第27节 图形的旋转与中心对称
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①②③
17． 如图， 将等腰△ABC绕 顶 点B逆时针 方向旋转α度到△A1BC1的位置， AB与A1C1相交于点D， AC与A1C1， BC1分别交于点E， F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α度时， 判定四边形A1BCE的形状， 并说明理由；
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C， 由旋转知A1B＝AB＝BC， ∠A＝∠A1＝∠C， ∠A1BD＝∠CBC1， 可证△BCF≌△BA1D(ASA)
为( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3
4．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转 90°后，得到的图形为( )
A
A
6．(2017·泰安)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针 旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( ) C
A．30° B．60° C．90° D．120°
毕节地区
第27节 图形的旋转与中心对称
数学
【例1】(1)下列两个字母成中心对称的是( )B
(2)(2017·深圳)观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是( D
)
【例2】(1)(2017·菏泽)如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°， 得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( ) C
(2)四边形A1BCE是菱形， 理由： 由旋转知∠A1＝∠A， ∵∠ADE＝∠A1DB， ∴∠AED＝∠A1BD＝α， ∴∠DEC＝180°－α， ∵∠C＝α， ∴∠A1＝α， ∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α， ∴∠A1＝∠C， ∠A1BC＝∠A1EC， ∴四边形A1BCE是平行四边形， 又∵A1B＝BC， ∴四边形A1BCE是菱形
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10．(2017·安顺)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面绕点 C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC＝12 cm，则顶点A从开始到结 束所经过的路径长为____cm1.6π
11．(2017·山西)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B( －1，1)，C(－2，2)，将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B， C的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到 △A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为 ．
B
8．(2017·毕节)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且 ∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列 判断不正确的是(D ) A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE′ C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形
A
A．55° B．60° C．65° D．70°
C
1．(2017·济宁)下列图形中是中心对称图形的是( C)
2．(2016·铜仁)如A 图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．(2017·泸州)已知点A(a，1)与点B(－4，b)关于原点对称，则a＋b的值 C
19．(2017·安顺模拟)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图 B
形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是( ) B
21．如图， 在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，
(6，0)
12．(2017·眉山)△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC 以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC的旋转的最小角 度是12_0_°__．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条 直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时， 则阴影部分的面积为____．
12
14．(2017·黄冈)如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕 顶 点O， 按顺时 针 方向旋转到△A1OB1处 ， 此时线 段OB1与 AB的交点D恰好为AB的中点， 则 线 段B1D1＝.5 ____ cm.
15．(导学号 78324053)如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线 ．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE 交AC于点F，连接FG.则下列结论： ①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG ＝1.5，其中正确的结论是____．
18．(2017·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格 点上，点A的坐标(2，2)，请回答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴 对 称的△A1B1C1， 并写出A1的坐标； (2)画出△ABC绕 点B逆时针 旋转90°后得到的△A2B2C2， 并写出A2的坐标； (3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3， 并写出A3的坐标．
则点P的坐标为
(1，－．1)
22．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格 点上)：
(1)把△ABC沿BA方向平移， 请 在网格中画出当点A移动到点A1时 的 △A1B1C1；
(2)把△A1B1C1绕 点A1按逆时针 方向旋转90°后得到△A2B2C2， 如果网格中 小正方形的边长 为 1， 求点B1旋转到B2的路径长．
解：(1)画出△ABC关于y轴 对 称的△A1B1C1， 如图所示， 此时A1的坐标为 ( －2，2) (2)画出△ABC绕 点B逆时针 旋转90°后得到的△A2B2C2， 如图所示， 此时A2 的坐标为(4，0) (3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3， 如图所示， 此时A3的坐 标为(－4，0)
17． 如图， 将等腰△ABC绕 顶 点B逆时针 方向旋转α度到△A1BC1的位置， AB与A1C1相交于点D， AC与A1C1， BC1分别交于点E， F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α度时， 判定四边形A1BCE的形状， 并说明理由；
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C， 由旋转知A1B＝AB＝BC， ∠A＝∠A1＝∠C， ∠A1BD＝∠CBC1， 可证△BCF≌△BA1D(ASA)
为( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3
4．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转 90°后，得到的图形为( )
A
A
6．(2017·泰安)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针 旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( ) C
A．30° B．60° C．90° D．120°
毕节地区
第27节 图形的旋转与中心对称
数学
【例1】(1)下列两个字母成中心对称的是( )B
(2)(2017·深圳)观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是( D
)
【例2】(1)(2017·菏泽)如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°， 得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( ) C
(2)四边形A1BCE是菱形， 理由： 由旋转知∠A1＝∠A， ∵∠ADE＝∠A1DB， ∴∠AED＝∠A1BD＝α， ∴∠DEC＝180°－α， ∵∠C＝α， ∴∠A1＝α， ∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α， ∴∠A1＝∠C， ∠A1BC＝∠A1EC， ∴四边形A1BCE是平行四边形， 又∵A1B＝BC， ∴四边形A1BCE是菱形
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10．(2017·安顺)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面绕点 C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC＝12 cm，则顶点A从开始到结 束所经过的路径长为____cm1.6π
11．(2017·山西)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B( －1，1)，C(－2，2)，将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B， C的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到 △A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为 ．
B
8．(2017·毕节)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且 ∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列 判断不正确的是(D ) A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE′ C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形
A
A．55° B．60° C．65° D．70°
C
1．(2017·济宁)下列图形中是中心对称图形的是( C)
2．(2016·铜仁)如A 图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．(2017·泸州)已知点A(a，1)与点B(－4，b)关于原点对称，则a＋b的值 C
19．(2017·安顺模拟)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图 B
形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是( ) B
21．如图， 在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，
(6，0)
12．(2017·眉山)△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC 以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC的旋转的最小角 度是12_0_°__．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条 直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时， 则阴影部分的面积为____．
12
14．(2017·黄冈)如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕 顶 点O， 按顺时 针 方向旋转到△A1OB1处 ， 此时线 段OB1与 AB的交点D恰好为AB的中点， 则 线 段B1D1＝.5 ____ cm.
15．(导学号 78324053)如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线 ．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE 交AC于点F，连接FG.则下列结论： ①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG ＝1.5，其中正确的结论是____．
18．(2017·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格 点上，点A的坐标(2，2)，请回答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴 对 称的△A1B1C1， 并写出A1的坐标； (2)画出△ABC绕 点B逆时针 旋转90°后得到的△A2B2C2， 并写出A2的坐标； (3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3， 并写出A3的坐标．
则点P的坐标为
(1，－．1)
22．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格 点上)：
(1)把△ABC沿BA方向平移， 请 在网格中画出当点A移动到点A1时 的 △A1B1C1；
(2)把△A1B1C1绕 点A1按逆时针 方向旋转90°后得到△A2B2C2， 如果网格中 小正方形的边长 为 1， 求点B1旋转到B2的路径长．
解：(1)画出△ABC关于y轴 对 称的△A1B1C1， 如图所示， 此时A1的坐标为 ( －2，2) (2)画出△ABC绕 点B逆时针 旋转90°后得到的△A2B2C2， 如图所示， 此时A2 的坐标为(4，0) (3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3， 如图所示， 此时A3的坐 标为(－4，0)