z H Z f H Z f Z T T T T T --=----==Λσπσσπσ例题3:假设雷达发射幅度为1伏的周期脉冲信号S(t),信号传送到接收端过程中,引入一个高斯噪声干扰信号n(t),高斯噪声为N(0,1)这样在一个周期内,接收的信号只能是下述的一种:H 1: S(t)+n(t), H 0: n(t)根据N-P 准则,在限制虚警概率P f =0.1时的发现概率解:在虚警概率一定的条件下=0 ,漏报概率P m 需要最小,由拉格朗日乘子法存在,:)(αλ-+=f m P P J α-f P 其中, λ为拉格朗日乘子))(())(()2)(exp())(exp())(())((]2)(exp[]2)(exp[))(())((]2)(exp[21]2)(exp[2111011001002202120111011001002202211101100100220221C C H P C C H P y y y y Z C C H P C C H P y Z y Z C C H P C C H P y Z y Z T T T T T --=-----=------=----σσσσσπσσπσ两边取对数:2)]))(())(([ln(011101100100012y y C C H P C C H P y y Z T ++---=σ-+-=--+=-+=-+=01)]/()/([)1(])/(1[)/(])/([)/()(010101Z Z Z Z Z f m dzH Z f H Z f dz H Z f dz H Z f dz H Z f dz H Z f P P J λαλαλαλαλ将检测门限Z T 代入,∞--+-=TZ dzH Z f H Z f J )]/()/([)1(01λαλ显然,J 是门限的函数,利用偏导数求极小值)/()/(,0/001=-=??H Z f H Z f Z J T T T λ)/(/)/(010H Z f H Z f T T =λ则有:TH H H H Z Z Z Z H Z f H Z f Z =+<>-=Λ<>=Λ5.0ln )21exp()()/()/()(00010101λλ门限Z T 可以由给定的虚警概率确定:1.0)2exp(212=-=?∞dz ZP TZ f π查表得, Z T =1.29, 因此2.2)21exp(0=-=T Z λ此时的发现概率为386.0)2)1(exp(212=--=?∞dz Z P TZ d π在雷达应用中,虚警概率是很小的.虚警概率P f 与系统带宽B,系统平均虚警时间T f 存在下面关系ff T B P *1=令:系统带宽B=1MHz,系统平均虚警时间T f=100秒, 则虚警概率P f =10-8, 这样小的虚警概率可由误差函数近似展开,求得门限Z T nnn x TZ f R x n x x x e x erf Z erf dz Z P T+---+-==-=-∞])2()12...(*3*1)1......()2(3*1211[221)()()2exp(212222222πσσσπ当x>3时,近似有:222)(x ex x erf -?π当x=3, P f =8.206*10-6, Z T =3*σ当x=3.929, P f =1.003*10-8, Z T =3.929*σ当x=4.4625, P f =1.004*10-10, Z T =4.4625*σ雷达恒虚警检测技术(CFAR)雷达系统通常要求能够在比热噪声更为复杂和不确知的背景环境中检测目标测存在并保持给定的虚警概率,为此必须采用自适应门限检测电路.在没有目标存在时,利用自动检测电路来估计接收机的输出,以保持一个恒虚警率的系统变称为恒虚警系统(CFAR)恒虚警率处理器的组成及处理方法自从恒虚警率(CFAR)处理概念提出以来,针对不同的杂波环境和性能要求,目前已有很多CFAR处理方案.随着数字技术的发展,CFAR已经从原始的噪声电平慢门限发展到多种参量和非参量自适应的综合应用.1. 瑞利分布的参量型CFAR检测电路2. 非瑞利分布的参量型CFAR检测电路3. 非参量型CFAR检测电路1. 瑞利分布的参量型CFAR 检测电路若杂波干扰的概率密度分布已知,只需估计某些未知参量的情况,属于参量型处理方法.(a) 噪声电平恒定电路: 这是一种对接收机内部噪声电平进行恒虚警处理的电路.内部噪声由于温度,电源等因素而改变,它的变化是缓慢的,因此这种处理是慢门限恒虚警处理.中频放大器平滑滤波器取样检波器信号输入信号输出取样脉冲(b)对数单元平均恒虚警电路瑞利分布的密度函数为:如果引入新的变量y=x/σ,则通过归一化处理达到恒虚警的目的.由于瑞利分布的均值为故可以利用均值估计杂波强度σ]2exp[)(22σσxxx p -=]2exp[)(2yy y p -=σπ2=a∑=Ni ixN11检波及对数运算N/2N/2反对数输出+_+x 0对数单元平均CFAR 处理2. 非瑞利分布的参量型CFAR 检测电路(a) 对数-正态分布杂波CFAR 处理: 对于对数-正态分布和韦伯尔分布杂波进行恒虚警处理的原理与瑞利分布杂波处理方法相同,就是要对杂波分布进行归一化处理,使归一化后的新分布和输入杂波的强度无关.对数-正态分布的概率密度函数为:式中, 为的方差.采用对数接收机,令y=lnx,则]2)ln (ln exp[2)(22_____m mn x x xx p σσπ--=x ln m σ]2)(exp[2)(22__m mn y y xy p σσπ--=变量y 服从正态分布,下一步进行归一化处理,引入新变量:myy u σ__则得归一化正态函数为:]2exp[21)(2uu p n -=π(b)有序统计CFAR检测器: 又称为(OS-CFAR)检测器.在非均匀杂波背景下有良好得检测性能检波器N/2N/2参考单元排序x1>x2>…>xn 计较器输入输出x0OS-CFAR处理取出x(k)作为杂波功率估计Tk。
