1.1.3导数的几何意义PPT优秀课件
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高中数学 1.1.3《导数的几何意义》课件 新人教B版选修2-2
沿着曲线
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfxP2 TPOxO
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
T
P
T
P4 P
O
xO
x
3 ppt课件
4
图1.12
我们发 ,当现 点 Pn趋近于 P时 点 ,割线 PP n趋近于确 定的位 ,这置个确定位置 PT的 称直 为线 过 P的 点
1.1.3 导数的几何意义
ppt课件
我 们知 道 ,导 数f 'x0表 示函 数f x
在x x0 处 的 瞬 时 变 化,反率映 了 函
数 f x在x x0 附 近的 变化 情.那况 么,导 数f 'x0的 几 何 意 义 是 什?么 呢
ppt课件
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
的斜率 .因此,函数f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k.即
k
f lim
x0
x
f x0 ppt课件
f
'x0.
x0
x
例 2 如图 1 .1 3 ,它表 h
示跳水运动中高度随
时间变化的函 数 h t
4 . 9 t 2 6 . 5 t 10 的
图象 . 根 据图象 , 请描 O
述、比较曲线 h t 在 t0 ,
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦,几乎没有升降.
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfxP2 TPOxO
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
T
P
T
P4 P
O
xO
x
3 ppt课件
4
图1.12
我们发 ,当现 点 Pn趋近于 P时 点 ,割线 PP n趋近于确 定的位 ,这置个确定位置 PT的 称直 为线 过 P的 点
1.1.3 导数的几何意义
ppt课件
我 们知 道 ,导 数f 'x0表 示函 数f x
在x x0 处 的 瞬 时 变 化,反率映 了 函
数 f x在x x0 附 近的 变化 情.那况 么,导 数f 'x0的 几 何 意 义 是 什?么 呢
ppt课件
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
的斜率 .因此,函数f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k.即
k
f lim
x0
x
f x0 ppt课件
f
'x0.
x0
x
例 2 如图 1 .1 3 ,它表 h
示跳水运动中高度随
时间变化的函 数 h t
4 . 9 t 2 6 . 5 t 10 的
图象 . 根 据图象 , 请描 O
述、比较曲线 h t 在 t0 ,
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦,几乎没有升降.
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
课件15：1.1.3 导数的几何意义
3x2 x 3x x2 x3 x
lim
x0
x
x0
x
lim
x0
3x2
3x
x
x
2
1
3x2
1,
k=f′(a)=3a2+1=4,a=±1. 把a=-1，代入到f(x)=x3+x-2得b=-4； 把a=1，代入到f(x)=x3+x-2得b=0，所以P0点的坐标为(1,0)和(-1,-4). 【答案】B
变式训练：曲线y=x3-3x上某点处的切线平行于x轴，求该点坐 标. 解：设切点为(x,y)，则切线的斜率为
f x x f x
k lim
x0
x
x x3 3 x x x3 3x
lim
x0
x
lim
x0
3x2
3x
x
x 2
3
3x2
3.
∵切线平行于x轴，∴k=0. 即3x2-3=0.解得x=±1. ∴当x=1时，y=13-3×1=-2. 当x=-1时，y=(-1)3-3×(-1)=2. ∴所求点为(1,-2)或(-1,2).
【解析】因为k=f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点 的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程却可能 存在，其切线方程为x=x0.
【答案】C
2.已知曲线y=3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为 ______.
【解析】∵
y 3 x x2 3x2
x
x
=6x+3Δx,
0≤f′(x0)≤tan
4
＝1，
因为f′(x)＝2ax＋b，所以0≤2ax0＋b≤1，
因为抛物线y＝f(x)的对称轴为直线l：x＝-
b 2a
课件3：1.1.3导数的几何意义
(2)求平均变化率
;
x
x
0
y
(3)取极限，得导数f ( x0 ) lim
.
x 0 x
例1： = 2 ,求 , (), ′ (−1) , ′ (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量
的值代入求得导数值。
解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x)
的变化情况.
t
l2
解 我们用曲线h x 在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲
线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
1当t t0时,曲线ht 在
h
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
所以, 在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
l1
O
t0
t1
图1.1 3
t2
x
x
1
1
lim
，
x 0 2
（2 x）
4
1
1
所 以， 这 条双 曲 线过 点
（2， ） 的 切线 斜 率为 .
2
4
1
1
1
故 所求 切 线方 程为
y ( x 2)， 即y x 1.
