导数定义与极限PPT课件
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《导数和极值》课件
反函数的导数
若$f'(x) neq 0$，则反 函数在相应点的导数为
$frac{1}{f'(x)}$。
高阶导数
二阶导数
二阶导数表示函数图像的弯曲程度， 即函数在某点的切线斜率的斜率。
三阶导数
高阶导数的计算方法
通过连续求导，直到得到所需的高阶 导数。高阶导数的计算在研究函数的 极值、拐点、曲率等方面具有重要意 义。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函数图像上某一点处切线 的斜率。
详细描述
导数的几何意义是切线的斜率。在函数图像上，任意一点的 切线斜率即为该点的导数值。导数越大，表示函数在该点附 近上升或下降得越快；导数越小，表示函数在该点附近变化 得越慢。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度，可以用于描述物理量随时间的变化率。
05 导数和极值的应用
导数在几何中的应用
切线斜率
导数在几何中常用于求曲 线的切线斜率，从而研究 曲线的形状和变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的 单调性，对于研究函数的 极值和最值问题具有重要 意义。
极值判定
导数在几何中还可以用于 判定函数的极值点，从而 确定函数的最值。
导数在物理中的应用
详细描述
导数在物理中有重要的应用，它可以描述物理量随时间的变化率。例如，速度是 位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。通过导数，可以分析物理现象 的变化规律和动态特性。
02 导数的计算
导数的基本公式
01
02
03
04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一次函数导数
对于函数$f(x) = ax + b$， 其导数为$f'(x) = a$。
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
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高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
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添加标题
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
数学知识-函数极限及导数微积分.ppt
/ 推 C u ( x 论 ) C u ( x ： ) Cu ( x ) / /
v u ( x ) ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 . 2 v ( x ) v( x )
/ /
/
3 2 x 例： f ( x ) x 3 x cos x e
类似可定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。二阶以上导 数统称为高阶导数。 大学物理学中，一般只用到二阶导数。
六、利用导数求极值和极值 设右图为函数f(x)在oxy坐标 上的曲线。
曲线上，A、B点的函数值要 比它邻近点的函数值要大， 点A、B称为f(x)的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。
等于函数 y 曲 f (x ) 线 在点 x 的切 0 线的斜率。
从导数的几何意义知：导数反 映了函数的变化快慢。
A
o
x0
x
4）基本求导公式：
1 . y c y 0
/
/ 1 2 . y x y x ( 1 的任意实数）
/ / 5 . y sin x y cos x 6 . y cos x y sin x
( x x ) f ( x ) / y f 0 0 或 ： f ( x ) lim lim y ( x ) 0 0 x 0 x 0 x x
/
2 例求： f( x ) ax bx c 在 x x 处得导数 0
解：x由x0→x0+Δx时，
x 0 x 2
2 x 9 f (x ) (x3 ) x 3
( x 3 )( x 3 ) lim f ( x ) lim lim ( x 3 ) 6 x 3 3 x 3 x x 3
v u ( x ) ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 . 2 v ( x ) v( x )
/ /
/
3 2 x 例： f ( x ) x 3 x cos x e
类似可定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。二阶以上导 数统称为高阶导数。 大学物理学中，一般只用到二阶导数。
六、利用导数求极值和极值 设右图为函数f(x)在oxy坐标 上的曲线。
曲线上，A、B点的函数值要 比它邻近点的函数值要大， 点A、B称为f(x)的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。
等于函数 y 曲 f (x ) 线 在点 x 的切 0 线的斜率。
从导数的几何意义知：导数反 映了函数的变化快慢。
A
o
x0
x
4）基本求导公式：
1 . y c y 0
/
/ 1 2 . y x y x ( 1 的任意实数）
/ / 5 . y sin x y cos x 6 . y cos x y sin x
( x x ) f ( x ) / y f 0 0 或 ： f ( x ) lim lim y ( x ) 0 0 x 0 x 0 x x
/
2 例求： f( x ) ax bx c 在 x x 处得导数 0
解：x由x0→x0+Δx时，
x 0 x 2
2 x 9 f (x ) (x3 ) x 3
( x 3 )( x 3 ) lim f ( x ) lim lim ( x 3 ) 6 x 3 3 x 3 x x 3
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高中数学导数与极限ppt课件
lim an ＝a，读作“当
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
《导数定义与极限》课件
利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点，确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0，且该点两侧 的导数符号相反，则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜 式方程，结合切点坐标，即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中，导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如，物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获 得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则，包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮 助我们简化复杂的导数表达式，从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连 续性、可导性、单调性等。例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极 值和最值等。
谢谢聆听
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词，两者在一定条件 下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式 。
详细描述
