一元函数与二元函数求极限方法异同
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本文主要讨论了一元函数与二元函数求极限的 各种方法，并对二者的异同做了比较。
二、预备知识
1、一元函数极限的相关知识
[1]洛必达(L 'Hopital)法则是分子分母在一定 条件下通过分别求导再求极限来确定未定 式值的方法。
[2]Stolz定理: 数列收敛于,则其前项的算术平 均数收敛，并且也收敛于。若数列的每一 项都是正的，则还有其前项的几何平均数 也也收敛于。
，恒有
f
(x) U (A, )
[2] 海涅定理：海涅(Heine-Borel)定理 （有限覆盖定理）：设 是 中有界闭区间，则 的任何开覆盖存在有限子覆盖。
[3] 极坐标变换:对于平面内任何一点 M ，用 表示线段 OM 的长度， 表示从Ox 到 OM 的角度， 叫做点M 的极径，叫做点 M 的极角，有序 数对 (,)就叫点 M 的极坐标，这样建立的坐标 系叫做极坐标系。
2
x
用洛必塔法则
lim ln
x
y
lim
x
x[ x ln (1
1) x
1]
lim
x
x ln (1 1
1) 1 x
x
令
t
1 x
lim
t 0
1 ln (1 t ) t t
t
lim
t
ln (1 t ) t t2
1 2
lim
e x (1
x kx x2 k 2x2 1 k
x0
x y
x0
x kx
1 k
y0
极限与
k
有关。或设
x
y
cos sin
（ 为变量， 为
参数）
与 有关 lim lim
x y x2 y2
(cos sin ) 2 cos sin
[ 3 ]积分法：积分法是通过磁异常的积分运算 求得磁性体产状的定量解释推断方法
2.二元函数极限的相关知识
[1] 二 元 函 数 极 限 的 定 义 : 0 ， 0 ， 使 当
0 x x0 时，恒有 f (x) A ，或
0，
wk.baidu.com
0
，当
0
x U (x0, )
1 )2
1
e2
x
x
2
.求二元函数极限的一些方法
求二元函数极限的方法一般选择极 坐 标 变 换，也可以选择洛必达法则,二元函数极限的 定义、海因定理。
利用极坐标变换
例：求 lim x y x2 y 2
x0
x y
y0
解：设 则 ， y kx
lim lim x y x2 y2
x0
x y
0 (cos sin )
cos sin
y0
原式不存在极限
四、总结
本文主要讨论了一元函数与二元函数求 极限常用的几种方法，发现在二者之间有 些方法在一定条件下，二者都适用，譬如， 洛比塔法则。洛必塔法则是求一元函数极 限的主要方法，要把该法则在多元函数中 推广，是需要一些技巧辅助方法的；
二元函数极限的求法要比一元函数极限求 法复杂得多，极坐标变换法是求二元函数 极限的主要方法之一，虽然利用定义法求 二重极限使计算过程较复杂化，但它也是 我们常用的方法之一。
结果表明，洛必塔法则是求一元函数极限的主 要方法，且可在某些情况下向二元函数推广； 而极坐标变换法则是求二元函数极限的主要方 法之一。
三、一元与二元函数求极限方法之 异同
1.一元函数极限的若干求法
求一元函数极限的方法一般选择洛必塔 法则，也可以选择S t o l z定理、积分法或其 他方法。
洛必达法则 例： 求极限
lim e x (1 1 ) x 2
x
x
解：令 ，取对数 y ex (1 1)x2
ln y x2 ln(1 1 ) x
一元函数与二元函数求极限方法异同
指导教师：王继红 姓 名：玉素甫江·吾买尔 专 业：数学与应用数学 学 号：2008010210
一、 引言
作为研究函数最基本的方法——极限思想， 早在古代就有比较清楚的描述，我国魏晋时期 杰出的数学家刘徽于公元263年创立了“割圆 术”，正是使用了极限思想。
近年来许多专家学者对函数极限的计算方法作 了研究，并取得了一定的突破。众所周知常见 的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、 洛必达法则等，但实际在求极限时并不是依靠 单一方法，而是把多种方法加以综合运用。