信号检测与估计知识点
信号检测与估计知识点一、知识概述《信号检测与估计知识点》①基本定义：信号检测与估计呢，简单说就是从一堆有干扰的数据里找到真正的信号，还得把这个信号的一些特征估摸出来。
就好比在很嘈杂的菜市场找朋友的声音（信号），还得判断朋友声音的大小之类的特征（估计）。
②重要程度：在通信、雷达、图像处理这些学科里超级重要。
就拿雷达来说，如果不能准确检测和估计信号，那根本就不知道飞机在哪呢，整个防空系统都得乱套。
③前置知识：得先知道概率论、随机过程这些基础知识。
不然，信号检测与估计里那些关于概率、随机变量啥的根本理解不了。
④应用价值：在通信领域，可以提升信号传输准确性；在医学上，检测病人的生理信号，像心电图啥的，估计其参数有助于诊断病情；在工业自动化里，对检测到的信号进行估计，能更好控制生产流程。
二、知识体系①知识图谱：信号检测与估计在信号处理这个大的学科里面是很核心的部分，就像心脏在人体里的位置一样重要。
②关联知识：和信号处理里的滤波、调制解调关系密切。
比如说滤波后的信号可能才更有利于检测和估计，而检测估计的结果可以反馈给调制解调改变参数。
③重难点分析：- 掌握难度：这个知识点有点难，难点在于要同时考虑到噪声和信号的混合情况，还得建立合适的模型。
按我的经验，很多时候分不清哪些是噪声干扰带来的变化，哪些是信号本身的特征。
- 关键点：把握好概率统计的方法，准确地建立信号模型是关键。
④考点分析：- 在考试中很重要，如果是在电子通信等相关专业的考试里，经常考。
- 考查方式可能是给一些含噪声的信号数据，让你进行检测和估计参数，也可能是叫你设计一个简单的信号检测方案。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 信号检测就是判断信号是否存在。
咱们看谍战片里的电台接收情报，接收员得判断接收到的微弱声音（可能包含信号和噪声）里是不是有真正要接收的情报信号，这就是信号检测。
- 信号估计是对信号的各种参数，像幅度、相位等进行估计。
好比知道有信号了，还得估摸这个信号是多强、频率是多少之类的。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
信号检测习题解答all
第一章习题1.1 在例1.2中，设噪声均方差电压值为2V σ=，代价为21m f c c ==。
信号存在的先验概率0.2p =。
试确定贝叶斯意义下最佳门限β。
并计算出相应的平均风险。
解：001()0.828()0.2p H cf cm p H β=⋅=⨯=，由式（1-18）有，14ln 88.822V β=+=由教材式（1-20）、（1-21）可得平均风险：22110010101088()()((()|)()|)0.210.2() 1.6()220.2m f x x H H H D H H D H r p r p r p p c p p c e dx e dxerfc ββββ--⋅⋅=+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⎰⎰-=⋅Φ+⋅=1.3 只用一次观测x 来对下面两个假设做选择，0H ：样本x 为零均值、方差20σ的高斯变量，1H ：样本x 为零均值、方差为21σ的高斯变量，且2210σσ>。
（1）根据观察结果x ，确定判决区域0D 和1D 。
（2）画出似然比接受机框图。
1H 为真而选择了0H 的概率如何？ 解：由于ijc ，()jH p 未知，因而选择MAP （最大后验）准则：0H：22002(|)x p x H eσ-⋅=1H：22112(|)x p x H eσ-⋅=2221011()20101(|)()(|)x p x H x ep x H σσσσ--Λ==⋅01Λ=∴当0()x Λ≥Λ，即1220112221102[()ln ]x σσσσσσ≥-时，作1D 判决；当0()x Λ<Λ时，即1220112221102[()ln ]x σσσσσσ<-时，作0D 判决。
（2）似然机接收框图如下：所以，判决1H 为真而选择了0H 的概率为：2212200011000012111(|)(|)[][]x y x xp D H p x H dx edxx x x x x e dy erfc erfc σσσ-⋅-==⎰⎰--==--⎰其中：12212022000112[()ln ]x σσσσσσ=- 1.4 设计一个似然比检验，对下面两个假设做选择。
信号检测与估计理论(复习题解)
