1.1.3导数的几何意义PPT优秀课件
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PT近似代替.
数学上常用简单的刻 对画 象复杂的对.例象
如,用有理数 3.1416近似代替无理数 .这里,
我们用曲线上某点切 处线 的近似代替这点
附近的曲线 ,这是微积分中重要想 的方 思法 以直代曲 .
例 2 如图 1 . 1 3 , 它表 h
示跳水运动中高度随
时间变化的函
数 h t
4 . 9 t 2 6 . 5 t 10 的
定的位 ,这置个确定位置P的 T称直 为线 过 P的 点
切线 tangenlitn.e值得关注的,割 问线 题 PP n的 是
斜率与P 切T的 线斜k率 有什么关?系呢
此处切线定义与过以的前切学线定义有同什 ? 么不
容易 ,割 P n 知 的 线 P 道 斜 k nfx 率 x n n x f0 x 0 是 .
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
1.1.3 导数的几何意义
我们知道,导数f 'x0表示函数f x
在x x0 处的瞬时变化,率 反映了函
数 f x在x x0 附近的变化情.况 那 么,导数f 'x0的几何意义是什么?呢
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
1.0
物浓度
c f t (单
0.9 0.8
位 : mg / ml ) 随时间
0.7
t 单位 : min 变化的
0.6
函数图象
. 根据图象
0.5
,
0.4
估计 t 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 6 . 0.3
0 . 8 min 时 , 血管中药 物浓度的瞬时变化
率 精确到 0 . 1 .
们称它为f x的导函数 (derivative function)
(简称导数 ). y f x的导函数有时也记作
y',即 f 'x y' lim f x x f x.
x0
x
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
f'0.81.4.
下表给出了药时 物变 浓化 度率 瞬的,验 估证 计值 一下 ,这些值是.否正确
t
0.20.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬 f't时 0.4变0化 0.率 71.4
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以 看到,当x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这 样,当 x 变化时, f 'x 便是x的一个函数,我
图象 . 根 据图象 , 请描
O
述、比较曲线
h t 在 t0 ,
t 1 , t 2 附近的变化情况
.
l0 l1
t0
t1
来自百度文库
t2
图1.13
t
l2
利用曲线在动点,刻 的画 切曲 线线在动点附
的变化情 . 况
解我们用 hx曲 在 t0线 ,t1,t2处的,切 刻线 画曲 线 ht在上述三个变 时化 刻.情 附况 近的
所,在 以 tt2附近曲 ,即 线 函 h下 t在 数 t降 t1附近
单调. 递减
从1图 .13可见 ,直线 l1的倾斜程度l2的 小倾 于斜 直
程度 ,这说明h曲 t在t线 1附近比 t2附在 近下降. 得
cm/gml
例 3 如图 1 . 1 4 , 它 1.1
表示人体血管中药
当点Pn无限趋近于P时 点,kn无限趋近于切 PT线
的斜率 .因此,函数f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率 k.即
k
f lim
x0
x0
x
x
f
x0
f
'x0.
继续观察1图.12或动画演示 ,可以发现,
在点P附近, PP2比PP1更贴近曲线f x, PP3 比PP2 更贴近曲线f x 过点P的切线 PT最贴近点P附近的曲线f x.因此,在点 P附近,曲线f x就可以用过点 P的切线
沿着曲线
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfx
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
T x
P4 P
O
T x
4 3
图1.12
动画演示割线变化趋势 .
我们发 ,当现点 Pn趋近于 P时 点 ,割线 PP n趋近于确
0.2
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
0.6
0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t min
图1.14
解 血管中某一时 度刻 的药 瞬物 时浓 ,就 变是 化
药物浓 ft度 在此时刻.从 的图 导象 数,它 上表 看示
曲线ft在此点处的切线. 的斜率
如图 1.14,画出曲线上某点线 处,利的用切网格 估计这条切线的 ,可斜 以率 得到此刻药瞬 物浓度 时变化率的近. 似值 作 t0.8处的,切 它线 的斜 率 1.4,约 所为 以
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当 tt1时 ,曲h线 t在 t1 O
t0
t1
t2
图1.13
t
l2
处的l切 1的线 斜 h`t率 10.所,以 在 tt1附近曲线
降 ,即函 ht数 在 tt1附近单.调递减 3当 tt2时 ,曲h线 t在 t2处的l2的 切斜 线 h`t2率 0.
