平面任意力系的平衡 教学设计
平面任意力系平衡方程讲解课件
01
02
03
04
仅适用于小变形的情况
对于大变形或复杂的结构，需 要使用更高级的力学理论
仅适用于线性弹性材料
对于非线性弹性材料或塑性材 料，需要使用更高级的材料模
型
04
平面任意力系平衡方 程的优化与改进
优化求解算法
线性化求解
将平衡方程转化为线性方程，降 低求解难度，提高求解速度。
迭代法优化
采用更高效的迭代算法，如牛顿法 、拟牛顿法等，加快收敛速度。
03
平面任意力系平衡方 程的适用范围
适用场景与条件
适用于平面任意力系 的平衡问题
力的作用点可以不在 物体的重心上
物体处于平衡状态， 即没有加速度或速度
不适用场景与原因
不适用于空间力系的平衡问题
不适用于具有加速度或速度的 物体
力的作用点不在物体的重心上 时，需要考虑科氏力等因素
限制因素与局限性
平衡状态
物体在受到一组的力作用后，如果处 于静止或匀速直线运动状态，则称该 物体处于平衡状态。
平衡方程
对于平面任意力系，其平衡方程为合 力为零，即合力在x轴和y轴上的投影 分别为零。
02
平面任意力系的平衡 方程
平衡方程的推导
1 2 3
静力平衡
在无外力作用下，物体处于静止状态，此时物体 内部各部分之间无相对运动趋势，处于平衡状态 。
并行计算
利用多核CPU或分布式计算资源， 实现并行计算，大幅缩短求解时间 。
提高计算精度
精细化建模
采用更高精度的物理模型，提高 方程的准确性和精度。
高阶有限元方法
采用高阶有限元方法，降低误差 ，提高计算精度。
自适应步长控制
根据误差大小自动调整步长，确 保计算的稳定性和精度。
第三章平面任意力系
第三章 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内且任意分布（既不完全平行也不完全相交于一点）。
一、 本次课研究的问题： 1、平面任意力系向平面内一点简化。
2、平面任意力系简化结果分析。
3、平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
4、平面平行力系的平衡方程。
二、学习要求： 学习平面任意力系向平面内一点简化及简化结果分析，掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
三、教学重点、难点： 1、重点：平面任意力系的简化和平面任意力系的平衡。
2、难点：平面任意力系的简化及结果分析。
四、教学方法： 理论推导与事例相结合。
§3-1 平面内任意力系向平面内一点简1、 力线平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B 的矩。
证明：如图3-1（a ）中，力F作用于刚体A 点。
在刚体上任取一B 点，并在B 点加一队平衡力F F ''' ,，且F F F =''-=',如图3-2(b)。
则F F'',为一力偶，这样，就把作用于A 点的力平移到了另一点B 点，但同时附加了一个相应的力偶图3-1()F F'',，如图3-3（c ）,这个力偶称为附加力偶。
附加力偶之矩为()F M Fd M B==反之，此过程也可逆向使用，将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
例：①乒乓球、足球中的弧线球；②如图3-2,厂房柱受偏心载荷F作用，将力平移至柱轴线成为力F'和矩为M 的力偶，柱除受压缩作用外还受弯曲的作用；③如图3-3，攻丝时，要求必须用两手握扳手，且用力要相等。
为什么不许用一只受扳扳手呢?2、平面任意力系向平面内一点简化---主矢和主矩设刚体上作用着平面任意力系,,,321F F F如图3-4（a ）所示。
在平面内任取一点O ，称为简化中心；应用力线平移定理，把各力都平移到点O 。
精品教案：平面任意力系
第三章 平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。
2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。
3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。
工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。
当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。
例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。
