常见数列公式

常见数列公式

等差数列

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +

），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))

3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m

n a a m

n -- 4．等差中项：,,2

b a b

a A ⇔+=

成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式

6.等差数列的前n 项和公式 （1）2

)(1n n a a n S +=

（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2d

a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零

的二次式

8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值

当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值

（2） 利用n S ：由n )2

d

a (n 2d S 12n -+=

二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

1

-n n

a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔

n

n a a 1+=q （+

∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性：

当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和

等比数列的前n 项和公式：

∴当1≠q 时，q

q a S n n --=1)1(1 ① 或q q

a a S n n --=11 ②

当q=1时，1na S n =

当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.

数列通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，

即)8()2(112

1d a a d a +=+d a d 12

=⇒

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵255a S = ∴211)4(2

4

55d a d a +=⋅⨯+

…………② 由①②得：5

3

1=

a ，53=d

∴n n a n 5

3

53)1(53=⨯-+=

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=⇒-==a a S a

当2≥n 时，有

,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-

,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-

].)1(2[3

2

3

])2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

212

---+=

n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。P24（styyj ）

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

1

1)1(112

1+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分

别

令

)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，

代

入

上

式

得

)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=

所以n

a a n 1

11-=-

211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴

类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 (2004全国卷I.15)已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1

___n a ⎧=⎨⎩ 12

n n =≥ P24（styyj ）