2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)
2020届江苏省天一中学高三数学第二学期数学综合试卷二教师版
F 是 PB 中点， E 是 BC 中点．
17．请你设计一个包装盒， ABCD 是边长为10 2cm 的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰 三角形，在沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图 2 中的点 P ，正好形成一个正四棱锥形状的
包装盒（图 2 所示），设正四棱锥 P EFGH P﹣EFGH 的底面边长为 xcm ．
由 FG x 得 OM 1 x ， PM BM 10 1 x ，
2
2
因为 PM OM ，即10 1 x 1 x ， 22
所以 0 x 10 ，
因为 S 4 1 FG PM 2 10 1 x 20x x2 ，
2
2
由 20x x2 75 ，可得 5 x 15 ，
r2 d2 2
r2
2k 2 1 k2
．
MN PQ ，2
2
1 k2 1 2k 2
2
r2
2k 2 1 k2
，
化简整理得
r2
6k 4 2k 4
6k 2 3k 2
2 1
3
3k 2 1 2k 4 3k 2 1
令 3k 2
1 t
1 ，则 r2
3
2 t2 9
t 5t
9
2 9
3
1
2 2t 9 9t
3
2
3
1 2 x2y 4 4 2 .
ab
3
13. 已知函数 f x x3 ax2 4x 1 在（0，2]上是增函数，函数 gx ln x a 2ln x ，若 ，
，
（e 为自然对数的底数）时，不等式 gx1 gx2 5 恒成立，则实数 a 的取值范围是
【答案】
2020届天一大联考高三阶段性考试(二)数学(理)试题(解析版)
2020届天一大联考高三阶段性考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}23{10},1A x B y y x x=-<==+，则()R A B =I ð（ ） A ．{01}x x << B ．{13}x x ≤< C ．{13}x x << D ．{03}x x ≤<【答案】A【解析】根据分式不等式的解法以及二次函数的值域分别求解,A B ,再求解即可. 【详解】 由310x-<,得03x <<,即{|03}A x x =<<,由211y x =+…,得{|1}B y y =…,所以{}|1R B x x =<ð,故()R A B =I ð{01}x x <<. 故选：A 【点睛】本题考查集合的表示､运算以及不等式的解法,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得22001sin 2019cos 20192x x +=B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x < C ．0x R ∃∈，使得2001x x +=- D ．1(1,),0x x x∀∈+∞-> 【答案】D【解析】根据存在性和任意性的定义进行判断即可. 【详解】因为x ∀∈R ，22sin 2019cos 20191x x +=，故A 是假命题；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin cos x x „，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x >，故B 是假命题；x ∀∈R ，221331244x x x ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，故C 是假命题；因为1x >，所以1(0,1)x ∈，所以10x x->，故D 是真命题． 故选：D【点睛】本题考查逻辑联结词、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想． 3．已知0.10.520190.12,0.5,log 0.1a b c ===，则（ ） A ． a b c >> B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>【答案】B【解析】分别计算,a b 的大致范围,利用指数函数的单调性,再计算得2019c =判断即可. 【详解】 因为0.12(1,2)a =∈,10.520.52b -==,根据指数函数2x y =的单调性,知a b >.又20190.1log 0.12019c ==,所以b a c <<.故选：B 【点睛】本题考查指对数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.4．已知向量(1,2),2(3,1)a a b =-+=-r r r，则b =r （ ）A ．B ．5C ．D ．2【答案】A【解析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，通过解方程组求出向量b r的坐标，再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设(,)b x y =r ，所以2(2,4)a b x y +=+-+r r ．因为2(3,1)a b +=-r r ，所以23,4 1.x y +=-⎧⎨-+=⎩解得5,5.x y =-⎧⎨=⎩所以(5,5)b =-r ，所以||b ==r ．故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ）A ．234升B ．468升C ．639升D ．903升【答案】C【解析】根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 【详解】由题意可知每天派出的人数构成等差数列， 记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可. 【详解】因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想. 7．已知α为第三象限角sin(2019)πα-=，则2sin 2cos 1αα++=（ ） A．BC．D ．139-【答案】A【解析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为sin(2019)3πα-=-，所以sin 3α=-．又因为α为第三象限角，所以2cos 3α=-．所以22222sin 2cos 12sin cos cos 12133ααααα⎛⎛⎫⎛⎫++=++=⨯⨯-+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力． 8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，当 0x <时，()ln(1)g x x =--，且3,0()(),0x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x ->，则实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)--D ．(2,1)-【答案】D【解析】根据奇偶性求解当0x >时()g x 的解析式,再根据函数()f x 的单调性求解即可. 【详解】若0x >,则0x -<,因为()g x 是R 上的奇函数,所以()()ln(1)g x g x x =--=+,所以3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧=⎨+>⎩…则函数()f x 是R 上的增函数,所以当()22()f x f x ->时,22x x ->,解得21x -<<. 故选：D本题考查函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想.9．已知,x y满足约束条件24030220x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x yz-=的最大值为（）.A．128 B．64 C．1 64D．1128【答案】B【解析】画出可行域,再求解2x y-的最大值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x yμ=-,因为函数2xy=是增函数,所以μ取最大值时,z取最大值.易知2x yμ=-在A点处取得最大值.联立220,30x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.xy=⎧⎨=-⎩即(4,1)A-.所以max42(1)6μ=-⨯-=,所以6max264z==.故选：B【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.10．函数()2cos()0,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x的一个单调递减区间为（）A ．,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据余弦型函数的最高点和零点求出最小正周期，根据最小正周期公式求出ω的值，再根据最高点的坐标，求出ϕ的值，这样求出余弦型函数的解析式，根据解析式求出单调递减区间，四个选项逐一判断即可. 【详解】由图知，函数()f x 的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．因为0>ω，所以2ππω=，得2ω=．所以()2cos(2)f x x ϕ=+．因为点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以cos 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222()3k x k k ππππ-+∈Z 剟，得2()63k x k k ππππ++∈Z 剟．只有22,,()3263k k k ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z . 故选：B 【点睛】本题考查余弦型函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想．11．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D【解析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 12．已知函数32()232010f x x ax bx =-++的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．若0[3,5]x ∃∈使得0()2020f x ≥成立，则实数b 的取值范围为（ ）． A ．10,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,6)-∞-C ．[6,)-+∞D ．10,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】对函数进行求导，根据对称轴求出a 的值，根据存在性的定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，得2()623f x x ax b '=-+．因为函数()f x '的图象关于直线1x =对称，所以2112a--=，解得6a =，所以32()2632010f x x x bx =-++．因为0[3,5]x ∃∈使得()02020f x …成立，即使得3200026320102020x x bx -++…成立，所以[3,5]x ∈时，2min233103223b x x ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…．设223310()3223g x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在[3,5]上单调递减，所以当5x =时，函数()g x 在[3,5]上取得最小值为6-，所以实数b的取值范围为[6,)-+∞． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想．二、填空题13．若函数4()32xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________． 【答案】17,22⎛⎫-⎪⎝⎭． 【解析】根据零点存在原理进行求解即可. 【详解】由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查零点存在原理的应用，考查运算求解能力．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,6a c ==，cos 45B =，则sin A =______.【解析】根据余弦定理求得b =,再根据同角三角函数公式求解得3sin 5B =,再利用正弦定理求解sin A 即可. 【详解】由余弦定理,得2222cos 13b a c ac B =+-=.所以b =.又由cos 45B =,(0,)B π∈得3sin 5B =.由正弦定理得5sin 5A =.解得sin A =.故答案为：13【点睛】本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 15．已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为________. 【答案】164【解析】根据821(0,0)a b a b +=>>配凑出18216ab a b =⨯⨯再利用基本不等式求解即可. 【详解】211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…,当且仅当116a =,14b =时取等号,所以ab 的最大值为164. 故答案为：164【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知114,29(2)n n a a a n -==-+≥.若对任意的偶数,n ,(3)4n n N S n λ*∈-≥恒成立，则实数λ的最小值为____________.【答案】8【解析】根据所给的递推公式构造等比数列{}3n a -,继而求得{}n a 的通项公式1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,再代入(3)4n S n λ-≥化简得 【详解】由数列的递推公式,得()()1233n n a a --=--,即()11332n n a a --=--.又1310a -=≠,所以13132n n a a --=--,则数列{}3n a -是首项为131a -=,公比为12-的等比数列,故11312n n a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,所以1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,题中的不等式即211432nλ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…. 因为n 为偶数,所以不等式等价于211432n λ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭…,整理得3462111122n n λ⨯=--…, 设6()112n f n =-,则因为311142n ≤-<,故668112n<≤-.所以()8f n ≤,故8λ…. 故要使不等式对任意的正偶数n 都成立,λ的最小值为8.故答案为：8 【点睛】本题考查数列的递推公式､等比数列的前n 项和公式､数列的性质,考查推理论证能力以及化归转化思想.三、解答题17．已知:p 指数函数()(21)x f x a =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【解析】求出:p 112a << ，:q a ＞2，由“p 或q ”为真命题，“p 且q 为假命题，得p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】若p 真，则()(21)xf x a =-在R 上单调递减.所以0211a <-<，即112a << 若q 真，令22()321g x x ax a =-++，则应满足()222(3)421021030a a a a ⎧--+≥⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，解得2a ≥ 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.①若p 真q 假，则1122a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩所以112a <<.②若p 假q 真，则1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，所以2a ≥. 综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知角,,B A C 成等差数列． （1）若ABC V的外接圆半径为a ；（2）若cos cos 2c B b C +=，求ABC V 的面积的最大值．【答案】（1）6；（2【解析】（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为ABC V 中，角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+．又因为A B C π++=，所以3A π=．因为ABC V的外接圆半径为62a ==． （2）由222222cos cos 2222a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⇒⋅+⋅=，可得2a =． 由（1）的解题过程及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc +-=． 由222b c bc +…可得04bc <„，所以ABC V的面积1sin 2S bc A =„2b c ==时，等号成立）． 故ABC V【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．19．已知正项等比数列{}n a ，42329,6a a a a =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a .（2）113244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据基本量法求解即可.(2)代入(1)中{}n a 的通项公式可得13n n b n -=⋅,再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,因为数列{}n a 是等比数列,所以由429a a =,得2229a q a =.因为0n a >,所以3q =.因为326a a -=,所以226a =,即23a =,所以11a =.所以13-=n n a .（2）由（1）得13-=n n a ,所以13n n b n -=⋅. 所以01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L , 则12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L .两式相减,得1211311213333331322n n nn n n T n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭L . 所以113244n n n T ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查等比数列的性质以及错位相减求和,考查推理论证能力以及化归转化思想. 20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1113,233(2)n n n n a S S S S n --=-+=≥ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使120n a ≥成立的n 的最大值． 【答案】（1）3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩…；（2）6. 【解析】（1）根据n S 是否能为零，分类讨论可以判断n S 不能为零，这样将等式两边同除以1n n S S -并整理，这样根据等差数列的定义求出n S 的通项公式，然后再利用当2n …时，1n n n a S S -=-进行求解即可；（2）由已知得到不等式，解不等式进行求解即可.【详解】（1）当2n …时，若0n S =，则由11233n n n n S S S S --+=，得10n S -=，这与113a S ==-相矛盾，所以0n S ≠．由11233n n n n S S S S --+=，等式两边同除以1n n S S -并整理，得11123n n S S --=-． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1113S =-，公差23d =-的等差数列． 所以321n S n -=-． 所以当2n …时，13362123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=+=----． 又因为13a =-，不符合上式，所以3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… （2）由（1）知3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… 易知使不等式成立的2n …．所以由题意，得61(21)(23)20n a n n =--…，整理，得2483120n n -+„．所以2 6.5n 剟． 所以使120n a …成立的n 的最大值是6． 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想．21．已知函数3()8cos 3cos 212cos f x x x x =--（1）设正实数T 满足()(0)f T f =，求T 的最小值；（2）当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【答案】（1）2π；（2）713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式把函数的解析式化成关于cos x 的形式，根据()(0)f T f =，结合因式分解可以求出T 的值；（2）利用换元法，结合导数进行求解即可.【详解】（1）由题意得()3232()8cos 32cos 112cos 8cos 6cos 12cos 3f x x x x x x x =---=--+． 由()(0)f T f =可得324cos 3cos 6cos 50T T T --+=，即2224cos (cos 1)cos 6cos 54cos (cos 1)(cos 1)(cos 5)T T T T T T T T -+-+=-+--()22(cos 1)4cos cos 5(cos 1)(4cos 5)0T T T T T =-+-=-+=．所以cos 1T =或5cos 4T =-． 5cos 4T =-显然不成立，所以cos 1T =． 所以()*2T k k π=∈N ，所以T 的最小值为2π．（2）由（1）得32()8cos 6cos 12cos 3f x x x x =--+． 设cos t x =，32()86123g t t t t =--+，所以2()241212g t t t '=--． 因为,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦． 由()0g t '=得12t =-或1t =，由()0g t '>得12t <-或1t >，由()0g t '<得112t -<<．所以()g t 在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 又11322g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1g -=，1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以713(),22g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，以及利用导数研究函数性质，考查运算求解能力、推理论证能力以及转化与化归的思想．22．已知函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）若3a e =，求()f x 的单调区间；（2）当(1,]x e ∈时，不等式()2e f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1.65≈【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ；（2）2e ⎡-⎢⎣． 【解析】（1）对函数进行求导，再通过构造新函数，根据新函数的零点结合()f x 的导函数进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，构造新函数，结合新函数的正负性结合()f x 的导函数可以判断出函数()f x 的单调性，然后根据题意，列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）若3a e =，则2()(3)ln f x x e x =-．2(3)3()2(3)ln (3)2ln 1x e e f x x e x x e x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设3()2ln 1e g x x x=+-． 易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0g e =，所以e 是()g x 的唯一零点．所以当(0,)x e ∈时，()0f x '>；(,3)x e e ∈时，()0f x '<；(3,)x e ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ．（2）由题意得2()()2e f e e a =-„，解得22e a e -+ 2()()2()ln ()2ln 1x a af x x a x x a x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且2()33e a h e ee +=--…20=>． 因为()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 存在唯一零点0x ，且01x a <<，01x e <<． 从而当()00,x x ∈时，()0f x '>；()0,x x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 要使()2e f x „对任意(1,]x e ∈恒成立，只需()()20002ln ,2()().2e f x x a x e f e e a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②„„ 由()0002ln 10a h x x x =+-=，得0002ln a x x x =+．③ 将③代入①中，整理得2300ln 8e x x „．因为01x >，注意到23ln y x x =在(1,)+∞上单调递增，故01x <„再由③以及2ln y x x x =+在(1,)+∞上单调递增，得1a <„．由②解得e a e -+e a -． 所以a的取值范围为2e ⎡-⎢⎣． 【点睛】本题考查导数的计算、利用导数研究函数的单调性和极值以及解决不等式恒成立问题，考查运求解能力和推理论证能力．。
