清华大学断裂力学讲义ch6复合型断裂判据

裂纹偏折总的趋势是要形成纯 I 型扩展，裂纹初始扩展情况下并未 让 II 型应力强度因子立刻消失，而是通过逐渐偏折形成 I 型扩展。
最大环向拉应力强度因子理论——判断何时起裂
根据最大环向拉应力相等原则
KI 3 cos 1 cos 3 2r 4 2 4 2
KII 3 sin 3 sin 3 2r 4 2 4 2
第六章 复合型断裂判据— 判断裂纹起裂和拐弯
先前的工作都假设裂纹始终沿裂纹面直线扩展，事实上裂 纹是会拐弯的。有三种理论可以判断裂纹扩展的角度
1. 最大环向拉应力强度因子理论
2. 最大能量释放率理论
3. 最小应变能密度强度因子理论？？？
裂纹混合类型分类 ✓ 纯 I 型裂纹沿裂纹平面延长线呈直线扩展 ✓ 纯 III 型裂纹沿裂纹平面延长线呈直线扩展 ✓ 所以 I 型和 III 型混合裂纹仍沿裂纹平面延长线呈直线
r
KI 3 cos 1 cos 3 KII 3 sin 3 sin 3 2r 4 2 4 2 2r 4 2 4 2 KI 1 sin 1 sin 3 KII 1 cos 3 cos 3 2r 4 2 4 2 2r 4 2 4 2
最大环向拉应力要求
纯I型： 3 cos 1 cos 3 4 2 4 2
纯II型： 3 sin 3 sin 3 4 2 4 2
KIIc
3 2 KIc
【题 6-2】推导 I 型和 II 型混合裂纹的断裂准则 Kmax KI , KII Kc KIc
最大环向拉应力准则的不足： 最大拉应力理论认为只要一个应力分量达到最大值，构件 就发生破坏，从原则上说，当其他应力分量也与这个应力 分量差不多大时，这个理论就可能产生较大的误差。
K I0
＝> lim
a 0
xy
r
0
K II0
无限短支裂纹的应力强度因子
KI
0
1 2
cos0
2
K I
1
cos0
3K II
sin0
K II 0
1 2
cos0
2
K I
sin0
K II
3cos0
1
代
入
G
K
2 I
K
2 II
E
，得原裂纹沿
0 方向扩展的能量释放率。
G 0
K
2 I0
K2 II 0
E
然后确定开裂角，
G0
K
2 I
K
2 II
E
该式推导利用了裂纹微量扩展
时的裂尖场的相似性。
类似的？？？，支裂纹的能量释
放率为
G
K
2 I
K
2 II
E
严格说，当有最初的微量支裂纹
产生时，这种相似性不再严格成
立，因此上式计算支裂纹的能量释放率只是近似，其他的能量释放
率计算将预测与最大环向应力准则可能不同的方向。
最小应变能密度强度因子理论？？？
4 2 4 2
纯 II 型裂纹在 70.5产生最大环向应力, 如何理解记忆?
最大环向拉应力强度因子理论——开裂角的确定
纯 I 型问题max 0 纯 II 型问题max 70.5
问题：如何实现纯II型加载？
一种混合型裂纹加载方式
最大环向拉应力强度因子理论 问题：偏折角度是否合理？局部的 II 型应力强度因子是否消失？
I 型和 II 型混合裂纹（Palaniwamy，1972）
1. 如何确定开裂角：裂纹将沿着能产生最大能量释放率的
方向扩展。即按条件
G
0
，
2G
2
0
（为什么？）
来确定开裂角 0
2. 当该方向的能量释放率达到临界值 Gc 时，裂纹开始扩 展，即
G0 Gc
Nuismer 提出的分析方法，上横线代表支裂纹局部坐标系。
最大能量释放率理论
用能量释放率的概念研究混合型裂纹的基本思想与适 用于纯 I 型裂纹扩展的 Griffith 能量理论的基本思想是相 同的，即裂纹的虚拟扩展，引起能量的释放，当释放的能 量等于形成新裂纹面所需的能量时，裂纹就起裂。这两者 的主要区别在于：Griffith 理论中裂纹沿其延长线扩展， 而在混合型中则不然，除了 I 型和 III 型混合问题中裂纹 仍沿其延长线扩展外，其余类型的混合型问题中裂纹扩展 就不再沿着延长线。
扩展 ✓ 当有 II 型裂纹存在时，裂纹不再沿裂纹平面延长线扩
展，目前研究较多的是 I 型和 II 型的混合型裂纹。而且 多数限于线弹性断裂
I型
II 型
III 型
混合型裂纹的偏折起裂问题可以分成两个子问题： 1. 如何确定开裂角 2. 如何判断裂纹是否在此开裂角方向开始扩展
最大环向拉应力强度因子理论
若裂纹沿原裂纹方向扩展，
G0
K
2 I
K
2 II
E
类似的，支裂纹的能量释放
率为（稍后讨论）
G
K
2 I
K
2 II
E
当原裂纹刚沿支裂纹扩展
时，即 a 0时，记此时的 KI 和 KII 分别为 K I0 和 KII0 ，而 且此时的支裂纹尖端领域
的应力场趋近于原裂纹尖端的应力场。所以
lim
a 0
y
0
＝>
0 r
并且
2 2
0
r
同时有 r 0 ，【习题 6-1】 是巧合还是有别的原因？
KI 3 cos 1 cos 3 2r 4 2 4 2
KII 3 sin 3 sin 3 2r 4 2 4 2
纯I型： 3 cos 1 cos 3
4 2 4 2
纯II型：百度文库 3 sin 3 sin 3
应变能密度： w ijij / 2 ，对于线弹性易知 w 1/ r
1
2r
K
I
I
K II II
，
3
K III
2r
3
定义应变能密度强度因子： S wr 可以表示为应力强度因子及角度 的函数
S
a11K
2 I
2a12 K I K II
a22
K
2 II
a33
K
2 III
(为什么没有别的耦合项?)
G
0
，
2G
2
0
1. 发现在最大能量释放率方向 KII0 0 ，即 r 0 方向，与最大 环向应力预测的方向一致。
2. 裂纹扩展准则 G0 GIc KI2c / E ，又与最大环向应力理论一致。
是否最大环向应力理论与最大能量释放率理论从本质上完全一
致？讨论：能量释放率的计算
若裂纹沿原裂纹方向扩展，
其中 a11, a12 , a22 , a33 是角度 及材料常数的函数
（引自沈成康书）如果裂纹体只受牵引力作用，则体系的势能 与
应变能U 之和为零，因此 U 。以 表示体积，则势能密度为
d dU w S
d d