数学上常用简单的刻 对画 象复杂的对.例象
如,用有理数 3.1416近似代替无理数 .这里,
我们用曲线上某点切 处线 的近似代替这点
附近的曲线 ,这是微积分中重要想 的方 思法 以直代曲 .
例 2 如图 1 . 1 3 , 它表 h
示跳水运动中高度随
时间变化的函
数 h t
4 . 9 t 2 6 . 5 t 10 的
定的位 ,这置个确定位置P的 T称直 为线 过 P的 点
切线 tangenlitn.e值得关注的,割 问线 题 PP n的 是
斜率与P 切T的 线斜k率 有什么关?系呢
此处切线定义与过以的前切学线定义有同什 ? 么不
容易 ,割 P n 知 的 线 P 道 斜 k nfx 率 x n n x f0 x 0 是 .
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
1.1.3 导数的几何意义
我们知道,导数f 'x0表示函数f x
在x x0 处的瞬时变化,率 反映了函
数 f x在x x0 附近的变化情.况 那 么,导数f 'x0的几何意义是什么?呢
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
1.0
物浓度
c f t (单
0.9 0.8
位 : mg / ml ) 随时间
0.7
t 单位 : min 变化的
0.6
函数图象
. 根据图象
0.5
,
0.4
估计 t 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 6 . 0.3
0 . 8 min 时 , 血管中药 物浓度的瞬时变化
率 精确到 0 . 1 .
们称它为f x的导函数 (derivative function)
(简称导数 ). y f x的导函数有时也记作
y',即 f 'x y' lim f x x f x.
x0
x
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
f'0.81.4.
下表给出了药时 物变 浓化 度率 瞬的,验 估证 计值 一下 ,这些值是.否正确
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0.20.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬 f't时 0.4变0化 0.率 71.4
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以 看到,当x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这 样,当 x 变化时, f 'x 便是x的一个函数,我
图象 . 根 据图象 , 请描
O
述、比较曲线
h t 在 t0 ,
t 1 , t 2 附近的变化情况
.
l0 l1
t0
t1
来自百度文库
t2
图1.13
t
l2
利用曲线在动点,刻 的画 切曲 线线在动点附
的变化情 . 况
解我们用 hx曲 在 t0线 ,t1,t2处的,切 刻线 画曲 线 ht在上述三个变 时化 刻.情 附况 近的
所,在 以 tt2附近曲 ,即 线 函 h下 t在 数 t降 t1附近
单调. 递减
从1图 .13可见 ,直线 l1的倾斜程度l2的 小倾 于斜 直
程度 ,这说明h曲 t在t线 1附近比 t2附在 近下降. 得
cm/gml
例 3 如图 1 . 1 4 , 它 1.1
表示人体血管中药
当点Pn无限趋近于P时 点,kn无限趋近于切 PT线
的斜率 .因此,函数f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率 k.即
k
f lim
x0
x0
x
x
f
x0
f
'x0.
继续观察1图.12或动画演示 ,可以发现,
在点P附近, PP2比PP1更贴近曲线f x, PP3 比PP2 更贴近曲线f x 过点P的切线 PT最贴近点P附近的曲线f x.因此,在点 P附近,曲线f x就可以用过点 P的切线
沿着曲线
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfx
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
T x
P4 P
O
T x
4 3
图1.12
动画演示割线变化趋势 .
我们发 ,当现点 Pn趋近于 P时 点 ,割线 PP n趋近于确
0.2
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
0.6
0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t min
图1.14
解 血管中某一时 度刻 的药 瞬物 时浓 ,就 变是 化
药物浓 ft度 在此时刻.从 的图 导象 数,它 上表 看示
曲线ft在此点处的切线. 的斜率
如图 1.14,画出曲线上某点线 处,利的用切网格 估计这条切线的 ,可斜 以率 得到此刻药瞬 物浓度 时变化率的近. 似值 作 t0.8处的,切 它线 的斜 率 1.4,约 所为 以
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当 tt1时 ,曲h线 t在 t1 O
t0
t1
t2
图1.13
t
l2
处的l切 1的线 斜 h`t率 10.所,以 在 tt1附近曲线
降 ,即函 ht数 在 tt1附近单.调递减 3当 tt2时 ,曲h线 t在 t2处的l2的 切斜 线 h`t2率 0.