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方 法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法， 它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模 型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数 据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差 平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过 求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非 线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声 较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参 考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多 径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号 是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接 收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法
信号检测与估计复习纲要与习题参考答案_2012
2011《信号检测与估计》复习纲要“信号检测与估计”理论是现代信息科学的一个重要组成部分，它是把所要处理的问题，归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论”、“随机过程”、“数理统计”等数学工具→以普遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括：● 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声的数学工具● 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise)● 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中，通过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题(Estimation of Signal Parameters)● 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题(Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 ● 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 ● 参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程信号处理否估计量LSE经典方法贝叶斯方法如何选择一个检测器－二元信号检测如何选择一个检测器－多元信号检测*注：ARMA：自回归滑动平均BLUE：最佳线性无偏估计CFAR：恒虚警率CRLB ：Cramer-Rao下限EM：数学期望最大化GLRT：广义似然比检验IID：独立同分布LLR：对数似然比LMMSE：线性最小均方误差LMP：局部最大势LRT：似然比检验LSE：最小二乘估计LSI：线性时不变MAP：最大后验概率MLE：最大似然估计MMSE：最小均方误差估计MVU：最小方差无偏NP：Neyman-Pearson准则PRN：伪随机噪声RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe定理ROC:接收机工作特性UMP：一致最大势WGN：白色高斯噪声WSS：广义平稳2011《信号检测与估计》复习参考题参数估计部分：1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。
信号检测与估计简答题集
3一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计简答题集
一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计作业参考(电子科大)
对于两种假设下的条件概率密度函数为
则似然比
p(x | H0) =
1 2π σ
e−
x2 2σ 2
;
p(x
|
H1)
=
1
e−
(
x −1)2 2σ 2
2π σ
有贝叶斯准则得
Λ(x) =
p(x | H1)
2 x−1
= e 2σ 2
p(x | H0)
Λ0 =
p(H0 ) ⋅ c10 − c00 p(H1) c01 − c11
4
（2）与 β 相应的各假设先验概率。
解：
(1)求判决门限 β ：
由题设可得相应假设的似然函数 p(x | H1) 和 p(x | H0 )
⎧
⎪ ⎪
p(
x
|
H1
)
=
⎨
⎪ ⎪⎩
p(
x
|
H
0
)
=
1
− ( x−1)2
e 2σ 2
2π σ
1
− x2
e 2σ 2
2π σ
则相应的似然比为
Λ(x) =
p(x | H1)
(2)相应的检测概率 P(D1|H1) .