2020届江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷(含解析)
2020届江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合M={x|x2−2x<0}，N={x||x|>1}，则M∩N=______．2.设复数z=1−2i，则|z|=______．3.已知双曲线x2−y2=1(a>0)，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为______ ．a24.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是．5.高二(3)班有32名男生，24名女生，用分层抽样的方法，从该班抽出7名学生，则抽到的男生人数为______．6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_________．7.设{}是公比为正数的等比数列，若，则数列{}前7项和为。
≤0的解集8.设函数f(x)的定义域为[−4,4]，其图象如图，那么不等式f(x)sinx为______ ．9.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是．10.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x−6)=f(x)+f(3)成立，且f(0)=−2，>0.则给出下列命题：当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2①f(2010)=−2；②函数y =f(x)图象的一条对称轴为x =−6； ③函数y =f(x)在[−9,−6]上为增函数； ④方程f(x)=0在[−9,9]上有4个根．其中正确命题的序号是______.(请将你认为是真命题的序号都填上)11. 过点P(a,5)作圆(x +2)2+(y −1)2=4的切线，切线长为2√3，则a 等于______ ．12. 在直角坐标系xOy 中，点B 与点A(−1,0)关于原点O 对称．点P(x 0,y 0)在抛物线y 2=4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0=______．13. 如图，在等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中0<λ<1，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则λ的值为______ ．14. 在正三棱锥V −ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______． 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 如图1，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示． (Ⅰ)证明：BC ⊥平面PBD ； (Ⅱ)证明：AM//平面PBC ；(Ⅲ)线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且10sin 2B+C 2−5sin(2014π−A)=12，π4<A <π2． (1)求cos A 的值；(2)若a =8，b =5，求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的射影．17. 如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA =AB =1，AD =√3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(Ⅰ)求三棱锥E −PAD 的体积；(Ⅱ)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (Ⅲ)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．18. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点，过F 2的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，sin∠BF 1O =√33．(1)若直线l 垂直于x 轴，求|PF 1||PF 2|的值；(2)若b =√2，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得F 1、E 关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)设直线l 1：y =√6上总存在点M 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α．19. 已知函数f(x)=1+ln(x+1)x和g(x)=x −1−ln(x +1)(I)函数y =f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？说明理由； (II)求证：函数y =g(x)在区间(2,3)上有唯一零点；(III)当x >0时，不等式xf(x)>kg′(x)恒成立，其中g′(x)是g(x)导函数，求正整数k 的最大值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n=4a n−4．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，T n=1c1+1c2+⋯+1c n，求使k n⋅2nn+1≥(2n−9)T n恒成立的实数k的取值范围．21.(本小题满分10分)已知矩阵．(1)求矩阵的逆矩阵；(2)设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程．22.已知曲线C的极坐标方程为：ρ2−2√2ρcos(θ+π4)−2=0，(Ⅰ)若直线l过原点，且被曲线C截得弦长最短，求此时直线l的标准形式的参数方程；(Ⅱ)M(x，y)是曲线C上的动点，求x+y的最大值．23.已知函数f(x)=|x−2|−m(x∈R)，且f(x+2)≤0的解集为[−1,1]．(1)求实数m的值；(2)设a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=m，求a+2b+3c的最大值．24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且与直线y=x−√3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点P(3,0)的直线l与椭圆C交于两点M，N(M在N 的右侧)，直线AM，BN相交于点Q，求证：点Q在一条定直线上．25.设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1−2；数列{b n}满足6n2−(t+3b n)n+2b n=0(t∈R,n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)①试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，符到一个数列{c n}.设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．【答案与解析】1.答案：(1,2)解析：解：x2−2x<0⇔0<x<2，则集合M={x|0<x<2}=(0,2)|x|>1⇔x<−1或x>1，则集合N=(−∞,−1)∪(1,+∞)，则M∩N=(1,2)，故答案为：(1,2)解x2−2x<0可得集合M={x|0<x<2}，解|x|>1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．本题考查集合交集的计算，关键是求出集合集合M、N，注意答案写成集合或区间的形式．2.答案：√5解析：解：∵z=1−2i，∴|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．直接由复数模的定义计算．本题考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：2=1(a>0)，其焦点在x轴上，解析：解：根据题意，双曲线的方程为：x2−y2a2其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程计算方法．4.答案：．解析：试题分析：根据程序框图可得计算出的为：，为了计算，当时，代替，并用代替，进入下一次运算；而当时，代替，恰好，用代替得，，在这次运算中结束循环体并输出的值，因此，判断框内应填．考点：程序框图．5.答案：4解析：解：根据题意，抽样比为732+24=18，又知道男生有32人，所以抽到的男生人数为：32×18=4人，故答案为：4．抽样比为732+24=18，再结合男生人数即可得到抽到的男生数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件结合比例关系是解决本题的关键．比较基础．6.答案：解析：解析：连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标有36个不同的点，其中满足点P在直线上的点有(1,4)，(4,1)，(2,3)(,3，2)四个.所以所求事件的概率为．7.答案：127解析：试题分析：解：因为a5=a1⋅q4，∴q4=16又因为公比为正数．所以q=2．，故填写127．考点：等比数列的求和公式点评：本题主要考查了等比数列的求和公式．属基础题．在应用等比数列的求和公式时，一定要先判断公比的值，再代入公式，避免出错．8.答案：[−4,π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}解析：解：不等式f(x)sinx≤0的解集即[−4,4]上f(x)与sin x异号的区间．由函数图象可知：当f(x)≤0时，−4≤x≤−2，或1≤x≤4；当f(x)≥0时，−2≤x≤1；而sin x中的x∈[−4,4]，当sinx>0时，x∈[−4,−π)∪(0,π)；当sinx<0时，x∈(−π,0)∪(π,4]．则f(x)sinx ≤0，等价于{f(x)≥0sinx<0或{f(x)≤0sinx>0．即x∈[−4,−π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}，故所求不等式的解集为[−4,−π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}．故答案为：[−4,−π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}．根据函数的图象可得，f(x)小于0时，x的范围；f(x)大于0时，x的范围，；且根据正弦函数图象可知，sin x大于0时，x∈(−4,−π)∪(0,π)；当sin x小于0时，x∈(−π,0)，则把所求的式子化为f(x)与sin x异号，即可求出不等式的解集．此题属于以正弦函数与已知函数的图象及单调性为平台，考查了其他不等式的解法，是一道综合题．9.答案：5解析：试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P 在以AB为直径的圆上，，所以，．法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一．【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式．10.答案：①②④。
2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)(有解析)
2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=______ ．2.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=________．3.执行下边的流程图，若输入的x的值为−2，则输出y的值是__________．4.样本数据11，8，9，10，7的方差是________．5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．7.已知点A是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于______．8.若cosα=13(0<α<π)，则sin2α=______．9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)，则关于x的不等式xf(1)<ef(ln x)的解集为_____．10.已知函数的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是____．11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．12. 已知a ≥0，b ≥0，且a +b =13则1a+2b +12a+b 的最小值为 ．13. 若函数f(x)=16(2x −1)3−x +2(1≤x ≤4),则f(x)的最大值是__________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AF =a ，点M 在线段EF 上． (Ⅰ)求证：BC ⊥AM ；(Ⅱ)试问当AM 为何值时，AM//平面BDE ？证明你的结论． (Ⅲ)求三棱锥A −BFD 的体积．17.如图所示，等腰△ABC的底边AB=8，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P−ACEF的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大，并求最大值．18. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)离心率为12，过点E(−√7,0)的椭圆的两条切线相互垂直． (1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围．19. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)an+2n(n ∈N ∗)(1)设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−14m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求m 得范围．20. 已知函数f (x )=x 3−ax 2+427．(1)若f(x)在(a −1,a +3)上存在极大值，求a 的取值范围；(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥1时，f(x)>lnx−23．27【答案与解析】1.答案：{0,1，2，3}解析：先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}，∴A∪B={0,1，2，3}．故答案为：{0,1，2，3}．2.答案：4−i解析：本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：5解析：x=−2<0，则y=−2×(−2)+1=5．4.答案：2解析：本题考查了方差的公式，属于基础题．将数据直接代入方差计算公式可得答案．解：因为样本平均数x=7+8+10+11+95=9，故方差s2=15[(11−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(10−9)2+(7−9)2]=2，故答案为2．5.答案：34解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用分步乘法原理，分别计算出甲、乙两名学生任选一门选修课程的情况总数和满足他们选修的课程互不相同的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：设选修4门课程名称为A，B，C，D甲、乙两名学生选修课程名称记为(x,y)，则共有4×4=16种不同情况，其中他们选修的课程互不相同的事件有4×3=12种不同情况，故他们选修的课程互不相同的概率P=1216=34，故答案为：34．6.答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1.根据题意，由等比数列前n项和公式可得S3=a1(1−q3)1−q =7，S6=a1(1−q6)1−q=63；变形可得1+q3=9，解可得q的值，将q的值代入S3=a1(1−q3)1−q=7，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}满足S3=7，S6=63，则其公比q≠1，若S3=7，则a1(1−q3)1−q=7；S6=63，则a1(1−q6)1−q=63；变形可得：1+q3=9，解可得q=2；又由a1(1−q 3)1−q=7，解可得a1=1．故答案为17.答案：√5解析：解：取双曲线的一条渐近线：y=ba x，联立{y2=2pxy=bax解得{x=2pa2b2y=2pab，故A(2pa2b2,2pab)．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴p2+2pa2b=p，化为a2b=14．∴双曲线C2的离心率e=ca =√1+b2a2=√5．故答案为√5．取双曲线的一条渐近线：y=bax，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．8.答案：4√29解析：解：∵cosα=13(0<α<π)，∴sinα=2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×2√23×13=4√29，故答案为：4√29．由题意可得sinα=2√23，再根据sin2α=2sinαcosα，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．9.答案：(1,e)解析：本题考查的是利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题．解：设函数g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=ex f′(x)−e x f(x)(e x)2=f′(x)−f(x)e x<0，所以g(x)=f(x)e x为(0,+∞)上的单调递减函数．当x>0时，不等式xf(1)<ef(ln x)等价于f(ln x)x >f(1)e，即f(ln x)e ln x>f(1)e，所以0<ln x<1，即1<x<e．故答案为(1,e)．10.答案：2解析：本题考查对数函数的单调性，属于基础题．分a >1和0<a <1讨论，结合对数函数的性质即可求解． 解：当a >1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是增函数， 所以，解得a =2;当0<a <1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是减函数， 所以，无解;综上a =2， 故答案为2 ．11.答案：(3,134]解析：本题主要考查函数与方程的综合知识，首先求出函数f(x)的导数，可得f(x)单调递增，解得f(x)=0的解为x 1=2，由题意可得g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，通过判别式对称轴等可求得a 的取值范围，难度中等．解：函数f(x)=e x−2+x −3的导数为f ′(x)=e x−2+1>0， ∴f(x)在R 上单调递增，由f(2)=0，可得x 1=2，又存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|⩽1和|x 1−x 3|⩽1同时成立，∴存在实数x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得g(x 2)=g(x 3)=0，且|2−x 2|⩽1和|2−x 3|⩽1同时成立， 即g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根， 则{g (1)=−2a +7≥0g (3)=−4a +13≥0Δ=(a +1)2−4(−a +7)>01<a+12<3，解得3<a ≤134， 即a 的取值范围为(3,134]12.答案：4 解析：本题考查柯西不等式，结合已知条件将原式变形，即1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)，进而运用柯西不等式求解．解：因为a+b=13，所以1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)≥(√a+2b·a+2b +√2a+b2a+b)2=4，当且仅当√a+2b√2a+b =√2a+b√a+2b，即a=b时取等号．故答案为4．13.答案：3316．解析：本题考察了导数与函数的单调性，根据单调性求最值即可。
江苏省天一中学2020届高三年级第二学期综合检测2数学不含附加题(无答案)
2020届天一中学第二学期数学综合练习( 2 )一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}lg 0B x x =>，则A U B = ___▲__.2．若复数 z 满足1z i i ⋅=-（ i 是虚数单位），则 z 的虚部为__▲__.3．如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为 ▲ ．4．设样本数据122020,,,x x x ⋅⋅⋅的方差是 4 ，若()211,2,,2020i i y x i =-=⋅⋅⋅，则122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为__▲__．5．疫情期间，某校开设5门不同的线上选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为___▲__.6．等比数列{}n a 中，11a =，前 n 项和为n S ，满足654320S S S -+=，则5S = __▲__.7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线 y ＝3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是__．8．已知1sin cos ,05αααπ+=<<，则2sin sin 2αα+= __▲__. 9． 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()'0xf x f x +<，则()()()1133x f x f -->的解集为___▲___.10．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， BC 平行于 x 轴，顶点 A ， B 和 C 分别在函数123log ,2log a a y x y x ==和()3log 1a y x a =>的图象上，则实数 a 的值为 ▲ ．11．定义：如果函数y=f(x)在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数y=f(x)在区间[],a b 上的一个均值点，已知函数()142x x f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，则实数 m 的取值范围是_▲___.12．已知01,01a b <<<<，且44430ab a b --+= ，则12a b+的最小值是__▲__. 13． 已知函数()3241f x x ax x =-+++在(0,2]上是增函数，函数()ln 2ln g x x a x =--，若312,,x x e e ⎡⎤∀∈⎣⎦（e 为自然对数的底数）时，不等式()()125g x g x -≤恒成立，则实数 a的取值范围是__▲__.14．在平面直角坐标系 xOy 中，A 和 B 是圆()22:11C x y -+=上两点，且2AB =，点 P的坐标为 (2,1) ，则2PA PB -u u u r u u u r的取值范围为__▲___.二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 14 分） 已知函数()213cos 22sin 4f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间． （2）若方程()0f x m -=在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围．16．（本题满分 14 分）如图，已知 PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形，PA= AB =1，AD =3 ， F 是 PB 中点，点 E 在 BC 边上． （1） 求证： AF ⊥ PE ；（2）若EF / / 平面 PAC ，试确定 E 点的位置．请你设计一个包装盒， ABCD 是边长为 102cm 的正方形硬纸片（如图 1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图 2 中的点 P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图 2 所示），设正四棱锥P −EFGH 的底面边长为x (cm) .（1）若要求包装盒侧面积 S 不小于752cm ，求 x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积()3V cm 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.18（本题满分 16 分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>焦距为 2，右焦点到右准线的距离为 1，（1）求椭圆 C 的方程；（2）圆 A 以椭圆的右顶点为圆心， r 为半径，若存在过原点的直线:l y kx =交椭圆 C 于M , N 两点，交圆 A 于 P ， Q 两点，点 P 在线段 MN 上，且 MP =NQ ，求圆 A 的半径r 的取值范围.已知数列{}n a 的前 n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111n n n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前 n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式141n kT n >-+都成立，求实数 k 的取值范围；（3）记2n n n a c a =+，是否存在互不相等的正整数 m ， s ， t ，使 m ， s ， t 成等差数列，且1,1,1m s t c c c ---成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 m ， s ， t ；如果不存在，请说明理由.20．（本题满分 16 分） 已知函数()332,0.f x x ax a =+-->（1）当2a =时，求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数 a 的取值范围；（3）当01a <<时，试问：过点()2,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切？。
江苏省2020届高考数学模拟试题二解析版
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束
后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用0.5毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。
3
cm.
