流体力学连续性方程的证明

( u ) ( ) ( w) 0 t x y z
u v w d 0 dt x y z
0 对于不可压缩流体， dt d
于是，上式变为：
u v w 0 x y z
上式为微分形式的做定常流动的流体连续性方程，其简单形 式如下：
连续性方程的证明
如图所示，在流场中任取一点M，其在直角 坐标系中的位置为（x,y,z)，以M点为中心取 一微元六面体，六面体的边长dx,dy,dz分别 平行于坐标轴。 在x轴方向，dt时间内，通过表面EFGH 流入的质量是：
dx dx dydzdt x 2 x 2
经过时间dt后，平均密度变为
dt时间内，六面体因密度变 化引起的总质量变化为
dxdydzdt t
根据质量守恒定理有：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt t dxdydzdt
两边同时除以dxdydzdt后得到
由表面ABCD流出的质量是
dx dx dydzdt x 2 x 2
.
在dt时间内沿X轴方向净流入的质量为：

( u ) dxdydzdt x
同理，在y方向和z方向上，时间内通过表面净流入的质量分别 为：

( ) dxdydzdt y
源自文库
( w) dxdydzdt z
则在dt内通过该微元六面体的净流入的质 量为：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt
该六面微元体原来的总质量为
dxdydz
dt dxdydz t
如图，沿流道任取两个过流断面， 1为流入断面，2为流出断面，根 据质量守恒定理，则断面1上流入 的流体质量，应等于断面2上流出 的流体质量，即是：
uA1 uA2 C
若是不可压缩的均质流体，则其做 定常流动的连续性方程为:
u1A1 u 2 A 2 C