在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通 过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而 证明这些等式或不等式。例如，利用极限证明一些函数 的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等 。
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
《利用导数求极限》课件
导数的计算
导数可以通过极限的定 义和求导规则进行计算。
求极限的方法
1
曲线特征法
利用函数图像的特征，通过观察图像来推断函数的极限值。
2
夹逼准则法
通过将函数夹在两个其他函数之间，来确定函数的极限值。
3
极限的运算法则
利用极限的运算法则，对函数进行运算，从而求得函数的极限。
用导数求极限
1
极限的定义及性质
后续学习建议
给出一些建议，如何进 一步学习和应用导数和 极限的知识。
**注意：本PPT课件仅作为学 习交流使用，请勿商用或复制 传播。**
常见函数的导数 求法
学习常见函数的导数求解 方法，以及导数与极限的 关系。
结合导数和极限 的例题分析
通过具体的例题分析，综 合运用导数和极限的知识， 解决复杂的极限问题。
总结
导数与极限的关系
导数是极限的一种特殊 情况，导数可以帮助我 们求解函数的极限值。
导数在极限中的应用
通过导数的概念和性质， 可以更好地和基本性质，了解极限的特点和运算规则。
2
极限存在的必要条件
了解函数极限存在的必要条件，以及如何判断函数是否存在极限。
3
利用导数求左右极限及无穷极限
通过导数的知识和极限的定义，来求解函数的左右极限和无穷极限。
示例分析
常见函数的极限 求法
介绍常见函数如常数函数、 幂函数和指数函数的极限 求解方法。
利用导数求极限
这是一份关于如何利用导数求极限的PPT课件。通过本课件，你将回顾导数的 概念，学习不同的求极限方法，并了解如何用导数求极限，最后总结导数与 极限的关系。
导数的概念回顾
导数的定义
导数是函数在某一点的 变化率，表示函数在该 点的切线的斜率。
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
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导数与微分习题课
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一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系：
lim
x00
f
(x) x
lim x0
6x x
6
f (0)不存在
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导数与微分习题课
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处可导, 试用导数
练习2 设函数
(2)用导数定义求导
（3） 设f (x) (x 2005)(x)，且(x)在x 2005处连续。
证明f (x)在x 2005处可导。 证法1 f (x) （x) (x 2005)(x)
练习1 设函数
(1) 导数定义与极限
f (x) 在 x0 处可导, 试用导数 f (x0 ) 表示下列极限：
（1）lim f (x0 3h) f (x0 ) 解
h0
h
（2） lim f (x0 3h) f (x0 2h) 解
h0
h
（3）
lim
n
n
f
x0
1
n
f (x0 )
解
（4） lim xf (x0 ) x0 f (x) 解
0,
x 0, f (0) 0 0 x
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim x0
f (x) x
lim 2x2 x2 lim x 0
x0
x
x0
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim x0
f (x) x
lim 2x2 x2 lim 3x 0 f (0) 0
可微 可导 连续 极限存在.
本章的计算重点是求函数的导数.
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导数与微分习题课
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1. 导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义.
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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f (2005) （2005) 0(2005) （2005)
证法2
f (2005) lim f (x) f (2005) x2005 x 2005
lim f (x) lim (x 2005)(x) lim (x)
x2005 x 2005 x2004 x 2005
x2005
(x)在x 2005处连续。 lim (x) (2005) x2005
h0
3h
2h
3 f (x0 ) 2 f (x0 ) 5 f (x0 )
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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导数与微分习题课
处可导, 试用导数
（3）
lim
n
n
f
x0
1 n
f
(x0 )
lim
f
x0
x0
x
x0
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导数与微分习题课
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解（c）
f
(
x)
x 2 3x2
,
x 0, 0 x
f (x)
2x 6x,
x 0,且f (0) 0 0 x,
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim
x00
f (x)
lim
x
x0
2x x
2
f(0)
lim
x00
f
(x) f (0) x0
x x0
x x0
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导数与微分习题课
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解（1）原式 lim 3[ f (x0 3h) f (x0 )] 3 f (x0 ).
h0
3h
(2) 原式
分项
lim
(
f
( x0
3h)
f
(x0 )) [
f
( x0
2h)
f
(x0 )]
h0
h
lim 3[ f (x0 3h) f (x0 )] 2[ f (x0 2h) f (x0 )]
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导数与微分习题课
解 （c）
处可导, 试用导数
当x 0时，
f (x) x1 sin 1
x
x2 cos 1 x
1
当x 0时，f (0) 0
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(2)用导数定义求导
f
(
x)
1
x
1
sin
1 x
x2 cos 1 , x
0,
x 0, x 0,
类似于(a )可解得 当 2时，f (x)在x 0时连续
x
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(2)用导数定义求导
lim
x0
x 1
sin
1 x
0, 不存在，
1, 1
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim 0 0 x0
1时，f (0) 0;
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导数与微分习题课
解（b） 注意到: lim x sin 1 0( 0),
x0
x
0 1时 f (x) 在点0处连续, 但不可导.