18.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
x2
y2
的离心率为
1
，且过点
0, 3.
C :a
2
b2
1 a b 0
2
1求椭圆C的方程；
2已知△BMN是椭圆C的内接三角形，
①若点B为椭圆C的上极点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；
②若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值.
b
3
a2
，3x1x2
4 y1y2
6
4
3
4
3
4
3
3x1x2
4 kx1
m kx2
m
6
4k2
3 x1x2
4mk
x1
x2
4m2
6 0
y
kx m
，则4k2
3 x2
8mkx 4m212 0
3x2
4 y2
12
48 4k
2
3 m
2
0
4mk 2 3 4k2
3 m2
【答案】{1,3}
【分析】因为2k1,kZ表示为奇数，故A I B{1,3},故答案为：{1,3}
3．在一次知识比赛中，抽取5名选手，答对的题数分布状况如表，则这组样本的方差为．
2020年江苏省无锡市天一中学高二数学理模拟试卷含解析
2020年江苏省无锡市天一中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的减函数，则，即；指数函数为上的增函数，则；对数函数为上的增函数，则.因此，.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（）种．A．72 B．60 C．48 D．24参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：若选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；若4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同；求出每种情况的着色方法数目，由加法原理求解即可．【解答】解：由题意，分2种情况讨论：（1）、选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有C43?A33=24种（2）、4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有C21?A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故选：A．3. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A. B. C. D.参考答案：A解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=200，∠BAC=300，所以，在△ADC中，由正弦定理得，，故选择A.4. 下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（）A. 0.27B. 0.85C. 0.96D. 0.5参考答案：C越大，拟合效果越好，故选C。
2020届江苏省无锡市天一中学高三下学期6月模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省无锡市天一中学高三下学期6月模拟数学试题一、填空题1．命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是______． 【答案】()1,2x ∃∈，21x ≤【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是：()1,2x ∃∈，21x ≤. 故答案为：()1,2x ∃∈，21x ≤. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，已知该数列前10项的和为10120S =，那么56a a +=______． 【答案】24；【解析】根据等差数列的前10项和以及等差数列的性质，即可得答案； 【详解】1101011010()120120242a a S a a ⋅+=⇒=⇒+=，1510624a a a a +==+，故答案为：24. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和项公式以及等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题.3．若幂函数ny mx =（m ，n R ∈）的图象经过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=______．【答案】13【解析】根据幂函数的定义及图象过点，可得,m n 的值，即可得答案； 【详解】幂函数ny mx =（m ，n R ∈），∴1m =，∴321282243n n n -=⇒=⇒=-， ∴13m n +=，故答案为：13.【点睛】本题考查根据幂函数的定义及图象过点求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 4．已知(1,2)a m =，(2,)b m =-，则“1m =”是“a b ⊥”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要；【解析】根据向量垂直的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当1m =时，()122220a b m m ⋅=⨯+⨯-=-=，即a b ⊥ 当a b ⊥时，()2122220a b m m m ⋅=⨯+⨯-=-=，解得1m =±即“1m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，涉及了向量垂直的坐标公式，属于中档题. 5．设直线是3y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是______． 【答案】3ln33-+； 【解析】设出切点坐标()00,x P x e，利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】,x x y e y e '=∴=设切点()00,x P x e则在点P 处的切线方程为()000xx y e e x x -=-整理得0000xxxy e x e x e =-+直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线003,ln 3x e x ∴==，0003ln 33x x e x e b =--+=+故答案为：3ln33-+ 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题题.6．在ABC 中，14a =，b =60B =︒，则c =______．【答案】(71+；【解析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可知(2221142142c c =+-⨯⨯⨯即214980c c --=解得：(71c =或(71c =（舍）故答案为：(71【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①若m n ⊥，m α⊂，则n α⊥； ②若m α⊥，//n m ，则n α⊥； ③若//n α，m α⊂，则//n m ； ④若//m α，//n α，则m n ⊥； 其中真命题是______．（写出所有真命题的序号） 【答案】②；【解析】对①，n 不一定垂直α；对②，根据线面垂直的性质；对③，直线,n m 可能异面；对④，,n m 可能平行. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，对①，取直线n 为1AA ，直线m 为CD ，平面α为面11A B CD ，显然n α⊥不成立，故①错误；对②，根据线面垂直的性质，故②正确； 对③，直线,n m 可能异面，故③错误；对④，取直线,n m 分别为直线11A B 、11C D ，α为平面ABCD ，显然,n m 平行，故④错误； 故答案为：②. 【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 8．已知函数()25f x x x =-，数列{}n a 的通项公式为()*6n a n n n=+∈N ．当()14n f a -取得最小值时，n 的所有可能取值集合为______．【答案】{}1,6；【解析】令()25()1420.252n n g n f a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，借助导数得出5n a ≥，要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25，令26520.252n n ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解出n 的值，即可得出答案. 【详解】令()225()1451420.252n n n n g n f a a a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭令6(),0h x x x x =+>，22266()1x h x x x -'=-=()0()00h x x h x x ''>⇒><⇒<<则函数()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增 由26252a =+=，36353a =+=，得数列{}n a 的最小值为5，即5n a ≥ 要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25∴令26520.252n n ⎛⎫+-=⎪⎝⎭ 652n n ∴+-=5n a ≥62.57n n∴+=+= 解得1n =或6即n 的所有可能取值集合为{}1,6 故答案为：{}1,6 【点睛】本题主要考查了确定数列中的最小项，属于中档题. 9．下列四个命题：①函数()sin f x x x =是偶函数；②函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是π；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到()3sin 2f x x =的图象；④函数()sin 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上是减函数． 其中是真命题的是______．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③；【解析】①利用函数奇偶性的定义判断；②将函数转化为()cos2f x x =-判断；③利用图象的变换判断；④将函数转化为()cos f x x =-判断. 【详解】①因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 是偶函数，故正确； ②因为()4422sin cos sin cos cos2f x x x x x x =-=-=-，所以()f x 最小正周期是π，故正确；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 23sin 263y x x π⎡π⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故正确；④因为()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,π上是增函数，故错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意的正整数n 都有11n n a a +⋅≠，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，则2012S =______．【答案】4023．【解析】再写一式，两式相减可推断出3n n a a +=，进而可知数列{}n a 是以3为周期的数列，通过11a =，22a =，求得3a ，而201236702=⨯+，故可知2012S 的答案． 【详解】依题意可知，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++， 两式相减得12121()n n n n n n a a a a a a ++-+--=-，11n n a a +≠，210n n a a +-∴-=，即3n n a a +=， ∴数列{}n a 是以3为周期的数列，123123a a a a a a =++，33a ∴= 2012670(123)124023S ∴=⨯++++=故答案为：4023． 【点睛】本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性． 11．常数a ，b 和正变量x ，y 满足16a b ⋅=，212a b x y +=，若2x y +的最小值为64，则b a =______． 【答案】64【解析】由()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()()2224242432bx ay a b a b a b y x ⎛⎫=+++≥++=++ ⎪⎝⎭所以()243264a b ++=，416a b +=，又16ab =，所以8a =，2b =，64b a =． 故答案为：64 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.12．已知ABC 中，AB 边上的中线2CM =，若动点P 满足()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是______．【答案】2-【解析】由条件可得P 在线段CM 上，然后()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设PMx =，则可得()()22PA PB PC x x +⋅=--，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】 由()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈， 得22sin cos AP AM AC θθ=+，因为22sin cos 1θθ+=，P 在线段CM 上()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设,02PM x x =≤≤，则()()2222(1)22PA PB PC x x x +⋅=--=--≥-．故答案为：2-【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，注意应用三点共线的充要条件，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.13．若函数()()30f x x ax a -=>的零点都在区间[]10,10-上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值的个数为______．【答案】3【解析】由()0f x =以及题设条件得出100a ≤，利用导数得出函数()f x 的单调性以及极大值，进而确定方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上，再21000100x x-≤得出11,12,13x =，从而得出a 取值的个数. 【详解】函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上 又()32()0f x x ax x x a =-=-=,令()0f x = 0x ∴=或x a =函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上10100a a ∴≤()f x '=23x a -,令()0f x '=解得3a x =当3a x >或3a x <-时,()0f x '> 当33aax -<<时,()0f x '< 则函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭，,3a⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减 ∴当3ax =-时,有极大值,32()()()3333333a a a a a f a -=--⨯-=≤1000,(10)100010100033f a <=-< 结合函数的单调性3()(0)f x x ax a =->，知方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上此时令31000x ax -=,可得21000x a x-= 此时有21000a x x =-,由于x 为大于10的整数 由上知21000100x x-≤,令11,12,13x =时,不等式成立 当14x =时,有21000614196711001414-=-> 故可得a 的值有三个 故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.14．设,a b 均大于1的自然数，函数()()()sin ,cos f x a b x g x b x =+=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=___________． 【答案】【解析】试题分析：由题设可得,即,因,且存在使得这个式子成立,所以,因为,所以,即,也即,当时,,此时不成立;当时,,,不等式成立;当时,,则,矛盾, 不等式成立.故,则,应填答案.【考点】三角变换公式、正弦函数的有界性及不等式成立的条件的综合运用． 【易错点晴】本题设置了一道以方程()()f m g m =为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在转化化归思想的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的信息,将问题等价转化为方程,即有解问题.解答时先利用构造不等式,然后再分析推证,从而获得答案.二、解答题15．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （I ）求角B 的大小；（Ⅱ）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=⋅-， ∴C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2+=⋅A CB sin )sin(=+=∵π<<A 0，∴0sin ≠A ，∴21cos =B ， 又π<<B 0，∴3π=B ． …………………………………………………………6分（Ⅱ）A A n m 2cos sin 3+=⋅A A 2sin 21sin 3-+=817)43(sin 22+--=A ，………8分 ∵ABC ∆是锐角三角形，3π=B ，AC -=32π， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<232020πππA A ⇔26ππ<<A ，………………………………………………10分∴)1,21(sin ∈A ，∴当43sin =A 时，n m ⋅取最大值817；且2>⋅n m ， ∴]817,2(∈⋅n m ． …………………………………………………………………12分【解析】略16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BAC ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）//MN 平面11ACC A ，证明见解析.【解析】（1）根据1CC ⊥平面ABC ，得到1CC AB ⊥．又90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）//MN 平面11ACC A ，取AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ，由三角形中位线得到1//,2DN AB DN AB =，从而11//,A M DN A M DN =，得到四边形1A DNM 是平行四边形，所以1//A D MN ，再由线面平行的判定定理证明.【详解】（1）因为1CC ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以1CC AB ⊥． 因为90BAC ∠=︒， 所以AC AB ⊥， 且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ， 所以AB AC ⊥．（2）//MN 平面11ACC A ．证明如下：如图所示：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ． 因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =． 又11112A MA B ， 而1111//,=A B AB A B AB ， 所以11//,A M DN A M DN =． 所以四边形1A DNM 是平行四边形． 所以1//A D MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， 所以//MN 平面11ACC A ． 【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定定理以及平面几何知识，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题. 17．已知函数()lg(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数. (1)求函数()f x 的定义域；(2)当(1,4)a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； (3)若对任意[2,)x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围.【答案】（１）当1a >时，定义域为()0,∞+，当1a =时，定义域为()()0,11,+∞，当01a <<时，定义域为(()0,11⋃+∞；（２）lg 2a ；（３）()2,+∞． 