解：
（1）求最佳判决门限 β
单个样本所对应的似然函数为：
p(xi | H0 ) =
1 2π σ
− xi2
e 2σ 2
;
p( xi
|
H1)
=
1
− ( xi −2)2
e 2σ 2
2π σ
由于样本相互独立且服从正态分布，则可得此时依据 M 个独立样本所得似然函数为：
>
1 2
《信号检测与估计》第九章习题解答
《信号检测与估计》第九章习题解答9.1 接收信号(((t n t A t x ++=θω0sin ,其中(t n 是高斯白噪声,θ在(π20,均匀分布,现在需求振幅A 的最大似然估计量。
由于θ的先验知识已知,故可先对θ求平均得到(A x f ,试问要求振幅A 的最大似然估计量必须解什么样的方程? 解:接收信号(t x 的似然函数为((([]((((((((⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−−+++−−+−−∫∫∫∫∫===T TT TTdt t A dt t t x A dt t x N dtt A t t Ax t xN dtt A t x N FeFeFeA x f 0002200200022020200sin sin 21sin sin 21sin 1,θωθωθωθωθωθ由于(((∫=+−=∫+TTT dt t dt t 0000222cos 121sin θωθω,得到 ((((020000202sin 21,N TA dt t t x N A dtt x N e eFeA x f T T−+−∫∫=θωθ对θ积分,得到(((((((((θπθπθθθπθωθωπθωπd eeFed e e Fed f A x f A x f dt t t t x N A N T A dt t x N dt t t x N A N T A dt t x N T TTT∫∫∫∫∫∫∫+−−+−−===20cos cos sin sin 22120sin 221 2000000202000020202121,令(ϕωcos cos 00z dt t t x x Tc ==∫,(ϕωsin sin 00z dt t t x x T s ==∫,得到222s cx x z +=,csx x arctg =ϕ (((((⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====∫∫∫∫∫−+++0020cos 220cos cos sin sin 220cos sin 220 cos cos sin sin 22212121210 000N Az I d ed ed e d eN Azz z N Ax x N Adt t t t x N A c s Tθπθπθπθππϕθπθϕθϕπθθπθωθω 上式中,[](cos exp 21020x I d x =∫πθθπ为零阶修正贝塞尔函数。
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
信号与系统课后答案8
故得零状态响应为
1 3 y f (k ) = [2(2)k + (−1) k − (1) k ]U (k ) 2 2
故又得全响应为
1 3 y (k ) = yx (k ) + y f (k ) = [2(2) k − (−1) k ]U (k + 2) + [2(2)k + (−1)k − (1)k ]U (k ) 2 2
第八章 习 题
8.1 求长度为 N 的斜坡序列
k , RN (k ) = 0,
0 ≤ k ≤ N −1 k < 0, k ≥ N
的 z 变换 RN ( z ) ，并求 N = 4 时的 RN ( z ) (见图题 81)。
R N (k )
L
答案
解 方法一
设GN (k ) = U (k ) − U (k − N ), 则 RN (k ) = kGN (k )
答案
解
(1)
F ( z ) = z1 [
z +1 1 3 1 3 ( z − 1)( z − − j )( z − + j ) 2 2 2 2 2z z z = −[ + ] π π j −j z −1 z−e 3 z−e 3
] = z[
2 + z −1
−1 1 3 z− − j 2 2
+
−1 1 3 z− + j 2 2
∞
z <
1 2
（3） F ( z ) =
z z− 1 4
−
z z− 2 3
=
−5 z , 1 2 12( z − )( z − ) 4 3
z >
2 3
1 2 极点P , P2 = ; 零点z1 = 0。 1 = 4 3
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
信号检测与估值--给大家的答案
故有
所以
2．设观测到的信号为
其中 是方差为 、均值为零的高斯白噪声。如果 服从瑞利分布，即