此方法的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。
证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。
因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。
二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。
先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
建筑力学——教案 第二章平面力系的合成与平衡
建筑力学教案
教研室主任教师
科目月日
2、平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二力矩式 （2）三力矩式
00===∑∑∑x
B
A F
m m 0
00
===∑∑∑C
B A m
m m
第五节 物体系统的平衡
1、物体系统的平衡问题
解物体系统的平衡问题时,往往以整个系统为研究对象,不能求出全部的未知量。
于是需要将物体系统分成多个单个物体,可使物体间相互作用的内力转化为外力,以增加独立的平衡方程,有利于求解较多的未知量，所以将系统“拆开”是解决问题的重要手段。
2、解题常用的方法 （1）、求解物体系的平衡问题时,一般总是先考虑整体,当未知数不超过三个或超过三个但可以先求出其中一部分时,均可先选整体为研究对象。
（2）、研究对象的全部平衡方程没有必要一一列出,要尽量不去解那些与题意义无关的未知量。
（3）、学会选局部为研究对象。
如下图所示。
汽车机械基础(高教版)教案：第三章 平面任意力系 吴建蓉 编.doc
教师授课教案20 /20 学年第学期课程汽车机械基础教学后记教学内容旧知复习：力的平移定理。
讲授新课：第三章平面任意力系第1节平面任意力系的简化平面任意力系中各个力的作用线既不可能完全汇交于一点，也不可能全部平行，这在工程中是很常见的，为了计算方便，需要对力系进行简化。
如图3-1a所示，物体上作用平面任意力系F1、F2、…Fn。
在平面上任选一点O作为简化中心，按照力的平移定理，将力系中的各力向点O平移，得到交点O的平面汇交力系F1＇、F2＇、…F n＇和相应的附加力偶，其力偶矩为m1、m2、…mn，如图3-1b所示。
将平面汇交力系F1＇、F2＇、…F n＇合成为一个力F R＇，它的大小与方向等于原力系中各力的矢量和，即F R ＇= F 1＇+F 2＇+ … + F n ＇=∑FF R ＇称为平面汇交力系的主矢，主矢的作用线通过O 点。
主矢的大小与方向可由下式求得：F R ＇=22)()(∑∑+y x F F tan α=∑∑||||xy FF附加力偶矩系为m 1、m 2、… m n ，可以合成一个力偶矩m O ，m O 称为平面力系对点O 的主矩。
主矩等于原力系中各力对点O 力矩的代数和，即m O = m 1+m 2+…+ m n =∑)(i F m注意：选择不同的简化中心，各附加力偶的力臂长度不同，所以主矩的大小与简化中心的位置有关。
主矩必须标注简化中心结论：平面任意力系向任一点简化，可得到一个力和一个力偶矩，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心O ；这个力偶矩等于该力系对于点O 的主矩。
显然，平面任意力系单独作用的主矢或主矩都不能代替原力系对物体的作用，只有主矢和主矩的共体作用才能与原平面任意力系的作用等效。
第2节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系向任一点简化后，如果主矢和主矩都等于零，则物体必定处于平衡状态。
平面任意力系平衡的必要与充分条件：力系的主矢和力系对任意一点的主矩均等于零。
即F R ＇=22)()(∑∑+y x F F =0 m O = m 1+m 2+…+ m n =∑)(i F m =0由此得出平面任意力系的平衡方程为∑x F =0∑y F =0 )(iOF m ∑=0三个平衡方程是完全独立的，应用它来求解平面任意力系的平衡问题时，最多只能求解三个未知量。
《平面一般力系的平衡》教学设计
《平面一般力系的平衡》教学设计课题平面一般力系的平衡教学时间4课时教学目标知识与技能1、知道平面一般力系的平衡条件；2、能写出平面一般力系平衡方程的两种形式；3、能运用平面一般力系的平衡方程计算单个构件的平衡问题；4、感悟平面一般力系的平衡问题在工程中的应用。
过程与方法1、能举出生活中和工程中的单个构件的平面一般力系的实例，从而体验单个构件作用下处于平面一般力系的平衡状态时物体的受力特点和平衡条件；2、探究单个构件的平面一般力系平衡问题的解题方法。