【解析】（１）由20ax x+->对a 分两种情况：一、1a >；二、01a <<．求两种情况下定义域；（２）令()2a g x x x =+-，求导知()2ag x x x=+-在[)2,+∞上是增函数，由此得()f x 在[)2,+∞上为增函数，最小值为()2lg 2af =；（３）本题转化为21a x x+->即23a x x >-恒成立，进而转化为求2()3h x x x =-在[)2,x ∈+∞的最大值．【详解】（1）由20a x x +->,得220x x ax-+>,1a >时,220x x a -+>恒成立, 定义域为()0,∞+,1a =时, 定义域为()()0,11,+∞，01a <<时, 定义域为(()0,11⋃++∞.（2）设()2ag x x x=+-,当()1,4a ∈时， [)2,x ∈+∞,()222'10a x ag x x x -=-=>恒成立, ()2ag x x x∴=+-在[)2,+∞上是增函数, ()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上的最小值为()2lg 2a f =.（3）对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,即21ax x+->对[)2,x ∈+∞恒成立.23a x x ∴>-, 而()2239324h x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭在[)2,x ∈+∞上是减函数,()()max 2 2.2h x h a ∴==∴>, 即a 的取值范围为()2,+∞. 【考点】对数函数的定义域；导数求函数单调性；二次函数的最值． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1517a a +=． （1）若{}n a 为等差数列，且856S = ①求该等差数列的公差d ；②设数列{}n b 满足3nn b a =⋅，则当n 为何值时，n b 最大？请说明理由；（2）若{}n a 还同时满足： ①{}n a 为等比数列; ②2416a a =；③对任意的正整数k 存在自然数m ，使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，试求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）①1d =-；②当10n =或11n =时，n b 最大；（2）()12n n a -=-.【解析】（1）①利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d ；②求出{}n a 的通项公式，进而得到{}n b 的通项公式，利用1n n b b +-，判断{}n b 的单调性，进而得解；（2）根据等比数列的性质，并结合1517a a +=，初步确定{}n a 的通项，再根据等差数列的性质，即可求得{}n a 的通项公式. 【详解】（1）①由1517a a +=，856S =，得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩﹐解得1212a =，1d =-，该等差数列的公差1d =-. ②由①知1212a =，所以()()()1211112232n a a n n d n =+-=+-⨯=--， 则23332nnn n n a b ⎛⎫==⋅-⎝⋅⎪⎭， 1121233322n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=⋅--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21233322n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]2310n n =⨯⋅-所以1110b b =，且当10n ≤ 时，{}n b 单调递增，当11n ≥时，{}n b 单调递减， 故当10n =或11n =时，n b 最大.（2）因为{}n a 是等比数列，则241516a a a a ==， 又1517a a +=， 所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩，由15116a a =⎧⎨=⎩，得141116a a q =⎧⎨=⎩，解得1q =±， 由15161a a =⎧⎨=⎩，得141161a a q =⎧⎨=⎩，解得12q =±，从而12n na 或()12n n a -=-或11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭或11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，得22k k m S S S +=+，而公比1q ≠， 所以()()()21111112111k k m a q a q a q qqq+---=+---，即22k k m q qq +=+，从而22m kq q -=+（）当12n na 时，（）式不成立；当()12n n a -=-时，解得1m k =+；当11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭时，（）式不成立；当11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭时，（）式不成立．综上所述，满足条件的()12n n a -=-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性、等比数列的前n 项和公式、等差数列的性质及等比数列的性质，考查基本公式的应用及运算求解能力，熟记公式是本题的解题关键，属于中档题. 19．给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； ②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（2）设正三角形铁皮的边长为a ，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【答案】（1）①答案见解析；②V V >柱锥；（2）当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ． 【解析】①可以利用正三角形的图形特征，进行分割 ②直接求解比较大小即可 (2) 设箱底边长为x ，列出()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<，利用求导的方法求出最值点，据此即可求解 【详解】解：（1）①如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形， 其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起， 可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． ②依上面剪拼方法，有V V >柱锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形， 其面积为3．现在计算它们的高： 22361323h ⎛⎫=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭锥，13tan 3026h =︒=柱． 1336332203469424V V h h ⎛⎫-⎛⎫-=-⋅=-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭柱锥锥柱 所以V V >柱锥．（2）设箱底边长为x ，则箱高为()302a xh x a -=<<， 箱子的容积为()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<﹒ 由()213048V x ax x '=-=解得10x =（舍），223x a =，且当20,3x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '>；当2,3x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<， 所以函数()V x 在23x a =处取得极大值，这个极大值就是函数()V x 的最大值：2332121213838354V a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答：当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于中档题.20．设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()()()3,033,3x x x f x x a x x ⎧-≤≤⎪=⎨-->⎪⎩（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式； （3）若方程()f x m =有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．【答案】（1）()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩；（2）()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；（3）a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【解析】（1）设30x -<、3x <-，利用已知函数的解析式，即可求得结论； （2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[5-，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；（3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则当方程()f x m =在[3-，3]上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327()416m f ==，且要求27()16f x <对(3,)x ∈+∞恒成立，由此可得结论． 【详解】解：（1）当-<3≤0x 时，()()()()()33f x f x x x x x =-=-+=-+ 同理，当3x <-时，()()()()()()33f x f x x a x x a x =-=--+=-++，所以，当0x <时，()f x 的解析式为()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值，①当3a ≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭②当37a <≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时只需比较3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()23324a a f -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小． （i ）当36a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（ii ）当67a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()23324a a g a f -+⎛⎫==⎪⎝⎭③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()3952524f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭， 所以()()()525g a f a ==-.综上所述，()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩． （3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ．①当方程()f x m =在[]3,3-上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327416m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且要求()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立． （i ）当3a ≤时，()f x 在()3,+∞上单调递减，所以()()273016f x f <=<对()3,x ∈+∞恒成立，即3a ≤适合题意．（ii ）当3a >时，欲()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立，只要()233272416a a f -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，解得3a <+33a <<．②当方程()f x m =在[]3,3-上有两个实根时，3924m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且232x =-，332x =， 所以必须满足43932x x =+=，且3922a +=，()2339244a a f -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得6a =． ③当方程()f x m =在[]3,3-上无实根时，()233932424a a f m f -+⎛⎫⎛⎫=<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332a+>， 由4332x x x -=，433x x a +=+，解得334a x +=，()4334a x +=， 所以()()()3339134416a a a a m f f +--⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且由()()3919164a a m --=>，解得5a >+综上所述，a 与m 满足的条件为2716m =且3a <94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于难题．。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(二)附答案解析
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。
2020届江苏省高三高考全真模拟(二)数学试题(解析版)
2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。
江苏省天一中学2020届高三第一次模拟考试数学试题II卷
2020届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试
数学II(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==22321t y t x （t 为参数），在以坐
标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是)4
sin(24θπρ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于两点B A ，，求线段AB 的长．
C .[选修4—5：不等式选讲
]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号。
【20套精选试卷合集】江苏省天一中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,0}A =-，集合{0,1,2}B =，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．322、已知i 是虚数单位，若复数(1)z i i =-的实部为A ．1B ．-1C ．iD ．i -3、命题“2,x R x ∃∈是无理数”的否定是A ．2,x R x ∃∉不是无理数B ．2,x R x ∃∈不是无理数C ．2,x R x ∀∉不是无理数D ．2,x R x ∀∈不是无理数4、已知向量(2,1)a =-与(,3)b m =平行，则m =A ．32-B ．32C ．6-D ．6 5、某年级有1000名学生，随机编号为0001,0002,,1000，现在系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是A ．0116B ．0927C ．0834D ．0726A ．4[0,]3B ．4[2,]3-C ．[0,6]D ．[2,6]-A ．4[0,]3B ．4[2,]3-C ．[0,6]D ．[2,6]-A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 6、已知函数()21log (4),412,4x x x f x x --<⎧=⎨+≥⎩，则4(0)(log 32)f f += A ．19 B ．17 C ．15 D ．137、在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:A B C =，则cos C =A B ．13 D ．148、将双曲线22221x y a b-=的右焦点，右顶点，虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线22:4C x y -=的“黄金三角形”的面积是A 1B ．2-C ．1D ．29、已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点(1,1)ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =A ．1e e -B ．21e e -C ．12e e -D ．212e e- 10、给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的的x 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A ．82π+B ．102π+C ．62π+D ．122π+11、已知函数()cos sin (0)f x wx wx w ==>在(,)22ππ-上单调递增，则w 的取值不可能为 A ．15 B ．14 C ．12 D ．34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。
2020年无锡市天一中学考前热身模拟数学试题(二)及答案解析
2020年无锡市天一中学考前热身模拟数学试题(二)一、单选题1．已知3log 0.8a =，0.62b =，0.823c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c << 2．4名护士和2名医生站成一排，2名医生不能相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．480B ．240C ．600D ．20 3．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．02⎛ ⎝⎭，B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．0⎛ ⎝⎭D ．0⎛ ⎝⎭4．已知全集U =R ，设集合{}1A x x =<∣，集合{}2B x x =≥，则A B ⋂R 是（ ）A ．{}1xx <∣ B ．{}2x x >∣ C ．{}12x x <≤ D ．{}12x x ≤< 5．若4sin 5θ=-，则cos2θ等于（ ）A ．725B ．725-C ．D 6．已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >> B ．m n p >> C ．m p n >> D ．p n m >>7．一个几何体三视图所示，侧视图上的数值是对应线段的长度，则该几何体的体积为A ．3πB ．73πC ．72π D．π+8．已知函数()f x满足(1)1()f x x R +=∈，则()()12020f f +的最大值是（ ）A．2B ．2 C．2+ D ．4二、多选题9．在给出的下列命题中，正确的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为()c a b R λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭则ABC ∆为等腰三角形D ．已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形10．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，且满足11a >、202020211a a ⋅>、20202021101a a -<-，则下列结论中错误的是（ ） A ．0q <B ．2021202210a a ⋅->C ．2020T 是数列{}n T 中的最大值D ．20202021S S >11．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）A ．2张卡片不全为红色B ．2张卡片恰有一张红色C ．2张卡片至少有一张红色D ．2张卡片都为绿色12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，下列命题为真命题的是（ ） A ．()()()F x f x g x =-在⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,0-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-三、双空题13．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *∈，则4a ＝_______；若1a ＝2，则20S ＝_______．四、填空题14．