求 的最大后验概率估计 。
解：
根据题意， ，所以
，
且
所以 ，解得：
因为
所以
3．给定 ， 是零均值、方差为1的随即变量
（1）求 的最大似然估计 。
（2）对下列 求最大后验概率估计
解：
（1）根据题意， ，所以
又当 时，根据判决表示式
，
解得 时，判决表示式为
，判决假设 成立
，判决假设 成立
而根据判决表示式
解得 时，判决表示式为
，判决假设 成立
，判决假设 成立
这样，判决表示式为
，
，
又由于 都是以纵坐标为对称的函数，所以
2）当约束 时，采用奈曼-皮尔逊准则，也分两种情况进行讨论。
一、当 时，始终判决假设 成立，所以 ，不满足约束条件 ，不存在奈曼-皮尔逊准则。
化简得判决表示式
2）若似然比检验门限 =1，则判决表示式为
所以，判决概率 为
判决概率 为
二、当 时，判决域的划分如题图（a）所示。如果取 ，则 。
这时判决概率
满足约束条件。
判决概率
5．设观测信号在两个假设下的概率密度函数 分别如下图所示
1）若似然比检验门限为 ，求贝叶斯判决表达式。
2）如果 。
解：
1）假设H0下观测信号的概率密度函数为
假设H1下观测信号的概率密度函数为
于是，似然比检验为
（2）根据题意， ， ，
因此
4．考虑一个假设检验问题，已知
1）设 若 ，试求 。
2）设 ，试建立奈曼-皮尔逊准则。
信号检测与估计-习题讲解
T
0
Bx (t ) sin 2 t dt
1 T 1 2 x t A t dt 因 此 ， p (x H 1 ) F exp ( ) cos 1 0 2 N0 B 2T 2 2 T B x t t dt exp exp ( ) sin 2 d 0 0 2N0 N0 1 1 p (x H 0 ) F exp 2 N0
答：（1）其匹配滤波器的冲激相应为： ka h0 (t ) ks(T t ) 0 传输函数: 0t T 其他
sin T / 2 jT e T / 2 ka 2t 0t T 2 输出信号波形：so (t ) s(t )* h0 (t ) ka (2T t ) T t 2T 0 其他 H ( ) kS * ( )e jT kaT 输出峰值信噪比：SNR max Es 2a 2T Pn N0
cos t cos tdt cos t sin tdt 0
0 1 2 0 1 2
T
T
证明：最佳接收机可用 x(t)cos1tdt作为检验统计量并对此加以讨论。
0
T
答：最佳接收机的表达式为： p(x H1) H1 0。其中，x为向量， l x(t) p(x H0 ) H0 1 2 p(x H1) p(x H1 ,)d 2 0 1 T 1 2 2 F exp x(t) Acos1t B cos(2t ) dt d 0 2 0 N0 1 2 p(x H0 ) p(x H0 ,)d 2 0 1 T 1 2 2 F exp x(t) B cos(2t ) dt d 0 2 0 N0
西工大研究生《信号估值与检测》习题
1． 令观测样本由1(,....)i ix s w i n =+=给出，其中{}i w 是一高斯白噪声，其均值为零，方差为1。
假定s的先验概率密度为22())s f a a =-试用平方和均匀代价函数分别求s 的贝叶斯估计。
解：2()(|))2i i x s p x s -=-，1,...,i n =222111()()1(|)(|))()exp()222n n n ni ii i i i x s x s p s p x s π===--==-=-∑∏x且12221()()exp(2)2p s s s π=-=-（1） 采用平方代价函数，相应贝叶斯估计为最小均方误差估计mse s[|](|)mse sE s sp s ds +∞-∞==⎰x x21222121221222112221112()(|)()111(|)()exp()()exp(2)()()222()11()exp(2)()22(2)11()exp()()22(1)211()exp()exp(()22n ni i n ni i nn ii i nn i i i i x s p s p s p s s p p x s s p xx s s s p x n s x s p πππππ=+=+=+==-==---=---++=-+-=--∑∑∑∑x x x x x x x 221112222211112)2(1)(2)111()exp()exp()()222()(())1111()exp()exp()1()222(1)nnnin ii i nnni i n ii i i x xn s s n p x x x s n n p n ππ+==+===+-+=----++--+∑∑∑∑∑∑x x 分析(|)p s x ，发现其为高斯型的；而mse s为其条件均值，因此可以直接得到 1()1ni mse i x s n ==+∑ （2） 采用均方代价函数，相应贝叶斯估计为最大后验估计map sln((|))|0map p s s ss∂==∂x ，也即满足 ln((|))ln(())[]|0map p s p s s ss s∂∂+==∂∂x 故有1()0nmapmap ii x ss=--=∑ 所以111n map i i s x n ==+∑2． 设观测到的信号为x n =θ+其中n 是方差为2n σ、均值为零的高斯白噪声。
