高中数学函数最值的求解方法
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解析 根据函数最小值的定义知， (1)是假命题:虽然满足最小值定义中的任意 性，但不满足存在性，故错误(2)(3)正确:实质上，它们是等价命题，都满
足最值定义中的两个条件 导数法
求函数f(x)
x3
6x2
15x5在
6,3的最值
解Tf(x)
x3
6x2
15x 5,
•-f'(x)
3x2
12x
15
令f '(x)
5.求最大值,将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大
的,则为最大值.最小值亦然。
判别式法
对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数f(x)出现
在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条
件0来求出f(x)的最值.
例3
配方法
如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题, 求解.
2函数最值的求解方法探究中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础， 因此最值问 题历来是各类考试的热点。 利用中学数学知识解决最值问题方法很多， 如定义法、 导数法、配方法、消元法、数形结合法、以及不等式的证明等等，选择合适的方 法才能让问题迎刃而解.
定义法
利用定义解决函数最值的相关问题时， 其重要的一点就是要把握定义的内涵， 准 确地加以应用!需要注意的是:函数一定有值域，但不一定有最值.
函数最值的定义：
一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数y f x的定义域为T，
x0T，且在x0处的函数值是f x0
如果对于定义域T内任意X,不等式fXf Xo都成立，那么f Xo叫做
函数y f x的最小值，记作yminf x0；
如果对于定义域T内任意X,不等式fXf x0都成立，那么f x0叫做
1.求函数的导数;
2.求函数在[a,b]内令f'(x)0的x的值(称之为”驻点”);
3.判断驻点左右两侧f'(x)的正负,以此判断函数曲线的走向 (f '(x)0为上
升,f'(x)0为下降),左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值,反之为
极小值;
4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达；
例1设函数f x的定义域为R，下列命题中正确的是:
(1)若存在常数P，使得对任意x R，有f x P，则P是函数f x的最小 值;
(2)若存在xoR,使得对任意的x R，有f x f xo，则fX。是函数f x的最小值;
(3)若存在xoR，使得对任意的x R，且x xo有f x f xo，则f xo是 函数f x的最小值;
例4已知x22y23x，求u 2x2寸x的最大值
将①代入u 2x2y2x化为一元函数，再用配方法即可求得。
数形结合求最值
数形结合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函
数的最值问题转化为几何问题来解决！此法直观性较强#易于理解#有一定的灵活 性且常有化难为易的神奇效果。
例5已知直线x y3 0,求函数S.. (x1)2y2+(x 1)2y2的最
例3求f (x) 2x23g4x在区间[1,0]内的最值.
解：配方得f(x) 2x23g4x3(2x 2)2
3
因为x [ 1,0],所以丄2x1，从而当2x
2
值4;当2x1即x0时f(x)取得最小值1.
消元法
在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可 考虑通过代入消元法#把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目 的！
函数最值的解法及其在生活中的应用
（渭南师范学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业11级2班）
摘要：函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分，也是高考考查的重要内 容之一，在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对 各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究， 探讨各种不同的求解方法， 阐述函数最值问题研究的重要性， 得到求解函数最值的几种方法 及求解时应注意的一些问题.
函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中 有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年 数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一． 由于其综合性强， 解法灵活，因此解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所 学知识技巧，选择合适的解题方法．
函数y f X的最大值，记作ymaXf Xo.
函数的最值一般有两种特殊情况：
(1)如果函数f(xo)在［a,b］上单调增加(减少),则f(a)是f(x)在［a,b］上 的最小值(最大值),f (b)是f(x)在［a, b］上的最大值(最小值).
(2)如果连续函数f(xo)在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有 极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间［a,b］上的最大(小)值.
值•
解此题的几何意义是在直线x y3 0上求一点M,使得M到点
(1,0),(1,0)的距离之和最小•(如下图3—1)
设：点代B的坐标分别为(1,0),(1,0),直线I的方程为x y30.由几何光 学原理知当点光源从A射出后，经镜面I反射到点B,这时|AM| |BM||NB就是 所求的最小值.
设点B关于光线l的对称点为N(x「yj,于是
3x2
12x
15=3(x
1)(x 5)=0
解得x1
1,x2
5
f 685，
f
5
105，wenku.baidu.com 1
3，f 3
例2
41
可知
比较得
maxx105,fminx
-3.
单调性法
闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的
极值,而极值又来源于f '(x)0的根处的函数值.所以建议求可导函数在闭区间[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:
Smin=AMBM NB ,由
y1o.