()()422a b a b ++的展开式中，各项系数和为__________．15．已知三角形的边长分别为6，__________. 16．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为______.五、解答题17．设向量)sin ,sin cos 2x x x a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos ,sin cos b x x x =+，x ∈R ，记函数()f x a b =⋅ （1）求函数()f x 的对称轴及对称中心；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12f A =，a =求ABC ∆面积的最大值.18．如图，已知在三棱锥A BCD -中，2AB AC AD BD ====，90BCD ∠=，60DBC ∠=，E 、G 分别是BD 、CE 的中点，F 是AD 边上一点，且AF AD λ=(01λ<<)，平面ABG 与平面EFG 所成的二面角为θ.（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）是否存在λ，使tan 5θ=？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.19．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为1(1,0)F -及2(1,0)F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1||AF 、12||F F 、2||AF 构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1GF D ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由.20．已知函数f(x)=lnx-ax(a ∈R)．（1）若函数f(x)单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当a ＞0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．21．已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+．（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈，求数列{}n c 的通项公式．22．甲.乙两位同学参加数学建模比赛.在备选的5道题中，甲答对每道题的概率都是23；乙能答对其中的3道题.甲乙两人都从备选的5道题中随机抽出3道题独立进行测试.规定至少答对2道题才能获奖.（1）求甲答对的题数X 的分布列和数学期望；（2）求甲乙至少有一人获奖的概率.【答案与解析】1．C利用指数函数与对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 的大小关系.对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则33log 0.8log 10a =<=；指数函数2xy =为R 上的增函数，则0.60221b =>=； 指数函数23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，则0.8022033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即01c <<. 因此，a c b <<.故选：C. 本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于基础题.2．A根据插空法求解即可.先安排4名护士，有44A 种方法再从产生的5个空位选两个排2名医生，有25A 种方法最后根据分布计数原理得不同的排法种数为：2454480A A = 故选：A本题考查利用插空法解决不相邻问题，考查基本分析求解能力，属基础题.3．A分别求出线段F A 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出．如图所示，线段FC 的垂直平分线为：x =， 线段BC 的中点122b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，把x m ==代入上述方程可得：y n ==． ∵0m n +>，∴21022b b-．化为：b 01b <<，解得12b <．∴02c e c a ⎛ ⎝⎭==，． 故选：A ．本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.4．A先求补集B R ，再根据交集定义可求得结果. 因为{}2B x x =≥，所以{}|2B x x =<R ，又集合{}1A x x =<∣， 所以A B ⋂=R {}1x x <∣，故选：A.5．B 直接利用二倍角的余弦公式进行计算，即可得答案；2167cos 212sin 122525θθ=-=-⨯=-， 故选：B. 本题考查二倍角的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题.6．A先转化对数式为指数式，求解,m n ，再转化2152014225612433m n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，再利用中间值2，可比较,m p 的大小，即得解依题意，54m =，故125542m ==；而89n =，故118493n ==， 所以122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以m n >， 因为0.80.8log 0.5log 0.642p =>=，2522m =<，所以p m n >>故选：A本题考查了指数式对数式大小的比较，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题7．A几何体为半个圆柱（底面为半径为1的圆，高为4）与一个圆柱（底面为半径为1的圆，高为1）的组合体，体积为221411132πππ⨯⨯⨯+⨯⨯= ，选A 8．C将条件进行平方，利用作差法构造函数()()()22g x f x f x =-，然后利用基本不等式的性质，转化为关于()()12020f f +的一元二次不等式，进行求解即可．由()()11f x x R +=∈， 得()()220f x f x -≥，得()02f x ≤≤，平方得()()()22112f x f x f x +=+-，①又()212f x +=+②②－①得()()2211f x f x +-+()()2212f x f x ⎡⎤=++-⎣⎦()()212f x f x ⎡⎤=--⎣⎦，即()()()()2221121f x f x f x f x +-++-=，③设()()()22g x f x f x =-，则③等价为()()11g x g x ++=，即()()()()2111g x g x g x g x +++=++=，∴()()2g x g x +=，则()()()()()()()()0242020,1352021g g g g g g g g ========，则()()()()12020101g g g g +=+=，∴()()()()222112202020201f f f f -+-=，即()()()()22212020120201f f f f ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦即()()()()()()2212020120202120201f f f f f f ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()221202021202011202021202022f f f f f f f f ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=++-+≤⨯⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()21120202f f ⎡⎤=+⎣⎦， 设()()12020t f f =+，则不等式等价为221122t t t +-≤， 整理得2420t t -+≤，得22t ≤≤+，即()()2120202f f ≤+≤+则()()12020f f +的最大值为2故选C ．本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为。
2020年无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)(含答案解析)
2020年无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，则A∪B=______ ．2.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=________．3.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是______ ．4.已知样本数据为7，8，10，12，13，则其方差的值为______．5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．7.已知双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为______ ．8.已知cosα+sinα=12，则sin2α=______ ．9.设函数f(x)的导函数为f′(x)，且2f′(x)<f(x)(x∈R)，f(2)=e(e为自然对数的底数)，则不等式f(lnx)>x 12的解集为______ ．10.求函数y=log3(|x|+2)的最小值为__________。
11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．12. 若−4<a <−1,2<b <3，则ab 的取值范围是 ． 13. 已知函数f(x)=4−xln3x ，则当x =__________时，f(x)有最大值．14. 已知A ，B 是圆C 1：x 2+y 2=1上的动点，AB =√3，P 是圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=1上的动点，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为________．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. 在四棱锥M −ABCD 中，平面MAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =2，AM =AD =3，MD =3√2，E ，F 分别为线段BC ，MD 上一点，且CE =1，DF =√2．(1)证明：AM ⊥BD ；(2)证明：EF//平面MAB，并求三棱锥D−AEF的体积．17.如图，将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器．(1)若这个容器的底面边长为x，容积为y，写出y关于x的函数关系式并注明定义域；(2)求这个容器容积的最大值．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5．(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M的圆心M(−78,0)，半径为r.点P为椭圆上的一点，若圆M与直线PA,PF都相切，求此时圆M的半径r．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n+1=S n+2a n+5．(1)证明：{a n+5}是等比数列；(2)若S n+5n>128，求n的最小值．x3+ax2+(2a−1)x(a∈R)．20.已知函数f(x)=13(Ⅰ)若f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)当a=−1时，设f(x)在x1，x2(x1<x2)处取到极值，记M(x1,f(x1)).A(0,f(0))，B(1,f(1))，C(2,f(2))，判断直线AM、BM、CM与函数f(x)的图象各有几个交点(只需写出结论)．【答案与解析】1.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：4−i解析：本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：−2解析：本题考查程序框图，属于基础题．直接模拟程序即得结论．解：初始值x=116，不满足判断条件，则．故答案为−2．4.答案：265解析：本题考查了方差的公式，属于基础题．将数据直接代入方差计算公式可得答案．解：因为样本平均数x=7+8+10+12+135=10，故方差s2=15[(7−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=265，故答案为265．5.答案：34解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用分步乘法原理，分别计算出甲、乙两名学生任选一门选修课程的情况总数和满足他们选修的课程互不相同的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：设选修4门课程名称为A，B，C，D甲、乙两名学生选修课程名称记为(x,y)，则共有4×4=16种不同情况，其中他们选修的课程互不相同的事件有4×3=12种不同情况，故他们选修的课程互不相同的概率P=1216=34，故答案为：34．6.答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1.根据题意，由等比数列前n项和公式可得S3=a1(1−q3)1−q =7，S6=a1(1−q6)1−q=63；变形可得1+q3=9，解可得q的值，将q的值代入S3=a1(1−q3)1−q=7，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}满足S3=7，S6=63，则其公比q≠1，若S3=7，则a1(1−q3)1−q=7；S6=63，则a1(1−q6)1−q=63；变形可得：1+q 3=9，解可得q =2；又由a 1(1−q 3)1−q =7，解可得a 1=1．故答案为17.答案：y =±√3x解析：解：∵椭圆x 225+y 29=1的焦点为(4,0)(−4,0)，故双曲线中的c =4，且满足c a =2，故a =2，b =√c 2−a 2=2√3，所以双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±√3x故答案为：y =±√3x先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c 值，再由离心率求出a 的值，最后根据b =√c 2−a 2得到b 的值，可得到渐近线的方程．本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．8.答案：−34解析：解：∵cosα+sinα=12，平方可得1+sin2α=14，则sin2α=−34，故答案为：−34．把所给的等式平方，利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题． 9.答案：(0,e 2)解析：解：可构造函数F(x)=f(x)e x 2， F′(x)=f′(x)−12f(x)e x 2，由2 f′(x)<f (x)，可得F′(x)<0，即有F(x)在R 上递减，不等式f(lnx)>x 12即为f(lnx)e lnx 2>1，(x >0)， 即有F(2)=f(2)e =1，即为F(lnx)>F(2)，由F(x)在R 上递减，可得lnx <2，解得0<x <e 2，故答案为：(0,e 2).构造函数F(x)，求出导数，判断F(x)在R 上的单调性．原不等式等价为F(lnx)>F(2)，运用单调性，可得lnx <2，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法． 10.答案：log 32解析：令t =|x |+2≥2，所以y =log 3t ≥log 32，所以函数y =log 3(|x |+2)的最小值为log 32． 11.答案：(3,134]解析：本题主要考查函数与方程的综合知识，首先求出函数f(x)的导数，可得f(x)单调递增，解得f(x)=0的解为x 1=2，由题意可得g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，通过判别式对称轴等可求得a 的取值范围，难度中等．解：函数f(x)=e x−2+x −3的导数为f ′(x)=e x−2+1>0，∴f(x)在R 上单调递增，由f(2)=0，可得x 1=2，又存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|⩽1和|x 1−x 3|⩽1同时成立，∴存在实数x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得g(x 2)=g(x 3)=0，且|2−x 2|⩽1和|2−x 3|⩽1同时成立， 即g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，则{ g (1)=−2a +7≥0g (3)=−4a +13≥0Δ=(a +1)2−4(−a +7)>01<a+12<3，解得3<a ≤134， 即a 的取值范围为(3,134] 12.答案：−12<ab <−2解析：【试题解析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质先求出−ab 的范围，即可求得ab 的取值范围．解：∵−4<a <−1，∴1<−a <4，又2<b <3，∴2<−ab <12，∴−12<ab <−2．故答案为−12<ab <−2．13.答案：13e解析：依题意知：原函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=−ln3x −x ⋅33x=−ln3x −1，令f′(x)>0,⇒0<x <13e .令f′(x)<0⇒x >13e ，所以函数f(x)在(0,13e )单调递增，在(13e ,+∞)单调递减，∴当x =13e 时，f(x)有最大值．14.答案：[7,13]解析：本题考查了平面向量中向量的数量积知识点．取AB 的中点H ，则|PA +PB|=2|PD|,|C 1D|=√1−34=12,根据圆的对称性，可得C 1,C 2,P,D 共线时,|PD|取得最值，可得结论．解：因为A ，B 是圆C 1：x 2+y 2=1上的动点，AB =√3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2+y 2=14上，且|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． 因为点P 是圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=1上的动点，所以5−32≤|PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5+32，即72≤|PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤132， 所以7≤2|PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13， 从而|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[7,13]．15.答案：解：(1)f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)．所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2得kπ+38π≤x≤kπ+78π，k∈Z．所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8]，k∈Z．(2)因为0≤x≤π2，所以−π4≤2x−π4≤3π4．所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，函数f(x)有最大值f(3π8)=√2，当2x−π4=−π4,即x=0时，函数f(x)有最小值f(0)=−1.解析：本题考查二倍角公式、两角和与差的三角函数及正弦函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)利用二倍角公式及两角和与差的三角函数可得f(x)==√2sin(2x−π4)，进而利用正弦函数的图象与性质即可求得结果；(2)根据题意可得−π4≤2x−π4≤3π4，进而利用正弦函数的性质即可求得结果．16.答案：证明：(1)∵AM=AD=3,MD=3√2，∴AM2+AD2=MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，，∴AM⊥平面ABCD，又BD在平面ABCD内，∴AM⊥BD．(2)在棱AD上取一点N，使得ND=1，连接NE，NF，∵CE=1，∴CE=ND，又BC//AD，∴EC//ND，∴四边形CEND为平行四边形，∴EN//CD，又AB//CD，∴EN//AB，∵NDAD =FDMD=13，∴FN//AM，∵FN∩EN=N，．，∴平面ENF//平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF//平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD=13MD，AM=3，∴F 到平面ABCD 的距离为１３AM =1，∴V D−AEF =V F−ADE =13×1×12×3×2=1．解析：本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出AM ⊥AD ，从而AM ⊥平面ABCD ，由此能证明AM ⊥BD ；(2)在棱AD 上取一点N ，使得ND =1，连接NE ，NF ，可得EN//AB ，FN//AM ，从而平面ENF//平面MAB ，进而EF//平面MAB ，由V D−AEF =V F−ADE ，能求出三棱锥D −AEF 的体积．