情感、态度、价值观1、通过探究平面一般力系作用下平衡问题的解题方法，培养学生科学严谨敢于创新的精神；2、通过分析平面一般力系平衡在工程中的应用，增强安全生产意识。
教学重点运用平面一般力系的平衡方程求解单个构件的平衡问题。
教学难点1、建立平面一般力系的平衡方程；2、感悟平面一舤力系的平衡问题在工程中的应用。
教学内容及其过程学生活动教师导学一、引入1．如图一所示的挑梁，伸入墙体的长度要大于挑出的长度，为什么？2．图二所示中的水坝（或挡土墙），其断面为什么要做成梯形形状？要保证其稳定性，应满足什么条件？如何验算？图一图二让同学们观察图一、图二，回答问题。
通过图一、图二的实验，让学生思考，教师分析引入课题。
二、导学提纲1、平面一般力系的平衡条件（1）各力的作用线既不全，也不全的平面力系，称为平面一般力系。
（2）物体在平面一般力系的作用下，处于平衡状态时，该物体既不能产生，也不能产生。
（3）平面一般力系的平衡条件是：平面一般力系的合力等于，即：力系中所有各力在两坐标轴上的投影的代数和分别等于，且力系中所有各力对其平面内任一点的力矩的代数和等于。
（4）写出平面一般力系平衡方程的两种形式，其中二矩式有什么限制条件？为什么？ （5）平面一般力系的平衡方程独立的有方程有几个？最多能求解多少个未知量？。
2、平面一般力系的平衡条件的应用 （1）利用平面一般力系的平衡方程求解支座反力时，你认为应注意什么？为了保证所列的方程中只含一个未知力，建立坐标时应注意什么？（2）说出教材P41图2-26、2-27雨蓬或阳台产生倾覆的原因。
平面任意力系
Y
FAy
FTC
A
B
FAX
X
解 杆AB处于平衡状态，受力如图所示，A点处受反力FAx、FBy, 方向如图。取A点为坐标原点，列平衡方程为： 0 0 F x F AX F COS 30 0
P
F y 0
TC
M O 0
F F
AY TC
F TC sin 30 P 0 sin 30 P 2.5 0
平面任意力系的平衡条件是：力系中所有各力在
两个互相垂直的坐标轴上投影的代数和等于零；
力系中所有各力对力系所在平面内任意点的合力
矩等于零。
F X 0 FY 0 M O ( F ) 0
五、计算题 如图为装载混凝土的翻斗车车斗，车斗及混凝土共 重W=5kN，为防止重心偏移自动翻斗卸料，在A点处 用挂钩锁住，如水平锁住力F，方向为水平向右，已 知BOy的距离为0.1m，AOx的距离为0.5m，求O点处 的反力及A点处的水平锁住力F。
（1） （2） （3） 0
F
ox
oy
x
y
ox
由（2）式得 由（3）式得
BO W F AO
F
ox
W 5kN
y x
0.1 5 kN 1kN 0.5
ox
将此值代入（1）式，得
F
F 1kN
说明实际O点的x方向受到的反力Fox与图中标注的 方向相反，即应向左。
【练习】图示水平杆AB，A端为固定铰链支座， C点用绳子系于墙上，已知力P=12KN，不计杆重， 求绳子的拉力及铰链A的约束反力。
0
0
解得：FTC=60KN;
FAX=52KN;
由此得平面任意力系的平衡方程课件
对于单个物体，我们可以通过分析其受到的力，利用平面任 意力系的平衡方程来求解物体的平衡状态。例如，一个简单 的杆件在重力作用下保持平衡，可以通过平衡方程求解其支 撑点和支撑力。
实例二：复杂物体平衡问题
总结词
解决复杂物体的平衡问题，需要考虑多个力和多个物体的相互作用。
详细描述
对于多个物体组成的系统，我们需要分析每个物体之间的相互作用力和力矩，利用平面任意力系的平衡方程来求 解整个系统的平衡状态。例如，一个由多个杆件组成的结构，需要考虑各杆件之间的连接和相互作用，通过平衡 方程求解各杆件的位置和支撑力。
在工程实践中的应用
平面任意力系平衡方程在工程实 践中具有广泛的应用价值。
在建筑、机械、航空航天等领域 中，都需要用到平面任意力系平 衡方程来分析物体的受力情况，
以确保其稳定性和安全性。
通过在工程实践中的应用，可以 不断完善和优化平面任意力系平 衡方程的理论体系，提高其在实
际问题中的适用性和准确性。
平行力系
所有力的方向平行，如水 平推车所受到的推力。
任意力系
除了汇交力系和平行力系 以外的其他平面力系，如 固定在斜面上的物体的重 力。
平面任意力系的简化
简化为一个合力
通过力的合成，将多个力简化为一个合力，以便于分析物体的运动状态。
简化为一个主矢和一个主矩
通过力的分解和合成，将平面任意力系简化为一个主矢和一个主矩，其中主矢 表示力的矢量和，主矩表示力矩的代数和。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
平面任意力系平衡方程 的扩展与深化