信号检测估计复习资料
第二章随机信号及其统计描述1.两个随机过程不相关一定独立。
（）2.严格的平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。
（）3.平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换。
（）4.白噪声是一种理想化模型，在实际中是不存在的。
（）5.功率谱密度是样本函数x在单位频带内在1欧姆电阻上的平均功率值。
（）6.加性噪声按功率谱密度分为（）噪声和（）噪声。
7.有色噪声的功率谱密度在频率范围内是均匀分布的。
（）8.对于白噪声下面哪个量是均匀分布的（）。
A.噪声电压B.噪声电流C.噪声功率D.噪声功率谱密度9.在信号检测与估计理论中，通信接收机中的噪声可以近似为平稳随机过程。
（）第三章经典检测理论1.什么是二元检测，其本质是什么？画出其理论模型。
2.二元检测中有两类错误的判决概率，两类正确判决概率。
( )3.下面哪种概率是虚警概率（）。
A．P（D0|H0）B．P（D1|H0）C.P（D1|H1）D. P（D0|H1）4.二元检测中有先验概率和后验概率，P（H0）是（）概率，P（H0|x）是（）概率。
5.下面哪个为后验概率密度函数（）。
A.f(x|H0)B.f(x|H1,a)C.f(a|x)D.f(a)6.经典检测理论中常用的4个检测准则分别为（）、（）、（）和（）。
7.最大后验概率准则和最小错误概率准则判决公式是不同的。
（）8.最大后验概率准则为何称为理想观测者准则？9.极大极小风险准则是在先验概率未知的情况下，使可能出现的最大风险达到极小的判别准则。
（）10.Neyman-Pearson准则规定，在给定( )概率情况下，使得（）概率尽可能大。
11.最大后验估计和最大似然估计的使用条件。
12.下面哪种判决准则是时平均风险最小的准则（）。
A.最大后验概率准则B.最小错误概率准则C.Bayes准则D.Neyman-Pearson准则13.当先验概率未知和代价函数均未知时，使用的判决准则是Neyman-Pearson准则。
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y10 = 15 代入上式，得
N
NN
∑∑ ∑∑ ∑ β
=
N xi yi − xi yi
i =1
i =1 i =1
N
N i =1
xi2
−
⎜⎛ ⎜⎝
N i =1
xi
⎟⎞2 ⎟⎠
= 10 × 476 − 55 × 64 10 × 385 − 55 × 55
=
248 165
N
N
∑ ∑ α
=
i =1
yi
−β
i =1
解：略
8.6 设观测量 z = x + v ， v 是均值为零，方差为 1 的高斯随机变量。 2
-2-
《信号检测与估计》习题解答
1）求 x 的最大似然估计。
⎧0
2）若已知
x
的概率密度为
f
(t )
=
⎪ ⎨1 ⎪⎩ 4
−x
e4
x>0 ，求 x 的最大后验估计。
x<0
解：略
8.7 已知一个平稳高斯过程的 N 个独立样本 zi, i = 1,2,LN 。
8.2 令观测样本由
xi = s + ωi (i = 1，L，N )
给定，其中 ωi 是一个零均值的高斯白噪声，其方差为 1。证明：s 的极大似然估计是无偏的和一致 的。
解：设观测矢量为 x = [x1, x2,L, xN ]T ，则其联合概率密度函数为
( ) ( ) f x s =
1
∑ ， −
e
1 2
⎟⎞2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
[ ] lim E (sˆ − s)2
n→∞
=
lim
n→∞
1 N2
E ⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
N
∑ ωi
i =1
⎟⎞2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
0
得到 s 的极大似然估计量为一致估计量
8.3 设接收波形为
y(t) = a cos(2πfct + ϕ ) + n(t)
( ) 其中， n(t) 是高斯白噪声 N
=
1 N
N
∑ xi
i =1
即
s
的极大似然估计量为 sˆ
=
1 N
N
∑ xi
i =1
由于
E[sˆ] =
E ⎢⎣⎡