17.答案：解：(1)∵容器的底面边长为x ，则高为√3(6−x)6(0<x <6)， ∴容积y =√34x 2⋅√3(6−x)6=6x 2−x 38(0<x <6)； (2)由(1)得，y ′=18(−3x 2+12x)(0<x <6)，令y ′=0，则x =0(舍)，或x =4，∴函数y 在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，∴当x =4时，y max =4，∴这个容器的体积最大为4．解析：本题考查了棱柱的体积和利用导数研究函数的单调性与最值，属基础题．根据已知中箱子的制作方法，y 的解析式后求导，根据单调性得到最值点即可．18.答案：解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF =5. ∴{c a =14a +c =5， 解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ， ∴椭圆C 的方程为：x 216+y 215=1 . (2)由题意得：A(−4,0),F(1,0)，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x 0216+y 0215=1． ①当x 0=1时，直线PF:x =1，与圆M 相切，则R =1−(−78)=158， 不妨取P(1,154)，直线PA:y =1541−(−4)(x +4)，即3x −4y +12=0． ∴点M 到直线PF 的距离为|3×(−78)+12|√32+42=158=r ，∴直线PF 与圆M 相切∴当r =158时，圆M 与直线PA,PF 都相切. ②当x 0=−4时，点P 与点A 重合，不符合题意；③当x 0≠1且x 0≠−4时，直线PA:y =y 0x 0+4(x +4),PF:y =y 0x 0−1(x −1)化简得：PA:y 0x −(x 0+4)y +4y 0=0,PF:y 0x −(x 0−1)y −y 0=0，∵圆M 与直线PA,PF 都相切 ∴|−78y +4y |0202=|−78y −y |0202=r . ∵y 0≠0，又y 02=15(1−x 0216)代入化简得：x 02−122x 0+121=0， 解得：x 0=1或x 0=121，∵−4<x 0<4且x 0≠1， ∴无解 ．综上：r =158.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及直线与椭圆的位置关系，题目有难度．(1)由已知，{c a =14a +c =5，解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ，可得椭圆的标准方程； (2)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，讨论x 0的取值，求得直线PA,PF 的方程，若圆M 与直线PA,PF 都相切，求得圆心M 与直线直线PA,PF 的距离，求得r ． 19.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2，而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n =3×(2+22+23+⋯+2n )−5n=3×2×(1−2n )1−2−5n =6×2n −6−5n ，由S n +5n =6×2n −6>128，得2n >673， 因为25>673>24，所以S n +5n >128时，n 的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n +5，然后证明{a n +5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n 项和，然后化简不等式求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意f′(x)=x2+2ax+2a−1，…(1分)因为f(x)在(0,0)点处切线方程为y=x，所以f′(0)=2a−1=1，解得a=1，经检验a=1时满足条件．…(3分)(Ⅱ)由(I)f′(x)=x2+2ax+2a−1=(x+1)(x+2a−1)令f′(x)=0，则x=−1或x=1−2a，…(4分)①当a>1时，1−2a<−1，令f′(x)>0，解得x<1−2a或x>−1；令f′(x)<0，解得1−2a<x<−1．所以函数f(x)的单调增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞)，单调减区间为(1−2a,−1).…(6分)②当a=1时，1−2a=−1，此时，f′(x)≥0恒成立，且仅在x=−1处f′(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为(−∞,+∞).…(7分)③当a<1时，1−2a>−1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调减区间为(−1,1−2a).…(9分)(Ⅲ)直线AM与f(x)的图象的交点个数是3个；…(10分)直线BM与f(x)的图象的交点个数是3个；…(11分)直线CM与f(x)的图象的交点个数是2个．…(13分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；(Ⅱ)通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅲ)a=−1时，求出直线和f(x)的交点个数，写出结论即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。
2020年江苏省无锡市高考数学模拟试卷解析版
2020年江苏省无锡市高考数学模拟试卷解析版一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）已知集合M ＝{0，1，2}，集合N ＝{0，2，4}，则M ∪N ＝ {0，1，2，4} ．【解答】解：∵集合M ＝{0，1，2}，集合N ＝{0，2，4}，∴M ∪N ＝{0，1，2，4}，故答案为：{0，1，2，4}．2．（5分）已知复数z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 2的值为 ﹣3+4i ．【解答】解：复数z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 2＝1﹣4+4i ＝﹣3+4i ．故答案为：﹣3+4i ．3．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 56 ．【解答】解：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为C 1、C 2，则一次取出2只球，基本事件为AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C 2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2共5种；所以所求的概率是P =56，故答案为：56． 4．（5分）某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝ 63 ．【解答】解：∵高二年级被抽取的人数为21，∴21600=n 1800，得n ＝63，故答案为：63．5．（5分）执行如图所示的伪代码，输出的结果是 8 ．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝1，I ＝2满足条件S ≤100，执行循环体，I ＝4，S ＝4满足条件S ≤100，执行循环体，I ＝6，S ＝24满足条件S ≤100，执行循环体，I ＝8，S ＝192此时，不满足条件S ≤100，退出循环，输出I 的值为8．故答案为：8．6．（5分）若曲线f （x ）＝mxe x +n 在（1，f （1））处的切线方程为y ＝ex ，则m +n ＝e+12 ． 【解答】解：将x ＝1代入y ＝ex 得切点为（1，e ），所以e ＝me +n ……①，又f ′（x ）＝me x （x +1），∴f ′（1）＝2em ＝e ，∴m =12⋯⋯②，联立①②解得m =12，n =e 2，故m +n =e+12．故答案为：e+12．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线y 2＝4x 与双曲线x 24−y 2b 2=1（b＞0）一个交点，若抛物线的焦点为F ，且F A ＝5，则双曲线的渐近线方程为 y ＝±2√33x ． 【解答】解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，且F A ＝5，可得F （1，0）则A （4，±4）， 点A 是抛物线y 2＝4x 与双曲线x 24−y 2b =1（b ＞0）一个交点，a ＝2， 可得424−16b =1，解得b =4√33， 所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2√33x ． 故答案为：y ＝±2√33x ． 8．（5分）已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，若a 3＝2，S 12＝4S 6，则a 9的值为 2或6 ．【解答】解：∵在等比数列中，a 3＝2，S 12＝4S 6，∴若公比q ＝1，则S 12≠4S 6，。
【精准解析】江苏省无锡市天一中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题
江苏省天一中学2020届第二学期高三综合检测试题数学Ⅰ一、填空题1.命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是______． 【答案】()1,2x ∃∈，21x ≤ 【解析】 【分析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】由全称命题的否定可知，命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是：()1,2x ∃∈，21x ≤. 故答案为：()1,2x ∃∈，21x ≤.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，已知该数列前10项的和为10120S =，那么56a a +=______． 【答案】24； 【解析】 【分析】根据等差数列的前10项和以及等差数列的性质，即可得答案； 【详解】1101011010()120120242a a S a a ⋅+=⇒=⇒+=，1510624a a a a +==+，故答案为：24.【点睛】本题考查等差数列的前n 和项公式以及等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题.3.若幂函数ny mx =（m ，n R ∈）的图象经过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=______．【答案】13【解析】 【分析】根据幂函数的定义及图象过点，可得,m n 的值，即可得答案；【详解】幂函数ny mx =（m ，n R ∈），∴1m =，∴321282243n n n -=⇒=⇒=-， ∴13m n +=，故答案为：13.【点睛】本题考查根据幂函数的定义及图象过点求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 4.已知(1,2)a m =，(2,)b m =-，则“1m =”是“a b ⊥”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要； 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当1m =时，()122220a b m m ⋅=⨯+⨯-=-=，即a b ⊥ 当a b ⊥时，()2122220a b m m m ⋅=⨯+⨯-=-=，解得1m =±即“1m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，涉及了向量垂直的坐标公式，属于中档题. 5.设直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线，则实数b 的值是______． 【答案】3ln33-+； 【解析】 分析】设出切点坐标()00,x P x e，利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】,x x y e y e '=∴=设切点()00,x P x e则在点P 处的切线方程为()000xx y e ex x -=-整理得0000x x xy e x e x e =-+直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线003,ln 3x e x ∴==，0003ln 33x x e x e b =--+=+故答案为：3ln33-+【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题题.6.在ABC 中，14a =，b =60B =︒，则c =______．【答案】(71； 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可知(2221142142c c =+-⨯⨯⨯即214980c c --=解得：(71c =+或(71c =（舍）故答案为：(71【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.7.设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①若m n ⊥，m α⊂，则n α⊥； ②若m α⊥，//n m ，则n α⊥； ③若//n α，m α⊂，则//n m ； ④若//m α，//n α，则m n ⊥； 其中真命题是______．（写出所有真命题的序号） 【答案】②； 【解析】 【分析】对①，n 不一定垂直α；对②，根据线面垂直的性质；对③，直线,n m 可能异面；对④，,n m 可能平行.【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，对①，取直线n 为1AA ，直线m 为CD ，平面α为面11A B CD ，显然n α⊥不成立，故①错误；对②，根据线面垂直的性质，故②正确； 对③，直线,n m 可能异面，故③错误；对④，取直线,n m 分别为直线11A B 、11C D ，α为平面ABCD ，显然,n m 平行，故④错误； 故答案为：②.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 8.已知函数()25f x x x =-，数列{}n a 的通项公式为()*6n a n n n=+∈N ．当()14n f a -取得最小值时，n 的所有可能取值集合为______． 【答案】{}1,6； 【解析】 【分析】令()25()1420.252n n g n f a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，借助导数得出5n a ≥，要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25，令26520.252n n ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解出n 的值，即可得出答案. 【详解】令()225()1451420.252n nn n g n f a a a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭令6(),0h x x x x =+>，22266()1x h x x x -'=-=()0()00h x x h x x ''>⇒><⇒<<则函数()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增 由26252a =+=，36353a =+=，得数列{}n a 的最小值为5，即5n a ≥ 要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25∴令26520.252n n ⎛⎫+-=⎪⎝⎭ 652n n ∴+-=5n a ≥62.57n n∴+== 解得1n =或6即n 的所有可能取值集合为{}1,6 故答案为：{}1,6【点睛】本题主要考查了确定数列中的最小项，属于中档题. 9.下列四个命题：①函数()sin f x x x =是偶函数；②函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是π；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到()3sin 2f x x =的图象；④函数()sin 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上是减函数． 其中是真命题的是______．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③；【解析】 【分析】①利用函数奇偶性的定义判断；②将函数转化为()cos2f x x =-判断；③利用图象的变换判断；④将函数转化为()cos f x x =-判断.【详解】①因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 是偶函数，故正确； ②因为()4422sin cos sin cos cos2f x x x x x x =-=-=-，所以()f x 最小正周期是π，故正确；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 23sin 263y x x π⎡π⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故正确；④因为()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,π上是增函数，故错误． 故答案为：①②③【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意的正整数n 都有11n n a a +⋅≠，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，则2012S =______．【答案】4023． 【解析】 【分析】再写一式，两式相减可推断出3n n a a +=，进而可知数列{}n a 是以3为周期的数列，通过11a =，22a =，求得3a ，而201236702=⨯+，故可知2012S 的答案．【详解】依题意可知，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++， 两式相减得12121()n n n n n n a a a a a a ++-+--=-，11n n a a +≠，210n n a a +-∴-=，即3n n a a +=， ∴数列{}n a 是以3为周期的数列，123123a a a a a a =++，33a ∴= 2012670(123)124023S ∴=⨯++++=故答案为：4023．【点睛】本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性． 11.常数a ，b 和正变量x ，y 满足16a b ⋅=，212a b x y +=，若2x y +的最小值为64，则b a =______．【答案】64 【解析】 【分析】由()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭()()2224242432bx ay a b a b a b y x ⎛⎫=+++≥++=++ ⎪⎝⎭所以()243264a b ++=，416a b +=，又16ab =，所以8a =，2b =，64b a =． 故答案为：64【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题. 12.已知ABC 中，AB 边上的中线2CM =，若动点P 满足()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是______．【答案】2- 【解析】 【分析】由条件可得P 在线段CM 上，然后()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设PM x =，则可得()()22PA PB PC x x +⋅=--，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】由()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈， 得22sin cos AP AM AC θθ=+， 因为22sin cos 1θθ+=，P 在线段CM 上()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设,02PM x x =≤≤，则()()2222(1)22PA PB PC x x x +⋅=--=--≥-．故答案为：2-【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，注意应用三点共线的充要条件，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题. 13.若函数()()30f x x ax a -=>的零点都在区间[]10,10-上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由()0f x =以及题设条件得出100a ≤，利用导数得出函数()f x 的单调性以及极大值，进而确定方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上，再21000100x x-≤得出11,12,13x =，从而得出a 取值的个数.