谢谢！大家！
二、预备知识
1、一元函数极限的相关知识
[1]洛必达(L 'Hopital)法则是分子分母在一定 条件下通过分别求导再求极限来确定未定 式值的方法。
[2]Stolz定理: 数列收敛于,则其前项的算术平 均数收敛，并且也收敛于。若数列的每一 项都是正的，则还有其前项的几何平均数 也也收敛于。
，恒有
f
(x) U (A, )
[2] 海涅定理：海涅(Heine-Borel)定理 （有限覆盖定理）：设 是 中有界闭区间，则 的任何开覆盖存在有限子覆盖。
[3] 极坐标变换:对于平面内任何一点 M ，用 表示线段 OM 的长度， 表示从Ox 到 OM 的角度， 叫做点M 的极径，叫做点 M 的极角，有序 数对 (,)就叫点 M 的极坐标，这样建立的坐标 系叫做极坐标系。
2
x
用洛必塔法则
lim ln
x
y
lim
x
x[ x ln (1
1) x
1]
lim
x
x ln (1 1
1) 1 x
x
令
t
1 x
lim
t 0
1 ln (1 t ) t t
t
lim
t
ln (1 t ) t t2
1 2
lim
e x (1
x kx x2 k 2x2 1 k
x0
x y
x0
x kx
1 k
y0
极限与
k
有关。或设
x
y
cos sin
（ 为变量， 为
参数）
与 有关 lim lim
x y x2 y2
(cos sin ) 2 cos sin
[ 3 ]积分法：积分法是通过磁异常的积分运算 求得磁性体产状的定量解释推断方法
2.二元函数极限的相关知识
[1] 二 元 函 数 极 限 的 定 义 : 0 ， 0 ， 使 当
0 x x0 时，恒有 f (x) A ，或
0，
wk.baidu.com
0
，当
0
x U (x0, )
1 )2
1
e2
x
x
2
.求二元函数极限的一些方法
求二元函数极限的方法一般选择极 坐 标 变 换，也可以选择洛必达法则,二元函数极限的 定义、海因定理。
利用极坐标变换
例：求 lim x y x2 y 2
x0
x y
y0
解：设 则 ， y kx
lim lim x y x2 y2
x0
x y
0 (cos sin )
cos sin
y0
原式不存在极限
四、总结
本文主要讨论了一元函数与二元函数求 极限常用的几种方法，发现在二者之间有 些方法在一定条件下，二者都适用，譬如， 洛比塔法则。洛必塔法则是求一元函数极 限的主要方法，要把该法则在多元函数中 推广，是需要一些技巧辅助方法的；
二元函数极限的求法要比一元函数极限求 法复杂得多，极坐标变换法是求二元函数 极限的主要方法之一，虽然利用定义法求 二重极限使计算过程较复杂化，但它也是 我们常用的方法之一。
结果表明，洛必塔法则是求一元函数极限的主 要方法，且可在某些情况下向二元函数推广； 而极坐标变换法则是求二元函数极限的主要方 法之一。
三、一元与二元函数求极限方法之 异同
1.一元函数极限的若干求法
求一元函数极限的方法一般选择洛必塔 法则，也可以选择S t o l z定理、积分法或其 他方法。
洛必达法则 例： 求极限
lim e x (1 1 ) x 2
x
x
解：令 ，取对数 y ex (1 1)x2
ln y x2 ln(1 1 ) x
一元函数与二元函数求极限方法异同
指导教师：王继红 姓 名：玉素甫江·吾买尔 专 业：数学与应用数学 学 号：2008010210
一、 引言
作为研究函数最基本的方法——极限思想， 早在古代就有比较清楚的描述，我国魏晋时期 杰出的数学家刘徽于公元263年创立了“割圆 术”，正是使用了极限思想。
近年来许多专家学者对函数极限的计算方法作 了研究，并取得了一定的突破。众所周知常见 的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、 洛必达法则等，但实际在求极限时并不是依靠 单一方法，而是把多种方法加以综合运用。
谢谢！大家！