2019广东中考数学专题训练3.圆的综合题

圆的综合题

类型一 与全等结合

1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝

2.过点C 作⊙O

的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)．

(1)求∠APC 与∠ACD 的度数；

(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；

(3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．

第1题图

(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，

∴AC ＝OA ＝OC ，

∴△ACO 为等边三角形，

∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，

∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，

又∵DC 与⊙O 相切于点C ，

∴OC ⊥DC ，

∴∠DCO ＝90°，

∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；

第1题解图

(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，

∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，

∴∠COB ＝120°，

当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，

∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，

∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，

∴四边形OBPC 为菱形；

(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，

∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，

在Rt △ABC 与Rt △CP A 中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP

AC ＝AC ，

∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL)．

2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的

延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM .

(1)求证：AC ＝DC ；

(2)求证：BD ∥CM ；

(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．

第2题图

(1)证明：如解图，连接OD ，

∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，

∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，

在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，

⎩

⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC ， ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，

∴AC ＝DC ；

(2)证明：由(1)知， △OAC ≌△ODC ，

∴∠AOC ＝∠DOC ，

∴∠AOD ＝2∠AOC ，

∵∠AOD ＝2∠OBD ，

∴∠AOC ＝∠OBD ，

∴BD ∥CM ；

(3)解：∵BD ∥CM ，

∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，

∵OD ＝OB ＝OM ，

∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，

∵∠DOC ＝2∠DMO ，

∴∠DOC ＝2∠BDM ，

∴∠B ＝2∠BDM ，

如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，

第2题解图

∴EF ＝AE ，

在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，

∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF

， ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，

∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，

∴点F 在⊙O 上，

又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，

∴∠AOE ＝∠BDM ，

设AE ＝EF ＝y ，

∵sin B ＝45，

∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45，

∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，

在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，

∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，

∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，

解得y ＝32x ，

∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ，

∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x

＝255. 3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交

DC 的延长线于点E .

(1)求证：∠1＝∠BCE ；

(2)求证：BE 是⊙O 的切线；

(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .

第3题图

(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，

∵AB ︵＝BD ︵，

∴AB ＝BD

在△ABF 与△DBE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB

， ∴△ABF ≌△DBE (AAS)，

∴BF ＝BE ，

∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，

∴∠1＝∠BCE ；

(2)证明：如解图，连接OB ，

∵AC 是⊙O 的直径，

∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，

∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，

∴∠BAC ＝∠EBC ，

∵OA ＝OB ，

∴∠BAC ＝∠OBA ，

∴∠EBC ＝∠OBA ，

∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，

∴∠EBO ＝90°，

又∵OB 为⊙O 的半径，

∴BE 是⊙O 的切线；

第3题解图

(3)解：在△EBC 与△FBC 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，

∴△EBC ≌△FBC (AAS)，

∴CE ＝CF ＝1.

由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，

∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，