【详解】函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上 又()32()0f x x ax x x a =-=-=,令()0f x = 0x ∴=或x a =函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上10100a ≤∴≤()f x '=23x a -,令()0f x '=解得x =当x >x <,()0f x '>当x <,()0f x '<则函数()f x 在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减∴当x =,有极大值,3(((f a =-⨯=≤1000,(10)100010100033f a <=-< 结合函数的单调性3()(0)f x x ax a =->，知方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上此时令31000x ax -=,可得21000x a x-= 此时有21000a x x =-,由于x 为大于10的整数 由上知21000100x x-≤,令11,12,13x =时,不等式成立 当14x =时,有21000614196711001414-=-> 故可得a 的值有三个 故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.14.设,a b 均大于1的自然数，函数()()()sin ,cos f x a b x g x b x =+=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=___________． 【答案】 【解析】试题分析:由题设可得,即,因,且存在使得这个式子成立,所以,因为,所以,即,也即,当时,,此时不成立;当时,,,不等式成立;当时,,则,矛盾, 不等式成立.故,则,应填答案.考点：三角变换公式、正弦函数的有界性及不等式成立的条件的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以方程()()f m g m =为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在转化化归思想的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的信息,将问题等价转化为方程,即有解问题.解答时先利用构造不等式,然后再分析推证,从而获得答案.二、解答题15.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （I ）求角B 的大小；（Ⅱ）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围． 【答案】 （I ）；（Ⅱ）【解析】【详解】解：（Ⅰ）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴，∴∵，∴，∴， 又，∴．（Ⅱ），∵ABC ∆是锐角三角形，，，∴，∴， ∴当时，取最大值；且，∴．16.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BAC ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）//MN 平面11ACC A ，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据1CC ⊥平面ABC ，得到1CC AB ⊥．又90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）//MN 平面11ACC A ，取AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ，由三角形中位线得到1//,2DN AB DN AB =，从而11//,A M DN A M DN =，得到四边形1A DNM 是平行四边形，所以1//A D MN ，再由线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）因为1CC ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以1CC AB ⊥． 因为90BAC ∠=︒， 所以AC AB ⊥， 且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ， 所以AB AC ⊥．（2）//MN 平面11ACC A ．证明如下：如图所示：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ． 因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =． 又11112A MA B ， 而1111//,=A B AB A B AB ， 所以11//,A M DN A M DN =． 所以四边形1A DNM 是平行四边形． 所以1//A D MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， 所以//MN 平面11ACC A ．【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定定理以及平面几何知识，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题. 17.已知函数()lg(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数. (1)求函数()f x 的定义域；(2)当(1,4)a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； (3)若对任意[2,)x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围. 【答案】（１）当1a >时，定义域为()0,∞+，当1a =时，定义域为()()0,11,+∞，当01a <<时，定义域为(()0,1111,a a -⋃-+∞；（２）lg 2a；（３）()2,+∞． 【解析】【分析】（１）由20ax x +->对a 分两种情况：一、1a >；二、01a <<．求两种情况下定义域；（２）令()2a g x x x =+-，求导知()2ag x x x=+-在[)2,+∞上是增函数，由此得()f x 在[)2,+∞上为增函数，最小值为()2lg 2a f =；（３）本题转化为21a x x+->即23a x x >-恒成立，进而转化为求2()3h x x x =-在[)2,x ∈+∞的最大值．【详解】（1）由20a x x +->,得220x x a x-+>,1a >时,220x x a -+>恒成立, 定义域为()0,∞+,1a =时, 定义域为()()0,11,+∞，01a <<时, 定义域为(()0,11⋃++∞.（2）设()2ag x x x=+-,当()1,4a ∈时， [)2,x ∈+∞,()222'10a x ag x x x -=-=>恒成立, ()2ag x x x∴=+-在[)2,+∞上是增函数, ()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上最小值为()2lg 2a f =.（3）对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,即21ax x+->对[)2,x ∈+∞恒成立.23a x x ∴>-, 而()2239324h x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭在[)2,x ∈+∞上是减函数,()()max 2 2.2h x h a ∴==∴>, 即a 的取值范围为()2,+∞. 考点：对数函数的定义域；导数求函数单调性；二次函数的最值．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1517a a +=． （1）若{}n a 为等差数列，且856S = ①求该等差数列的公差d ；②设数列{}n b 满足3nn b a =⋅，则当n 为何值时，n b 最大？请说明理由；（2）若{}n a 还同时满足： ①{}n a 为等比数列; ②2416a a =；③对任意的正整数k 存在自然数m ，使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，试求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）①1d =-；②当10n =或11n =时，n b 最大；（2）()12n n a -=-.【解析】 【分析】（1）①利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d ；②求出{}n a 的通项公式，进而得到{}n b 的通项公式，利用1n n b b +-，判断{}n b 的单调性，进而得解；（2）根据等比数列的性质，并结合1517a a +=，初步确定{}n a 的通项，再根据等差数列的性质，即可求得{}n a 的通项公式.【详解】（1）①由1517a a +=，856S =，得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩﹐解得1212a =，1d =-，该等差数列的公差1d =-. ②由①知1212a =，所以()()()1211112232n a a n n d n =+-=+-⨯=--， 则23332n n n nn a b ⎛⎫==⋅- ⎝⋅⎪⎭，1121233322n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=⋅--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21233322n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]2310n n =⨯⋅-所以1110b b =，且当10n ≤ 时，{}n b 单调递增，当11n ≥时，{}n b 单调递减， 故当10n =或11n =时，n b 最大.（2）因为{}n a 是等比数列，则241516a a a a ==， 又1517a a +=， 所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩，由15116a a =⎧⎨=⎩，得141116a a q =⎧⎨=⎩，解得1q =±， 由15161a a =⎧⎨=⎩，得141161a a q =⎧⎨=⎩，解得12q =±，从而12n na 或()12n n a -=-或11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭或11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，得22k k m S S S +=+，而公比1q ≠， 所以()()()21111112111k k m a q a q a q qqq+---=+---，即22k k m q qq +=+，从而22m kq q -=+（*）当12n na 时，（*）式不成立；当()12n n a -=-时，解得1m k =+；当11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭时，（*）式不成立；当11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭时，（*）式不成立．综上所述，满足条件的()12nna-=-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、数列的单调性、等比数列的前n项和公式、等差数列的性质及等比数列的性质，考查基本公式的应用及运算求解能力，熟记公式是本题的解题关键，属于中档题.19.给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（2）设正三角形铁皮的边长为a，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【答案】（1）①答案见解析；②V V>柱锥；（2）当箱子底边长23a时，箱子容积最大，最大值为3154a．【解析】【分析】①可以利用正三角形的图形特征，进行分割②直接求解比较大小即可(2) 设箱底边长为x，列出()()223111sin600288V x x ax x x ah=⨯︒⨯=-<<，利用求导的方法求出最值点，据此即可求解【详解】解：（1）①如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起， 可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． ②依上面剪拼方法，有V V >柱锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形， 其面积为34．现在计算它们的高： 2236132h ⎛⎫=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭锥，13tan 3026h =︒=柱． 1336332203V V h h ⎛⎫-⎛⎫-=-⋅=-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭柱锥锥柱 所以V V >柱锥．（2）设箱底边长为x ，则箱高为()3032a xh x a -=<<， 箱子的容积为()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<﹒ 由()213048V x ax x '=-=解得10x =（舍），223x a =，且当20,3x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '>；当2,3x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，所以函数()V x 在23x a =处取得极大值，这个极大值就是函数()V x 的最大值：2332121213838354V a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．答：当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于中档题.20.设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()()()3,033,3x x x f x x a x x ⎧-≤≤⎪=⎨-->⎪⎩（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式；（3）若方程()f x m =有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．【答案】（1）()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩；（2）()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；（3）a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+，或94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【解析】 【分析】（1）设30x -<、3x <-，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[5-，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；（3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则当方程()f x m =在[3-，3]上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327()416m f ==，且要求27()16f x <对(3,)x ∈+∞恒成立，由此可得结论． 【详解】解：（1）当-<3≤0x 时，()()()()()33f x f x x x x x =-=-+=-+ 同理，当3x <-时，()()()()()()33f x f x x a x x a x =-=--+=-++，所以，当0x <时，()f x 的解析式为()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值， ①当3a ≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ②当37a <≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时只需比较3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()23324a a f -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小．（i ）当36a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （ii ）当67a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()23324a a g a f -+⎛⎫==⎪⎝⎭③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()3952524f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭， 所以()()()525g a f a ==-.综上所述，()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩． （3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ．①当方程()f x m =在[]3,3-上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =， 从而327416m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且要求()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立． （i ）当3a ≤时，()f x 在()3,+∞上单调递减，所以()()273016f x f <=<对()3,x ∈+∞恒成立，即3a ≤适合题意．（ii ）当3a >时，欲()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立，只要()233272416a a f -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，解得32a <+332a <<+． ②当方程()f x m =在[]3,3-上有两个实根时，3924m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且232x =-，332x =， 所以必须满足43932x x =+=，且3922a +=，()2339244a a f -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得6a =． ③当方程()f x m =在[]3,3-上无实根时，()233932424a a f m f -+⎛⎫⎛⎫=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332a +>， 由4332x x x -=，433x x a +=+，解得334a x +=，()4334a x +=， 所以()()()3339134416a a a a m f f +--⎛⎫+⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且由()()3919164a a m --=>，解得5a >+综上所述，a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+，或94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+ 【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于难题．。