扩展到三维空间
平面任意力系平衡方程在二维平面上应用广泛，但实际物体往往存在于三维空间中 。因此，需要将平面任意力系平衡方程扩展到三维空间中。
平面任意力系的平衡教学设计
《平面任意力系的平衡》教学设计【课题】平面任意力系的平衡（中国劳动社会保障出版社《工程力学》第三版第四章第一节）【课时】第1课时（45分钟）【课型】新课【教材分析】静力学研究内容---物体受力分析方法和物体在力系作用下处于平衡条件在工程中应用很广。
工程中最常见的力系是平面任意力系，前述的平面汇交力系和平面力偶系以及后述的平面平行力系可看成是平面任意力系的特殊形式，许多实际问题都可以简化为平面任意力系问题来处理，分析和解决平面任意力系平衡问题在静力学中占有重要地位。
【学情分析】职高学生对工程结构缺乏感性认识，对于作用在工程结构上力的分析难以正确理解，尤其对如何应用平衡方程解决工程上的平衡问题感觉困惑，对所学知识点内容缺乏整合应用的能力。
但他们具有初步的分析和解决问题的能力，这就需要教师能合理设疑，引导学生进行自主探究，充分发挥学生学习主体的作用。
【教学目标分析】1．识记目标：理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
2．能力目标：能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题；培养学生严谨的逻辑思维能力和自主探索问题的能力；提高学生分析和解决问题的能力。
3．情感目标：培养学生勤于思考的好习惯和严谨、务实、细致的工作态度；通过小组讨论，培养学生的协作精神。
【重点、难点】重点：平面任意力系的平衡条件和平衡方程以及物体在平面任意力系作用下平衡问题的解法。
难点：应用平面任意力系平衡方程求解物体平衡问题的方法和步骤以及解题方法的优化。
【教学方法及策略】本节课运用创设问题情境---引导学生自主探究---小组合作讨论---练习总结---知识拓展的教学模式；采用启发式教学法，引导学生进行自主探究学习，通过对展示案例的合作讨论，进行解题方法的优化，以达到预期的教学目标。
【课件设计思路】为配合讲课需要，新课引入内容采用动态显示，各例题图及受力分析采用实时作图。
【教学过程设计分析】学生在前述课题中已经学习了物体的受力分析方法、静力学公理、运用平面汇交力系平衡的解析条件解决平面汇交力系作用下的物体平衡问题、力矩的平衡条件以及平面力偶系的平衡条件等力学知识，而正确地画出物体的受力图是分析、解决静力学平衡问题的基础。
《机械基础》公开课教案2002328
《机械基础》公开课教案教学课题：平面力系的简化和平衡教学内容：1、平面任意力系定义；2、平面力系向一点的简化；3、平面任意力系的平衡条件；4、平面任意力系平衡的应用。
教学重点：平面力系向一点简化过程和结果。
教学难点：平面任意力系的平衡条件的应用。
教学方式：讲授法教学地点：01中专（1）班教学时间：2002年3月29日上午第三节课时：一节教学过程：[复习]：前面，我们学习了平面汇交力系的合成结果及平衡条件，这种力系是我们在物理课上经常遇到的。
但是，生活中我们还会遇到其它力系，比如：教室里的吊灯受力、作业P23页1-16的（e）（f）等。
请大家回忆一下它们的受力。
我们发现，研究物体的受力并不汇交，也就不能用平面汇交力系的知识去解题，因此，下面我们就来学习这种力系的有关知识。
[新课]：一、平面任意力系：[定义]各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。
二、平面力系向一点的简化：（教学模型）设刚体上作用有平面任意力系F 1、F 2…Fn ，在力系作用面内任选一点O 称为简化中心。
根据力的平移定理可知：把所有力平行移动到O 点，所有各力都会产生一个附加力偶，于是会得到与原力系等效的两个力系：即汇交于O 点的汇交力系：F1’、F2’…Fn ’，和一组附加力偶矩组成的力偶矩系：M 1、M 2…Mn 。
所以，平面汇交力系可合成一个合力矢F R ：且F R = F 1 + F 2 + … + Fn = F 1 ’+ F 2 ’+ … + Fn ’各力偶合成一个合力偶：1且M = M1 + M2 + …Mn∴由上两式可得以下结论：（结论）：平面任意力系向作用面内任一点简化，可得到一个主矢F R和一个主矩M。
其中主矢表达式为：F RX = ∑F XF RY = ∑F YF R = F RX2 + F RY2主矩为原力系各力对简化中心之矩的代数和。
三、平面力系的平衡条件：（问）：平面汇交力系平衡的条件是什么？力偶系平衡的条件是什么？（答）：分别是合力为零。
2.6平面任意力系的平衡-单元教学设计
