热力学与统计物理

Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein和Fermi-Dirac三种统计力学的比较

微正则，正则和巨正则三种系宗的比较

顾钰

PB08013029

1.1Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein和Fermi-Dirac的粒子组成

波尔兹曼系统又称局域系统。由于粒子是可以分辨的，系统部遵循全同性原理，也不需要遵循泡利不相容原理。系统的波函数可以表示为各个单粒子波函数的乘积

描述这种系统的微观状态需给出每个粒子所处的单粒子态

)。例如，在固体的晶格振动中，需给出每个粒子的振动量子数。就统计的角度而言，它与经典统计没有本质上的区别。

费米系统和玻色系统的状态用波函数描写，粒子可以以一定的概率处在系统的某个可能的空间围，统称为非局域系。非局域系中的全同粒子是不可分辨的，系统必须遵守全同性原理，任何两个粒子交换后系统不产生新的量子态，系统的波函数或是对称的或是反对称的。

由系统的反对称性，很容易证明系统服从泡利不相容原理。

由全同的自旋为零或整数的粒子所组成的系统叫做玻

色系统，玻色系统的波色函数是对称的。对于两个玻色子的系统，波函数为

对于由N个玻色子组成的系统，因为玻色系统不遵守泡利不相容原理，可以有任意多的玻色子占据相同的量子态。设N 个玻色子中有个处于态，个处于态…..,的和满足条件其中，可以为0或者正整数。系统的波函数可以表示为

由全同的自旋为半整数的费米子组成的系统叫做费米系统，两个费米子系统的波函数是反对称的，它可以写成一个行列式形式，称为Slater行列式

=

对于N个费米子系统，N个费米子处在态上，系统的反对称波函数可用Slater行列式表示

=

=

1.2最概然分布

波尔兹曼分布给出了系统处于平衡态时占据能级上的粒子数。能级有个量子态，所以处在一个能量为的量子态的平均粒子数

==

拉格朗日未定乘子由

N=

E==

确定，式中表示对能级l求和，表示对量子态s求和。

玻色分布

拉格朗日乘子由宏观条件

, E

确定，其中

费米-狄拉克分布

拉格朗日乘子由宏观条件

, E

1.3热力学函数

波尔兹曼系统

由波尔兹曼分布得到系统的总粒子数N和平均能量E 分别为

N=

E=

定义单粒子配分函数

可得E=

S=Nk

状态方程

其中Y为广义力Y=-

玻色系统和费米系统

由玻色分布和费米分布的表达式

其中+对应费米分布，-对应玻色分布。系统的平均粒子数和平均能量分别为

对于玻色系统，定义巨配分函数

状态函数

对于费米系统，只要将巨配分函数定义为

即可得类似玻色系统的结果

2.1微正则系综理论及其热力学公式

对于能量在E到E+E之间的孤立系统，其平衡状态的系综分布函数具有以下形式

上式意味着系统的微观状态出现在E到E+E之间相等体积的概率相等，称为等概率原理，也称微正则分布。等概率原

理的量子表达式为

微观状态数

由上式原则上可解出E=E(N,E,V)。能作为S,V的函数是特性函数。能的全微分为dE=TdS-pdV

T=,

如果已知E(S,V,N),由上方程原则上可得S(T,V,N)和p(T,V,N), 再代入E(T,V,N)。这样便将物态方程、能、和熵都表达为T、V、N的函数，从而确定系统的全部平衡性质。

2.2正则系综理论及其热力学公式

正则分布的经典表达式为

其中配分函数Z为

Z=

能是在给定N、V、T的条件下，系统的能量在一切可能的微观状态上的平均值。因此

U==

广义力Y是的统计平均值

Y===

P=

S=k

对于给定N、V、T的系统，只要求出配分函数Z,就可以由上式求得其基本的热力学函数

2.3巨正则系综理论及其热力学公式

巨正则分布的经典表达式为

=d

其中巨配分函数为

量子表达式为

其中名为巨配分函数，它的定义是

系统的平均粒子数是粒子数N对给定V、T、条件下一切可能的微观状态上的平均值

能U是能量E的统计平均值

=

广义力Y是的统计平均值

=-

对于给定V、T、的系统，只要求得巨配分函数的对数，由上述有关公式就可以求得热力学函数作为V、T、的函数。