f (2005) lim (x) (2005) x2005
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导数与微分习题课
练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f (x) 2x2 x x
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(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f (x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f (x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
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导数与微分习题课
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解（b）
2x2 x x f (x)
f( x0
x0
)
f (x0 ) x0 f (x0 )
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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处可导, 试用导数
练习2 设函数
（1） f (x)
x
sin
1 x
,
0,
(2)用导数定义求导
1 n
f (x0 )
n
1
f (x0 )
n
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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处可导, 试用导数
解（4）原式
lim
x x0
xf
(x0 ) x
x0 x0
f
( x0
)
x0
f
(
x) x
x 0,
x 0,
问常数 在什么条件下, 下列结论成立：
（a） f (x) 在点0处可导；
解
（b） f (x) 在点0处连续, 但不可导. 解
（c） f (x)在点0处连续.
解
上一页导数与微分习题课来自处可导, 试用导数解 （a）
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x sin 1 x
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一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系：
lim
x00
f
(x) x
lim x0
6x x
6
f (0)不存在
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处可导, 试用导数
练习2 设函数
(2)用导数定义求导
（3） 设f (x) (x 2005)(x)，且(x)在x 2005处连续。
证明f (x)在x 2005处可导。 证法1 f (x) （x) (x 2005)(x)
练习1 设函数
(1) 导数定义与极限
f (x) 在 x0 处可导, 试用导数 f (x0 ) 表示下列极限：
（1）lim f (x0 3h) f (x0 ) 解
h0
h
（2） lim f (x0 3h) f (x0 2h) 解
h0
h
（3）
lim
n
n
f
x0
1
n
f (x0 )
解
（4） lim xf (x0 ) x0 f (x) 解
0,
x 0, f (0) 0 0 x
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim x0
f (x) x
lim 2x2 x2 lim x 0
x0
x
x0
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim x0
f (x) x
lim 2x2 x2 lim 3x 0 f (0) 0
可微 可导 连续 极限存在.
本章的计算重点是求函数的导数.
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1. 导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义.
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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f (2005) （2005) 0(2005) （2005)
证法2
f (2005) lim f (x) f (2005) x2005 x 2005
lim f (x) lim (x 2005)(x) lim (x)
x2005 x 2005 x2004 x 2005
x2005
(x)在x 2005处连续。 lim (x) (2005) x2005
h0
3h
2h
3 f (x0 ) 2 f (x0 ) 5 f (x0 )
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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处可导, 试用导数
（3）
lim
n
n
f
x0
1 n
f
(x0 )
lim
f
x0
x0
x
x0
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解（c）
f
(
x)
x 2 3x2
,
x 0, 0 x
f (x)
2x 6x,
x 0,且f (0) 0 0 x,
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim
x00
f (x)
lim
x
x0
2x x
2
f(0)
lim
x00
f
(x) f (0) x0
x x0
x x0
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解（1）原式 lim 3[ f (x0 3h) f (x0 )] 3 f (x0 ).
h0
3h
(2) 原式
分项
lim
(
f
( x0
3h)
f
(x0 )) [
f
( x0
2h)
f
(x0 )]
h0
h
lim 3[ f (x0 3h) f (x0 )] 2[ f (x0 2h) f (x0 )]
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解 （c）
处可导, 试用导数
当x 0时，
f (x) x1 sin 1
x
x2 cos 1 x
1
当x 0时，f (0) 0
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(2)用导数定义求导
f
(
x)
1
x
1
sin
1 x
x2 cos 1 , x
0,
x 0, x 0,
类似于(a )可解得 当 2时，f (x)在x 0时连续
x
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(2)用导数定义求导
lim
x0
x 1
sin
1 x
0, 不存在，
1, 1
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim 0 0 x0
1时，f (0) 0;
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解（b） 注意到: lim x sin 1 0( 0),
x0
x
0 1时 f (x) 在点0处连续, 但不可导.
f (2005) lim (x) (2005) x2005
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练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f (x) 2x2 x x
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(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f (x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f (x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
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解（b）
2x2 x x f (x)
f( x0
x0
)
f (x0 ) x0 f (x0 )
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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练习2 设函数
（1） f (x)
x
sin
1 x
,
0,
(2)用导数定义求导
1 n
f (x0 )
n
1
f (x0 )
n
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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导数与微分习题课
处可导, 试用导数
解（4）原式
lim
x x0
xf
(x0 ) x
x0 x0
f
( x0
)
x0
f
(
x) x
x 0,
x 0,
问常数 在什么条件下, 下列结论成立：
（a） f (x) 在点0处可导；
解
（b） f (x) 在点0处连续, 但不可导. 解
（c） f (x)在点0处连续.
解
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f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x sin 1 x