单元教学日历教学实施【步骤l】复习与引入新课1）复习平面任意力系的合成过程及结果分析2）平面任意力系的平衡条件及方程应用【步骤2】课程介绍及知识讲授1）平面任意力系的平衡①平面任意力系平衡方程的基本形式∑F x=0∑F y=0∑M O（F i）=0②二力矩形式方程∑F x=0（或∑F y=0）∑M A（F i）=0∑M B（F i）=0附加条件：A、B两点的连线不得垂直于投影轴x轴（或y轴），此式称为平面任意力系平衡方程的二力矩式。
③三力矩形式方程∑M A（F i）=0∑M B（F i）=0∑M C（F i）=0同样也有附加条件：A、B、C三点不共线，此式称为平面任意力系平衡方程的三力矩式。
注意：①在实际应用中，选择哪种形式的平衡方程，须根据具体条件确定。
②一般情况下，为简化计算过程，力求在一个方程中只包含一个未知量，以避免解联立方程，因此，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线相垂直，而矩心宜取为较多未知力的交点。
③对于平面任意力系作用的单个物体的平衡问题，只能写出三个独立的平衡方程式，任何第四个平衡方程式都不是新的独立方程，而是前三个方程式的线性组合，是力系平衡的必然结果。
因此，该方程不能用来求解新的未知量，但可以用来校核结果。
故在求解平面任意力系的平衡问题时，对于一个物体最多只能求解三个未知量。
2）平面平行力系的平衡方程若多个力作用于同一平面，且各力作用线相互平行，则该力系称为平面平行力系。
平面平行力系平衡只需满足两个平衡方程，即∑F y=0∑M A（F）=0该式表明，平面平行力系平衡的充分和必要条件为：力系中各力在与力的作用线平行的y轴上投影的代数和等于零，且各力对平面内任一点O之矩的代数和也等于零。
与平面任意力系相同，平面平行力系的平衡方程也有二力矩式，即（F i）=0∑M∑M B（F i）=0附加条件：各力作用线与A、B两点连线不得平行。
利用任一式求解平面平行力系的平衡问题都最多可求两个未知量。
工程力学(高教版)教案：第三章 平面任意力系
第三章平面任意力系各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。
在工程实际中经常遇到平面任意力系的问题。
例如图3－1所示的简支梁受到外荷载及支座反力的作用，这个力系是平面任意力系。
有些结构所受的力系本不是平面任意力系，但可以简化为平面任意力系来处理。
如图3－2所示的屋架，可以忽略它与其它屋架之间的联系，单独分离出来，视为平面结构来考虑。
屋架上的荷载及支座反力作用在屋架自身平面内，组成一平面任意力系。
对于水坝（图3－3）这样纵向尺寸较大的结构，在分析时常截取单位长度（如1）的坝段来考虑，将坝段所受的力简化为作用于中央平面内的平面任意力系。
事实上工程中的多数问题都简化为平面任意力系问题来解决。
所以，本章的内容在工程实践中有着重要的意义。
图3－1 图3－2图3－3在研究平面任意力系之前，首先研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。
这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。
第一节力对点之矩一、力矩的概念力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。
以扳手旋转螺母为例，如图3－4所示，设螺母能绕点O 转动。
由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O 到F的作用线的垂直距离d有关。
因此，用F与d的乘积不作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。
其中距离d称为F对O点的力臂，点O称为矩心。
由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
图3－4由图3－4可见，力F 对O 点之矩的大小，也可以用三角形OAB 的面积的两倍表示，即m o (F )＝±2ΔABC （3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N •m ）或千牛顿•米（kN •m ）。
工程力学教学课件之三平面任意力系平衡方程
0
0
Fx 0
或
M
0
(
F
)
0
◆ 课题3–2 固定端约束 均布载荷求力矩
一、平衡方程的其它形式
例3-5 图示支架由杆AB、BC组成，A、C、D处均为光滑铰链，在
AB上作用F力，集中力偶M=Fa，=30°，试求杆件AB的约束力。