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2020 年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷 （二）题号 得分一二总分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1. 已知集合，集合 B={x|lgx＞0}，则 A∪B= ______ ．2. 若复数 z 满足 z•i=1-i（i 是虚数单位），则 z 的虚部为______． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为______．4. 设样本数据 x1，x2，…，x2020 的方差是 4，若 yi=2xi-1（i=1，2，…，2020），则 y1， y2，…，y2020 的方差为______．5. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是______．6. 等比数列{an}中，a1=1，前 n 项和为 Sn，满足 S6-3S5+2S4=0，则 S5=______．7. 若双曲线 - =1（a＞0，b＞0）与直线 y= x 无交点，则离心率 e 的取值范围是______．8. 已知 sinα+cosα= ，0＜α＜π，则 sin2α+sin2α=______．9. 已知定义在（0，+∞）上的函数 f（x）的导函数为 f'（x），且 xf'（x）+f（x）＜0，则的解集为______．10. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，BC 平行于 x 轴，顶 点 A，B 和 C 分别在函数 y1=3logax，y2=2logax 和 y3=logax （a＞1）的图象上，则实数 a 的值为______ ．第 1 页，共 14 页11. 定义：如果函数 y=（f x）在区间[a，b]，可上存在 x（0 a＜x0＜b），满足 （f x0）=，则称 x0 是函数 y=f（x）在区间[a，b]上的一个均值点．已知函数 f（x）=4x-2x+1-m 在区间[0，1]上存在均值点，则实数的取值范围是______12. 已知 0＜a＜1，0＜b＜1，且 4ab-4a-4b+3=0，则 的最小值是______．13. 已知函数 f（x）=-x3+ax2+4x+1 在（0，2]上是增函数，函数 g（x）=|lnx-a|-2lnx，若（e 为自然对数的底数）时，不等式|g（x1）-g（x2）|≤5 恒成立，则实数 a 的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 和 B 是圆 C：（x-1）2+y2=1 上两点，且 AB= ，点 P的坐标为（2，1），则|2 - |的取值范围为______．二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分）15. 已知函数 f（x）=1+ cos2x-sin2（ -x），（1）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间．（2）若方程 f（x）-m=0 在区间[ ，π]上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围．16. 如图，已知 PA⊥平面 ABCD，ABCD 是矩形，PA=AB=1， ，F 是 PB 中点，点 E 在 BC 边上．（Ⅰ）求三棱锥 E-PAD 的体积； （Ⅱ）求证：AF⊥PE； （Ⅲ）若 EF∥平面 PAC，试确定 E 点的位置．17. 请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图 2 中的点 P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示），设正四棱锥 P-EFGH的底面边长为 x（cm）．第 2 页，共 14 页（1）若要求包装盒侧面积 S 不小于 75cm2，求 x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积 V（cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容 积．18. 已知椭圆焦距为 2，右焦点到右准线的距离为 1，（1）求椭圆 C 的方程； （2）圆 A 以椭圆的右顶点为圆心，r 为半径，若存在过原点的直线 l：y=kx 交椭圆 C 于 M，N 两点，交圆 A 于 P，Q 两点，点 P 在线段 MN 上，且|MP|=|NQ|，求圆 A 的半径 r 的取值范围．19. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，Tn 是数列{bn}的前 n 项和，若对任意的 n∈N*，不等式第 3 页，共 14 页都成立，求实数 k 的取值范围；（3）记，是否存在互不相等的正整数 m，s，t，使 m，s，t 成等差数列，且 cm-1，cs-1，ct-1 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 m，s，t；如果不 存在，请说明理由．20.已知函数 f（x）=x3+|ax-3|-2，a＞0． （1）当 a=2 时，求函数 y=f（x）的单调递增区间； （2）若函数 y=f（x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围； （3）当 0＜a＜1 时，试问：过点 P（2，0）存在几条直线与曲线 y=f（x）相切？2020 年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷 （二）【答案】1. {x|x＞0} 2. -1 3. 6 4. 165.6. 31 7. （1，2]8. -9. {x|1＜x＜4} 10. 11. [-2，-1]12.答案和解析13. （2， ]第 4 页，共 14 页14. [ -1，3 +1] 15. 解：（1）=……………………（3 分）∴……………………（5 分）由，解得：∴f（x）的单调递减区间为：……………………（8 分）（2）即 y=f（x）在区间上的图象与直线 y=m 有两个不同的交点．由（1）知：f（x）在上单调减，在上单调增，∴，，……………………（11 分）∴当-2＜m≤1 时，y=f（x）在区间上的图象与直线 y=m 有两个不同的交点，即方程 f（x）-m=0 在区间上两个不同的实数解．∴m 的取值范围为（-2，1]．……………………（14 分）16. （I）解：三棱锥 E-PAD 的体积等于三棱锥 P-EAD 的体积，∵PA⊥平面 ABCD，ABCD 是矩形，PA=AB=1，，∴VP-EAD=，∴三棱锥 E-PAD 的体积为 ；（II）证明：∵PA⊥平面 ABCD，EB⊂平面 ABCD，∴EB⊥PA． ∵EB⊥AB，PA∩AB=A，∴EB⊥平面 PAB， ∵AF⊂平面 PAB，∴AF⊥EB． ∵PA=AB=1，F 是 PB 中点，∴AF⊥PB， ∵EB∩PB=B，∴AF⊥平面 PBC， ∵PE⊂平面 PBC，∴AF⊥PE； （III）解：E 是 BC 中点． ∵EF∥平面 PAC，PC⊂平面 PAC，∴EF∥PC， ∵F 是 PB 中点，∴E 是 BC 中点．17. 解：（1）图（1）中，AC，BD 交于点 O，BD 与 FG 交于 M，图（2）中，连接 OP， 因为 ABCD 是边长为 10 的 正方形，所以 OB=10（cm），由 FG=x 得 OM= ，第 5 页，共 14 页PM=BM=10- ，因为 PM＞OM，即 10-，所以 0＜x＜10，因为 S=4×=2x（10- ）=20x-x2，由 20x-x2＞75，可得 5≤x≤15， 所以，5≤x＜10， 答：x 的取值范围[5，10）， （2）因为在 Rt△OMP 中，OM2+OP2=PM2，所以 OP==，V===，（0＜x＜10），设 f（x）=100x4-10x5，0＜x＜10， 则 f′（x）=400x3-50x4=50x3（8-x）， 当 0＜x＜8 时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 x＞8 时，f′（x）＜0，函数单调递减，所以，当 x=8 时，函数取得极大值，也是极大值，此时 V 取得最大值 ．答：当 x=8 时，包装盒的容积最大为 ．18. 解：（1）∵椭圆的焦距为 2，∴2c=2，即 c=1，∵右焦点到右准线的距离为 1，∴，∴a2=2，∴b2=a2-c2=1，故椭圆 C 的标准方程为．（2）∵|MP|=|NQ|，∴|MP|+|PN|=|NQ|+|PN|，即|MN|=|PQ|． 设 M，N 的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立得，（1+2k2）x2=2，所以，，∴=，∵A 为椭圆的右顶点，∴，∴点 A 到直线 l 的距离为，∴．∵|MN|=|PQ|，∴，化简整理得令 3k2+1=t≥1，则，∴，第 6 页，共 14 页又∵点 P 在线段 MN 上，∴圆 A 的半径要小于椭圆左右两顶点之间的距离，即，综上所述，r 的取值范围为．19. 解：（1）因为数列{an}的前 n 项和 Sn 满足，所以当 n≥2 时，2Sn-1=3（an-1-1）， 两式相减得：2an=3an-3an-1，即 an=3an-1（n≥2）， 又 n=1 时，2S1=3（a1-1），解得：a1=3≠0，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，从而．（2）由（1）知：=，所以，Tn=b1+b2+…+bn= 对任意的 n∈N*，不等式都成立，即=，，化简得：，令，因为=，故 f（n）单调递减，所以，故 ，所以，实数 k 的取值范围是．（3）由（1）知：，假设存在互不相等的正整数 m，s，t 满足条件，则有．由与得即 3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s， 因为 m+t=2s，所以 3m+3t=2×3s．因为，当且仅当 m=t 时等号成立，这与 m，s，t 互不相等矛盾． 所以不存在互不相等的正整数 m，s，t 满足条件．或：由 3m+3t=2×3s 及 m+t=2s 得：，即所以，m=t，这与 m≠t 矛盾， 所以不存在互不相等的正整数 m，s，t 满足条件．20. 解：（1）当 a=2 时，，， ，当 时，f'（x）=3x2-2，由 f'（x）＞0 得：或 ，又 ，第 7 页，共 14 页所以，或，即 y=f（x）在和上单调递增；又 时，f'（x）=3x2+2＞0 恒成立，故 y=f（x）在上单调递增；综上可知，函数 y=f（x）的单调递增区间为和．（2），当 时，f（' x）=3x2+a，因为 a＞0，所以 f（' x）＞0 恒成立，即函数 y=（f x）在上单调递增；当 时，f'（x）=3x2-a，因为 a＞0，由 f'（x）=0 得，①若 ，即 0＜a＜3 时，函数 y=f（x）在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．因为函数 y=f（x）只有一个零点，且所以只要，解得， ．②若即 a≥3 时，函数 y=f（x）在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．因为，，所以函数 y=f（x）有两个零点，不合题意．综上可知，实数 a 的取值范围是．（3）当 时，设切点为，因为切线的斜率，所以，化简得．令 g（x）=2x3-6x2+5-2a，则 g'（x）=6x2-12x=x（x-6），因为 0＜a＜1，所以 ，从而函数 g（x）在上单调递增，又，此时函数 g（x）在没有零点，即没有符合题意的切线．当 时，同理可得：，令 h（x）=2x3-6x2+2a-1，则 h（' x）=6x2-12x=x（x-6），因为 ，所以函数 h（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，2）单调递减，在单调递增，因为 h（0）=2a-1，h（2）=2a-7，，第 8 页，共 14 页又由 0＜a＜1 知，h（2）=2a-7＜0，所以，当时，h（0）=2a-1＜0，，故函数 h（x）只有1 个零点，即符合题意的切线只有 1 条；当 时，h（0）=2a-1=0，，故函数 h（x）有 2 个零点，即符合题意的切线有 2 条；当时，h（0）=2a-1＞0，，故函数 h（x）有 3 个零点，即符合题意的切线有 3 条；综上可知，当时，过点 P（2，0）有 1 条直线与曲线 y=f（x）相切；当 时，过点 P（2，0）有 2 条直线与曲线 y=f（x）相切；当时，过点 P（2，0）有 3 条直线与曲线 y=f（x）相切．【解析】1. 解：∵集合={x|x＞0}，集合 B={x|lgx＞0}={x|x＞1}， ∴A∪B={x|x＞0}． 故答案为：{x|x＞0}． 先分别求出集合 A 和集合 B，由此能求出 A∪B． 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．2. 解：由 z•i=1-i，得 z=，∴z 的虚部为-1． 故答案为：-1． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：模拟程序到运行，可得k=1 k=2，4-14+10=0，不满足判断框内的条件 k2-7k+10＞0，执行循环体，k=3 9-21+10=-2，不满足判断框内的条件 k2-7k+10＞0，执行循环体，k=4 16-28+10=-2，不满足判断框内的条件 k2-7k+10＞0，执行循环体，k=5 25-35+10=0，不满足判断框内的条件 k2-7k+10＞0，执行循环体，k=6 36-42+10=4，满足判断框内的条件 k2-7k+10＞0，结束循环输出 k 的值为 6， 故答案为：6． 利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到 结果即可． 本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断，属于基础题．4. 解：根据题意，样本数据 x1，x2，…，x2020 的方差是 4，yi=2xi-1（i=1，2，…，2020），则 y1，y2，…，y2020 的方差为 D（Y）=D（2x-1）=4D（X）=4×4=16， 故答案为：16． 根据题意，由数据方差的性质分析可得答案． 本题考查方差的计算公式，注意方差的性质，属于基础题．5. 解：某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，第 9 页，共 14 页基本事件总数 n= =10，该同学“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数 m=，∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是 p=．故答案为： ．基本事件总数 n= =10，该同学“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数m=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题．6. 解：根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，若 S6-3S5+2S4=0，则 q≠1，则有-3×+2×=0，变形可得：q2-3q+2=0， 解可得：q=2 或 q=1（舍），故 S5== =31；故答案为：31．根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，结合题意可得-3×+2×=0，变形解可得 q 的值，由等比数列的前 n 项和公式分析可得答案． 本题考查等比数列的前 n 项和公式，关键是求出公比，属于基础题．7. 解：∵双曲线 - =1（a＞0，b＞0）与直线 y= x 无交点，取双曲线的渐近线．∴，∴=2．∴双曲线离心率 e 的取值范围是（1，2]． 故答案为（1，2]．双曲线 - =1（a＞0，b＞0）与直线 y= x 无交点，取双曲线的渐近线，则必有，再利用离心率计算公式即可得到双曲线离心率 e 的取值范围．熟练掌握过原点的直线与双曲线的渐近线及双曲线的关系、离心率的计算公式是解题的 关键．8. 解：∵sinα+cosα= ，0＜α＜π，∴1+2sinαcosα= ，即 sinα•cosα=- ．∴sinα= ，cosα=- ，则 sin2α+sin2α= +2•（- ）=- ，第 10 页，共 14 页故答案为：-．由题意利用三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．9. 解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，则可化为（x-1）f（x-1）＞3f（3），即g（x-1）＞g（3），所以，0＜x-1＜3，解可得，1＜x＜4，故答案为{x|1＜x＜4}．构造函数g（x）=xf（x），则根据已知可判断g′（x）的正负，进而可求g（x）的单调性，结合已知单调性即可求解不等式．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是进行合理的构造．10. 解：设B（x，2log a x），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2log a x）即log a x′=2log a x，∴x′=x2，∴正方形ABCD边长=|BC|=x2-x=2，解得x=2．由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3log a x），正方形ABCD边长=|AB|=3log a x-2log a x=log a x=2，即log a2=2，∴a=，故答案为：．设B（x，2log a x），利用BC平行于x轴得出C（x2，2log a x），利用AB垂直于x轴得出A（x，3log a x），则正方形ABCD的边长从横纵两个角度表示为log a x=x2-x=2，求出x，再求a即可．．本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．11. 解：根据题意，函数f（x）=4x-2x+1-m，则==1函数f（x）=4x-2x+1-m在区间[0，1]上存在均值点，则4x-2x+1-m=1在区间[0，1]上有解；设t=2x，则1≤t≤2，则有t2-2t-（m+1）=0在区间[1，2]上有解；而二次函数y=t2-2t-（m+1）的对称轴为t=1，必有f（1）f（2）≤0，即（m+1）（m+2）≤0，解可得-2≤m≤-1，则m的取值范围为[-2，-1]；故答案为：[-2，-1]．根据题意，求出的值，结合“均值点”的定义可得4x-2x+1-m=1在区间[0，1]上有解，设t=2x，原问题可以转化为t2-2t-（m+1）=0在区间[1，2]上有解，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数与方程的关系，注意理解“均值点”的定义．12. 解：已知0＜a＜1，0＜b＜1，由4ab-4a-4b+3=0，得4ab-4a-4b+4=1，即（1-a）（1-b）=，令x=1-a＞0，y=1-b＞0，4xy=1，故===2+=2，当且仅当x=时，取等号，故答案为：4+．由由4ab-4a-4b+3=0，得4ab-4a-4b+4=1，即（1-a）（1-b）=，令x=1-a＞0，y=1-b＞0，4xy=1，根据柯西不等式求出即可．考查基本不等式，柯西不等式的应用，中档题．13. 解：依题意，f′（x）=-3x2+2ax+4≥0在（0，2]上恒成立，即2a≥3x-在（0，2]上恒成立，所以2a≥（3x-）max，因为y=3x-在（0，2]上单调递增，故当x=2时函数取得最大值4，则2a≥4，解得a≥2，设t=ln x，由x∈[e，e3]可得，t∈[1，3]，则h（t）=|t-a|-2t=，易知函数h（t）单调递减，由题意知，g（x）max-g（x）min≤5，等价于h（t）max-h（t）min≤5，即|a-1|-|a-3|+4≤5，又a≥2，故|a-3|≥a-2，解得a，故a的范围（2，]．故答案为：（2，]．由导数与单调性的关系可求得，a≥2，令h（t）=|t-a|-2t，t∈[1，3]，由函数h（t）单减及已知条件可得|a-1|-|a-3|+4≤5，由此得解．本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想及构造函数思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．14.解：设，则有，所以A为BE的中点，AE=BE=，以B为圆心，2为半径作圆，由于B是圆C上任意一点，所以点E的轨迹为图中阴影区域所以||max=|PC|+1+2=+1+2=3+1，||min=2-|PC|-1=2--1=-1所以|2-|的取值范围为：[-1，3+1]，故答案为：[-1，3+1]．设，则有，所以A为BE的中点，AE=BE=，以B为圆心，2为半径作圆，由于B是圆C上任意一点，所以点E的轨迹为图中阴影区域，再求取值范围，即可．本题考查动点，向量，圆综合题，属于难题．15. （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期与单调减区间．（2）利用三角函数的有界性，结合三角函数的图象与性质，推出结果即可．本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力．16. 本题考查几何体的体积，考查线面垂直，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（I）利用三棱锥E-PAD的体积等于三棱锥P-EAD的体积，可得结论；（II）利用线面垂直证明线线垂直，证明AF⊥平面PBC即可；（III）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根据F是PB中点，可得结论．17. （1）结合已知可建立侧面积关于FG=x的函数关系，然后由侧面积S不小于75cm2，可建立关于x的不等式，可求，（2）先利用x表示出V的函数关系，结合导数可求其最大值．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．18. （1）由椭圆的基本几何性质即可解得a，b，c的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）由|MP|=|NQ|可知|MN|=|PQ|，然后利用直线截椭圆所得的弦长公式求得|MN|的长，由直线截圆所得的弦长公式求得|PQ|，从而用含k的代数式表示出r2，再采用分离常数法、换元法、均值不等式等求得r2的取值范围，最后由于点P在线段MN上，所以，于是求得r的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、直线截椭圆和圆的弦长公式、分离常数法、换元法、均值不等式等方法，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题．19. （1）通过，当n≥2时，2S n-1=3（a n-1-1），两式相减，推出数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，求出通项公式．（2）化简，利用裂项消项法求出数列的和，得到，令，利用函数的单调性转化求解函数的最大值，推出k的范围即可．（3），假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有．利用与，推出3m+3t=2×3s．通过，当且仅当m=t时等号成立，说明不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件．本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性以及基本不等式，数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．20. （1）将a=2代入，把函数f（x）化为分段函数的形式，再分别求导研究单调性即可；（2）将函数f（x）化为分段函数的形式，再分类讨论即可得出结论；（3）分类讨论求解．本题考查利用导数研究函数的单调性及零点问题，考查导数的几何意义，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，属于较难题目．。