正弦型函数y=Asin(ωx+φ)

课程教案

课程名称：数学

任课教师：邓芳

所属院部：中南

教学班级：中大连读1~13班（除12班）

教学时间：2017 — 2018 学年第1学期

中南科技财经管理学校

课程基本信息

第一章三角计算及其应用

正弦型函数y=Asin(ψx+）

一、本次课主要内容

本节主要能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律,画出函数y=Asin(ωx+)的图象。

二、教学目的与要求

（1）理解：理解振幅变换、相位变换和周期变换，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。

（2）掌握：正弦型函数性质,掌握“五点法”作图。

（3）应用：为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型

三、教学重点难点

（1）重点：考察参数ω、、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+)的图象变化过程，并熟记正弦型函数性质。

（2）难点：对y=Asin(ωx+)的图象的影响规律的发现与概括

四、教学方法和手段

（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；

（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，

（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼；

五、作业与习题布置

课本19页习题 1（2）、2（2）

正弦型函数的概念与性质

复习引入

通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数 的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+)图象的变换规律。提出问题正弦型函数和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢

导入新课

学生思考，交流，正弦函数就是函数 在A=1，ω=1，φ=0的特殊情况。 形如y=Asin(ωx+) (A>0，ω>0) 的函数称为正弦型函数.

正弦型函数主要有以下性质： （1）定义域为 R （全体实数） ；

（2）周期为 ω

π

2=T ；

（3）值域为[-A ,A] ，即最大值为A ，最小值为-A . 例题讲解

例 求正弦型函数)6

π

2sin(+=x y 和)52π2sin(+=x y 的周期. 解 根据正弦函数型函数的周期公式ω

π

2=T ，可知

)6π

2sin(+=x y 的周期为 π2

π

2π

2==

=

ω

T ； )5

2π

2sin(+=x y 的周期为

π42

1π

2π

2==

=

ω

T . 例2、例3（略）

正弦型函数的图像

例 利用“五点法”作出正弦型函数)3

π

2sin(+=x y 在一个周期内的简图.

解 在函数)3

π

2sin(+=x y 中2=ω，因此周期为π2

π

2π

2==

=

ω

T . 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令3

π

2+

=x z ，分别取π2,2

π

3,π,2π,0=z ，找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x 的值

与函数

y 的值，见下表.

以表中每组),(y x 为坐标描点，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关

键点：

)0,6

π5(),1,12π7(),0,3π(),1,12π(),0,6π(--.

正弦型函数的应用 复习引入

当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π

ω

=

称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数

12f T ω

π

=

=

，称为振动的频率。x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。 导入新课

在电学中，电流强度的大小和方向都是随时间变化的电流称为交变电流，简称交流电.最简单的是简谐交流电，其电流强度的大小和方向随时间而变化，可以用如下函数来表示：

)ππ,0,0()sin(00≤≤->>+=ϕωϕωm m I t I I ，

其中m I 是电流强度的最大值，称为简谐交流电的峰值；ω称为角频率，单位为

rad/s ；0ϕω+t

称为相位，0ϕ称为初相位，简称初相；ω

π

2=

T 称为简谐交流电

的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需要的时间，单位为s ；单位时间

内，交流电完成周期性变化的次数称为频率，用f 表示，T

f 1

=

，单位为Hz （赫

兹）.

例题

例 已知简谐交流电的电流强度随时间

t

的变化规律为

)3

π

π100sin(26+=t I ，求出它的峰值、周期、初相位和频率.

解 峰值A 26=m I ；

周期s 02.0π

100π

2π

2==

=

ω

T ； 初相位3

π0=

ϕ；