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
FM A
B
2.平衡方程求约束力
M A (F ) 0 : FB sin 30 2a F a M 0 FB 2F Fx 0 : FAx FBcos30 0 FAx FBcos30 3F Fy 0 : FAy FB sin 30 F 0 FAy 0
2.平面力偶系
MO(F) 0
平面力偶系有一个独立的平衡 方程，解出一个未知数。
3.平面平行力系
Fy 0 M0(F)
0
平面平行力系有一组二个独立 的平衡方程，解出二个未知数。
4.平面任意力系
Fx 0 Fy 0
平面任意力系有一组三个独立 的平衡方程，解出三个未知数。
M 0 (F ) 0
y
C
F M0 F
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0 MA(F) F sin 60 AB F AB 3 / 2
简化结果是一平面力偶系(取其它点为简化中心，结果不变，
因为本来就已构成平面力偶系)。
二、平面任意力系的平衡方程
1.平衡条件 平面任意力系平衡的必充条件为FR=0 Ｍ0=0。即
2.均布载荷求力矩： 均布载荷对平面上任意点O的力矩等于 其合力FQ与分布长度中点到矩心距离的乘积，即
1.4平面力系的平衡方程及应用教案
课题 1.4平面力系的平衡方程及应用
课时 1 班级21机电3/4班课型新课时间2021年10月22日
教学目标知识目标：熟记任意力系和汇交力系平衡的条件能力目标：能通过列平衡方程计算力的大小
德育目标：提高合作探究能力，增强合作意识
教学重点任意力系和汇交力系平衡的条件
教学难点根据平衡方程进行计算
教法直观教学法
学法小组合作探究
教学评价师生互评，小组互评
教具多媒体课件，教具，动画
教学过程及主要教学内容师生活动一、汇交力系平衡方程及图示：
所有的力都汇聚于一点的称为汇交力系。
二、平面任意力系及图示：教师：精讲
互问互答
学生：小组合作学生：组间竞赛
三、例题：
作业减速器中的齿轮轴受力如图所示，已知F、a，求：（1）绘制齿轮轴的受力图；（2）求支座A/B的约束力。
课后反思（教学收获、特色创新、存在不足、改进措施）。
平面任意力系平衡方程及其应用
1、牢固掌握平衡方程的形式 2、牢固掌握用平衡方程解决力学问题的基本步骤 3、能够熟练应用平衡方程
重 点
1、平衡方程的三种形式； 2、平衡方程的灵活应用；
难 点
平衡方程的灵活应用
一、平面任意力系平衡条件及平衡方程 1、平衡条件 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对 任一点的主矩都等于零。即：R′=0 M0=0 2、平衡方程 由 R′= -7
YB XA YA
练习4
校核 ∑MC=6XA-6YA+2P+3Q-m+6q×3 代入数字得 ∑MC=0 说明计算无误
练习5：求图示刚架的支座反力.
q0=2kN/m
二、例1
例2
例3
1、列力矩式 2、列投影式
3、校核
∑MA=0→SB ∑X=0→XA ∑Y=0→YA ∑MB=0
用平衡方程求解平衡问题的步骤： 1、选研究对象，并作其受力图 2、列平衡方程 3、解方程 4、校核
用平衡方程求解平衡问题技巧： 1、X、Y轴尽量建立在与多个未知力平行或垂直的方向上； 2、列力矩式时，矩心选在未知力的交点上； 3、尽量不要求解联立方程组；使得一个方程只有一个未知量
约
梁
B
X
20KN
X Y
2 2
M0=∑M0=∑M0（F）
平衡方程的基本形式
称为平面任意力系基本形式的平衡方程。因方程中仅含有一个 力矩方程，故又称为一矩式平衡方程。它表明平面任意力系平 衡的必要和充分条件为：力系中所有各力在力系作用面内两个 坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零；力系中所有各力对 于作用面内任一点的力矩的代数和等于零。
平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如 下两种形式 。 二力矩式：∑X=0 ∑MA=0 条件：A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式： ∑MA=0 ∑MB=0 条件：A、B、C不能在一条直线上 ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，平 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
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《平面任意力系的平衡》教学设计