X11
X11y1
解得x13, y12
所以SminAM BM NB
(3 1)2(2 0)2
关键词:函数;最值;解法
1
函数是高中数学的主体内容，贯穿于整个高中阶段，而函数最值问题是函 数的重要内容之一．解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题 以及复杂问题向简单问题的转化的过程， 虽然解决问题的具体方法不完全相同， 但就其思维模式来说，一般是将待解决的问题进行一次次的转化，直至划为一 类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．
足最值定义中的两个条件 导数法
求函数f(x)
x3
6x2
15x5在
6,3的最值
解Tf(x)
x3
6x2
15x 5,
•-f'(x)
3x2
12x
15
令f '(x)
5.求最大值,将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大
的,则为最大值.最小值亦然。
判别式法
对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数f(x)出现
在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条
件0来求出f(x)的最值.
例3
配方法
如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题, 求解.
2函数最值的求解方法探究中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础， 因此最值问 题历来是各类考试的热点。 利用中学数学知识解决最值问题方法很多， 如定义法、 导数法、配方法、消元法、数形结合法、以及不等式的证明等等，选择合适的方 法才能让问题迎刃而解.
定义法
利用定义解决函数最值的相关问题时， 其重要的一点就是要把握定义的内涵， 准 确地加以应用!需要注意的是:函数一定有值域，但不一定有最值.
函数最值的定义：
一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数y f x的定义域为T，
x0T，且在x0处的函数值是f x0
如果对于定义域T内任意X,不等式fXf Xo都成立，那么f Xo叫做
函数y f x的最小值，记作yminf x0；
如果对于定义域T内任意X,不等式fXf x0都成立，那么f x0叫做
1.求函数的导数;
2.求函数在[a,b]内令f'(x)0的x的值(称之为”驻点”);
3.判断驻点左右两侧f'(x)的正负,以此判断函数曲线的走向 (f '(x)0为上
升,f'(x)0为下降),左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值,反之为
极小值;
4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达；
例1设函数f x的定义域为R，下列命题中正确的是:
(1)若存在常数P，使得对任意x R，有f x P，则P是函数f x的最小 值;
(2)若存在xoR,使得对任意的x R，有f x f xo，则fX。是函数f x的最小值;
(3)若存在xoR，使得对任意的x R，且x xo有f x f xo，则f xo是 函数f x的最小值;
例4已知x22y23x，求u 2x2寸x的最大值
将①代入u 2x2y2x化为一元函数，再用配方法即可求得。
数形结合求最值
数形结合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函
数的最值问题转化为几何问题来解决！此法直观性较强#易于理解#有一定的灵活 性且常有化难为易的神奇效果。
例5已知直线x y3 0,求函数S.. (x1)2y2+(x 1)2y2的最
例3求f (x) 2x23g4x在区间[1,0]内的最值.
解：配方得f(x) 2x23g4x3(2x 2)2
3
因为x [ 1,0],所以丄2x1，从而当2x
2
值4;当2x1即x0时f(x)取得最小值1.
消元法
在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可 考虑通过代入消元法#把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目 的！
函数最值的解法及其在生活中的应用
（渭南师范学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业11级2班）
摘要：函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分，也是高考考查的重要内 容之一，在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对 各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究， 探讨各种不同的求解方法， 阐述函数最值问题研究的重要性， 得到求解函数最值的几种方法 及求解时应注意的一些问题.
函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中 有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年 数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一． 由于其综合性强， 解法灵活，因此解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所 学知识技巧，选择合适的解题方法．
函数y f X的最大值，记作ymaXf Xo.
函数的最值一般有两种特殊情况：
(1)如果函数f(xo)在［a,b］上单调增加(减少),则f(a)是f(x)在［a,b］上 的最小值(最大值),f (b)是f(x)在［a, b］上的最大值(最小值).
(2)如果连续函数f(xo)在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有 极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间［a,b］上的最大(小)值.
值•
解此题的几何意义是在直线x y3 0上求一点M,使得M到点
(1,0),(1,0)的距离之和最小•(如下图3—1)
设：点代B的坐标分别为(1,0),(1,0),直线I的方程为x y30.由几何光 学原理知当点光源从A射出后，经镜面I反射到点B,这时|AM| |BM||NB就是 所求的最小值.
设点B关于光线l的对称点为N(x「yj,于是
3x2
12x
15=3(x
1)(x 5)=0
解得x1
1,x2
5
f 685，
f
5
105，wenku.baidu.com 1
3，f 3
例2
41
可知
比较得
maxx105,fminx
-3.
单调性法
闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的
极值,而极值又来源于f '(x)0的根处的函数值.所以建议求可导函数在闭区间[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:
Smin=AMBM NB ,由
y1o.
X11
X11y1
解得x13, y12
所以SminAM BM NB
(3 1)2(2 0)2
关键词:函数;最值;解法
1
函数是高中数学的主体内容，贯穿于整个高中阶段，而函数最值问题是函 数的重要内容之一．解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题 以及复杂问题向简单问题的转化的过程， 虽然解决问题的具体方法不完全相同， 但就其思维模式来说，一般是将待解决的问题进行一次次的转化，直至划为一 类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．