1 N
N
∑ xi
i =1
⎤ ⎥⎦
=
E
⎡ ⎢⎣
1 N
N
∑
(s
i =1
+ ωi )⎥⎦⎤
=
E ⎢⎣⎡s
+
1 N
N
∑ ωi
i =1
⎤ ⎥⎦
=
s
+
1 N
N
∑
E[ωi
]
=
i =1
s
得到 s 的极大似然估计量为无偏估计量
N
NN
∑ ∑ ∑ N xi yi − xi yi
β=
i =1
i =1 i =1
∑ ∑ N
N i =1
xi2
−
⎜⎛ ⎜⎝
N i =1
xi
⎟⎞2 ⎟⎠
将 xi = i(i = 1,L,10) ；y1 = 1，y2 = 2 ，y3 = 1 ，y4 = 4 ，y5 = 6 ，y6 = 6 ，y7 = 8 ，y8 = 9 ，y9 = 12 ，
N i =1
(xi
− s )2
2π N
( ) ln
f
xs
= − N ln 2π 2
−
−
1 2
N
∑
(xi
i =1
−
s)2
( ( )) ( ) ( ) ∂ ln f x s ∂s
N
s=sˆ = ∑ xi − s
i =1
s = sˆ =
0，
N
∑
xi
−s
i =1
N
s =sˆ = ∑ xi
i =1
− Ns
s=sˆ = 0 ， sˆ
xi
=
64 − 248 × 55 165
= − 28
N
10
5
8.5 已知观测信号为 y(t) = s(t，α ) + n(t) 0 ≤ t ≤ T ，假定信号形式已知， n(t) 为高斯白噪声。
1）求α 的最大似然估计方程。
2）若 s(t，A) = As(t) ，求 A 的最大似然估计及估计的均值与方差。
0，σ
2 n
。求参数 a 和 ϕ 的无偏估计量的克拉美—罗限。
解：略
8.4 观测样本 yi = α + βxi + ni i = 1,L,10 彼此独立。已知 xi = i, i = 1,L,10 ； y1 = 1， y2 = 2 ，
-1-
《信号检测与估计》习题解答
y3 = 1 ， y4 = 4 ， y5 = 6 ， y6 = 6 ， y7 = 8 ， y8 = 9 ， y9 = 12 ， y10 = 15 ，求对于 α 及 β 的最小二 乘估计。 解：根据最小二乘法原理可得
由于
[ ] E (sˆ − s)2
= E⎢⎡⎜⎛ 1 ⎢⎣⎝ N
N
∑ xi
i =1
−
s
⎟⎞2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
E ⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
1 N
N
∑
(s
i =1
+
ωi
)
−
s
⎟⎞2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
E ⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
1 N
N
∑ ωi
i =1
⎟⎞2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 N2
E
⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
N
∑ ωi
i =1
∑ 1）已知样本的方差为 σ
2
，证明均值的极大似然估计量为
μˆ
=
1 N
N i =1
zi
。估计是无偏的吗？是
有效的吗？求估计方差。
∑ 2）已知样本的均值为 μ
，证明方差的极大似然估计量为 σˆ 2
=
1 N
N
(zi
i =1
− μ )2
。估计是无偏的吗？
是有效的吗？求估计方差。 解：略
-3-
i =1 N
[yi − (α + βxi )]xi =
i =1
0
∑ ∑ ⎧ N
N
−β
N
i =1
xi
=0
N
∑ ∑ ∑ ⎪
⎪
xi yi − α
xi − β
xi2 = 0
⎩ i =1
i =1
i =1
由于第一式得
N
N
∑ ∑ yi − β xi
α = i=1
i =1
N
代入第二式得
N
∑[yi − (α + βxi )]2 = min
i =1
对于 α 、 β 求导并令其为零，得
⎧
∑ ∑ ⎪
⎪ ⎨ ⎪
∑ ∑ ⎪⎩
N
i =1 N
i =1
[yi [yi
− −
(α (α
+ +
βxi βxi
)] )]
∂(α + βxi
∂α
∂(α + βxi
∂β
) )
= =
N
[yi − (α + βxi )] = 0
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第八章习题解答
8.1 令观测样本由
xi = s + ωi (i = 1，L，N )
给定，其中 ωi 是一个零均值的高斯白噪声，其方差为 1。假定 s 的先验概率密度为
f (a) =
1
− a2
e2
2π
试对二次和均匀代价函数分别求 s 的 Bayes 估计。
解：略