【课题】平面任意力系的平衡（中国劳动社会保障出版社《工程力学》第三版第四章第一节）
【课时】第1课时（45分钟）
【课型】新课
【教材分析】静力学研究内容---物体受力分析方法和物体在力系作用下处于平衡条件在工程中应用很广。
工程中最常见的力系是平面任意力系，前述的平面汇交力系和平面力偶系以及后述的平面平行力系可看成是平面任意力系的特殊形式，许多实际问题都可以简化为平面任意力系问题来处理，分析和解决平面任意力系平衡问题在静力学中占有重要地位。
【学情分析】职高学生对工程结构缺乏感性认识，对于作用在工程结构上力的分析难以正确理解，尤其对如何应用平衡方程解决工程上的平衡问题感觉困惑，对所学知识点内容缺乏整合应用的能力。
但他们具有初步的分析和解决问题的能力，这就需要教师能合理设疑，引导学生进行自主探究，充分发挥学生学习主体的作用。
【教学目标分析】
1．识记目标：理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
2．能力目标：能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题；培养学生严谨的逻辑思维能力和自主探索问题的能力；提高学生分析和解决问题的能力。
3．情感目标：培养学生勤于思考的好习惯和严谨、务实、细致的工作态度；通过小组讨论，培养学生的协作精神。
【重点、难点】
重点：平面任意力系的平衡条件和平衡方程以及物体在平面任意力系作用下平衡问题的解法。
难点：应用平面任意力系平衡方程求解物体平衡问题的方法和步骤以及解题方法的优化。
【教学方法及策略】
本节课运用创设问题情境---引导学生自主探究---小组合作讨论---练习总结
---知识拓展的教学模式；采用启发式教学法，引导学生进行自主探究学习，通过对展示案例的合作讨论，进行解题方法的优化，以达到预期的教学目标。
【课件设计思路】
为配合讲课需要，新课引入内容采用动态显示，各例题图及受力分析采用实时作图。
【教学过程设计分析】
学生在前述课题中已经学习了物体的受力分析方法、静力学公理、运用平面汇交力系平衡的解析条件解决平面汇交力系作用下的物体平衡问题、力矩的平衡条件以及平面力偶系的平衡条件等力学知识，而正确地画出物体的受力图是分析、解决静力学平衡问题的基础。
图1 起重机
一、新课引入
图1 起重机
在新课引入时，我直接通过课件展示工程结构力学动态简图（如图1），师生共同分析构件间的约束关系和所受载荷情况后，让学生对水平梁AB进行受力分析，画出受力图。
针对梁AB的受力图，引导学生分析其受力特点及与前述平面汇交力系受力特点的区别，从而引出该课题所要讲授的平面任意力系概念。
二、新课讲授
1、物体在平面力系作用下，不但有在平面内发生移动的可能性，而且有在平面内发生转动变化的可能性。
师设问：要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？引导学生应用已学知识进行自主分析、探索，归纳出平面任意力系的平衡条件。
2、针对水平梁的受力图（如图2），在已知梁重G和起吊载荷Q的前提下，引导学生应用平面任意力系的平衡条件，巩固平面汇交力系平衡方程的基础上，探索求解梁AB平衡问题的方法，在此过程中，师适时地向学生渗透学法、解法及方案的多样化，归纳出平面任意力系的平衡方程（①基本形式----两个投影式，一个力矩式；②二力矩式----二个力矩式，一个投影式。
）。
图2
三、随堂训练
在学生理解平面任意力系的平衡条件和平衡方程的基础上，出示题2（如图3）作为课堂练习，进行求解平衡问题的进一步探索。
学生分组讨论，师加以观察、启发。
杆AB上有三个着力点，根据学生原有认知基础，可能会出现两种讨论结果：①利用三力平衡汇交定理画受力图，根据平面汇交力系平衡方程求解未知量；②利用平面任意力系平衡方程求解未知量。
此题采用平面汇交力系平衡方程求解时，计算比较繁琐，并且容易出错；用平面任意力系平衡方程进行求解相对比较简单。
此时师结合讨论、比较分析结果，向学生渗透解题技巧及方案的优化选择以及运算的准确性，激发学生的发散性思维。
图3
四、练习小结
通过例题1、2的求解，师生共同分析、归纳出平面任意力系平衡问题求解的方法、步骤及解题要点等。
五、课后拓展
在学生初步熟悉求解平面任意力系平衡问题的方法和步骤后，出示题3（如图4）作为课后延伸练习（课后作业）。
工程实际问题形式多样，为简化平面任意力系平衡问题的计算，学生课后对图示小车进行受力分析，画出受力图，应用所学平面任意力系平衡方程进行求解未知量。
求解时要注意坐标轴的合理选择、解题方案的优化，对求解平面任意力系平衡问题有进一步的掌握。
图4
【板书设计】
【教学过程】。