初三中考一轮复习(15)解直角三角形 题型分类 含答案(全面 非常好)

2
、解直角三角形应用中的有关概念
⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角
⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tan α=h l。

⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角
如图：OA 表示 OB 表示
OC 表示
OD 表示 （也可称东南方向）
铅
直
线 水平线 视线
视线
【重点考点例析】
考点一：锐角三角函数的概念
例1 如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（）
A．5
13B．12
13
C．5
12
D．12
5
∴tanα=PE
OE =5
12
，
故选C．
对应训练
1．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）
A．2
3B．3
2
C．213
13
D．313
13
1．B
考点二：特殊角的三角函数值
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= 3
2；②cosB=1
2
；
③tanA=3
3
；④tanB= 3，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）
解：如图所示：
故答案为：②③④．
对应训练
2．计算6tan45°-2cos60°的结果是（）
A．43B．4 C．53D．5
2．D
考点三：化斜三角形为直角三角形
例3 在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= ．
故答案为：6．
对应训练
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，
∠BOC=120°，则四边形ABCD 的面积为 ．（结果保留根号）
3．123
考点四：解直角三角形的应用
4．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB ，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD ，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD 的长并确定小桥在小道上的位置．（以A ，B 为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
4．解：设PD=x 米，
∵PD ⊥AB ，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt △PAD 中，tan ∠PAD=
x AD
， ∴AD=tan 38.5x o ≈0.8x =54x ，
在Rt △PBD 中，tan ∠PBD=
x DB
， ∴DB=tan 26.5x o ≈0.5x =2x ， 又∵AB=80.0米，
∴54
x+2x=80.0，
解得：x ≈24.6，即PD ≈24.6米，
∴DB=2x=49.2．
答：小桥PD 的长度约为24.6米，位于AB 之间距B 点约49.2米．
【聚焦中考】
1． 2cos30°的值是 ．
1．62 2．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：3，则AB 的长为（ ）
A ．12
B ．43米
C ．53米
D ．63米
2．A
3．一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处
恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）
A．103海里/小时B．30海里/小时
C．203海里/小时D．303海里/小时
3．D
4．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米．
4．9
5．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C
处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为（取3≈1.7，结果精确到0.1海里）．
5．67.5
6．如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）
6．解：如图，作AD⊥BC的延长线于点D．
在Rt △ADB 中，AD=AB •cos ∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里）， BD=AB •sin ∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）．
在Rt △ADC 中，AC=28.828.8cos cos370.8
AD DAC ==∠o =36（海里）， CD=AC •sin ∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）．
BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2（海里）．
A 岛上维修船需要时间t A =
362020AC ==1.8（小时）． B 岛上维修船需要时间t B =
43.228.828.8
BC ==1.5（小时）． ∵t A ＞t B ，
∴调度中心应该派遣B 岛上的维修船．
10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB 的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
10．解：（1）由題意得，
在Rt △ADC 中，AD=tan 30CD o =213
3
=213=36.33（米）， 在Rt △BDC 中，BD=
tan 60CD o =213=73=12.11（米）， 则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。

（2）超速．
理由：∵汽车从A 到B 用时2秒，
∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1×3600=43560（米/时），
∴该车速度为43.56千米/小时，
∵大于40千米/小时，
∴此校车在AB 路段超速．
11．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC 的B （点B 在AC 上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF 的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D 与树的底部A 的距离为2.7米，猫头鹰从C 点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M （点M 在DE 上）距D 点3米． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C 处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
11
11．解：（1）能看到；
由题意得，∠DFG=90°-53°=37°，
则DG DF
=tan ∠DFG ， ∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°=4×0.75=3（米），
故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米）， 又AG CG
=sin ∠C=sin37°， 则CG=
sin 37AG o =5.70.60=9.5（米）． 答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米．。