全等三角形证明之能力拔高(经典题目)

全等三角形能力拔高题

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一、角度转化问题

1．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．

2．已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．

求证：BD＝CE．

3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l 的垂线AE、BF，E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

5．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．

求证：ED⊥AC．

二、二次全等问题

1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC

于E，AE＝CF．

求证：BO＝DO．

2．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.

3．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

4．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.

求证：AB∥DC.

M

F E C

B

A

5、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DB=DC ， 求证：EB=FC

【练习】1、已知∠B=∠E=90°，CE=CB ，AB ∥CD. 求证：△ADC 是等腰三角形。

2、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。 求证：MB=MC

G F

E

D

C B

A

3、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在

一条直线上求证：BE=AD

4、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ，BC=30， BD ：CD=3：2，则DE= 。

5、如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG ∥AF ，________，__________ 求证：_________

6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ， 求证：BC 垂直且平分DE.

E

D

C

A B

证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法，构造全等三角形。 提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） （2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）） 1、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证AB=AC+BD

2、如图，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，DE 平分∠ADC ， CE 平分∠BCD ，求证AD+BC=CD.

A C

E B

D A

B

E C D

1、如图所示，OP 为∠MON 的平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请在图（1）中作出，然后解答下列问题。

（1） 如图（2）所示，在△ABC 中，∠ACB 是直角。∠B=60°，AD ，CE 分别是∠

BAC ，∠BCA 的平分线，AD,CE 相交于点F 。请写出FE 与FD 之间的数量关系。

（2） 如图（3）所示，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而其他条件不变，（1）中所

得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

图（1） 图（2） 图（3）

2、如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F 。

（1）证明：EF 与斜边BC 不相交时，则有EF=BE+CF （如图1）。

（2）如图2，EF 与斜边BC 相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。

O P M N

A B

C D E

B E

A

C

D

3、已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点． （1）求证：①；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到

4、已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．

ABC △ADE △AB AC =AD AE =BAC DAE ∠=∠B A D ，，BE CD M N ，，，BE CD ，BE CD =ADE △A 180图①

图②

C

G

A E

D

B

F

5、中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；

6、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

7、如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .

⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：

① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明

ABC △2120AB BC ABC ==∠=，°

，ABC △B α(0<°α90)<°A BC A B 111△，AC E 11A C AC BC 、D F 、1EA FC A

D

B

E

C

F 1

A 1C

A

D

B

E

C

F 1

A 1C

A

B

C

D E

F