2
4
4
再见
x
2.求曲线y 3 x 2 4 x 2在点M（1，1）处的
切线方程。
１
１
3. 求双曲线ｙ＝ 过点（２，）的切线方程．
ｘ
２
练习
1
1
3. 求双曲线 = 过点(2, )的切线方程
2
1
1
f（2 x） f（2）
;
x
x
0
y
(3)取极限，得导数f ( x0 ) lim
.
x 0 x
例1： = 2 ,求 , (), ′ (−1) , ′ (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量
的值代入求得导数值。
解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x)
的变化情况.
t
l2
解 我们用曲线h x 在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲
线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
1当t t0时,曲线ht 在
h
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
所以, 在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
l1
O
t0
t1
图1.1 3
t2
x
x
1
1
lim
，
x 0 2
（2 x）
4
1
1
所 以， 这 条双 曲 线过 点
（2， ） 的 切线 斜 率为 .
2
4
1
1
1
故 所求 切 线方 程为
y ( x 2)， 即y x 1.
2
4
4
再见
x
2.求曲线y 3 x 2 4 x 2在点M（1，1）处的
切线方程。
１
１
3. 求双曲线ｙ＝ 过点（２，）的切线方程．
ｘ
２
练习
1
1
3. 求双曲线 = 过点(2, )的切线方程
2
1
1
f（2 x） f（2）
高中数学 1.1.3导数的几何意义课件 新人教版必修1.ppt
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
练习:
例4.已知y x，求y.
解： y x x x
y
1
x x x x
x xxx
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
P9练习
练习
练习
P10 A组 第3、4、5题，，
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的导数 f (x0），得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x0).
练习:如图已知曲线 y
1 3
x3上一点P(2, 8) 3
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
第一章1.1.3导数的几何意义ppt课件
＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
上
页
导 数 及 其
【分析】 解答本题可先设切点坐标，再利用 切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解．
下 页
应
用
规律方法总结 随堂即时巩固 课时活页训练
基础知识梳理 课堂互动讲练
【解】 设点 P(x0，y0)．由
第 一 章
y′＝li m Δx→ 0
Δy Δx
＝li m Δx→ 0
基础知识梳理 课堂互动讲练
课堂互动讲练
第 一
题型一 导数定义的应用
章
例1 设函数 f(x)在点 x0 处可导，试求下列各极限的值． 上
导 数
(1) lim Δx→0
fx0－Δx－fx0； Δx
及 其
(2)lim h→0
fx0＋h2－hfx0－h.
页
下 页
应
用
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第 一 章
解析：选 D.lim h→0
fa＋3h－fa－h 2h
＝lim h→0
fa＋3h－fa＋fa－fa－h 2h
上 页
导
数 及
＝lim h→0
f a＋33hh－fa·32＋f a－－hh－fa·12
其
下 页
应 用
＝32·f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．
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第
一 章
【点评】 求曲线的切线要注意“过点P的切线”
与“P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点
上
页
导 P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点
1.1.3导数的几何意义课件人教新课标
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在 t＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就 是说此时烟花的瞬时速度几乎为 0，达到 最高点并爆裂；在 0～1.5 s 之间，曲线在 任何点的切线斜率大于 0 且切线的倾斜 程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的 速度上升；在 1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率小于 0 且切线 的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速 度下降，直到落地．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x ＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
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第一章 导数及其应用
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解析： 点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， ∴f(5)＝－5＋8＝3. 且f′(5)＝－1， ∴f(5)＋f′(5)＝2. 答案： 2
[思路点拨]
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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程的步骤：
求曲线上某点(x0，y0)处切线方 求出f′x0即切线斜率
↓ 写出切线的点斜式方程
↓ 化简切线方程
特别提醒：在求切线方程的题目中，注意题干给出的点不 一定在曲线上，即使在曲线上也不一定作为切点应用．
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第一章 导数及其应用
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1.1.3导数的几何意义 人教课标版精品课件
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。 老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓
课件4：1.1.3 导数的几何意义
Δx
＝ [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴切线的斜率为 3. ∴过点 P 的切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即 3x－y－2＝0.
(2)由yy＝ ＝
3x－ x3，
2，
得 (x－ 1)2(x＋ 2)＝ 0，
解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)，M(－2，－8)．
∴该点的坐标为(2,9)．
【名师点评】 求切点坐标可以按以下步骤进行： (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练 3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－ 10x＋3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切 线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________． 解析：由定义法易求得 y′＝3x2－10， ∴3x2－10＝2，得 x＝±2， 又点 P 在第二象限内，
∴x＝－2，点 P 的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
方法感悟
1．导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处
的切线的斜率，即 k＝
f
x0＋
Δx－f Δx
x0＝
f′
(x0)，物
理
意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数， “导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切
y′，即 f′(x)＝y′＝
f x＋ Δx－ fx
__________Δ_x_________.
想一想
f′(x0)与f′(x)相同吗？ 提示：不相同．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，f′(x) 是函数在某区间上的导函数．
课件8：1.1.3 导数的几何意义
新知识·预习探究 知识点一 导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是 曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
【练习 1】 设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))
(2)“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点 的切线，此点不一定是切点，在某点处的切线才表明此 点是切点．
变式探究 2 试求过点 P(3,5)且与曲线 y＝x2 相切的直线方程．
解析：可以验证 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为 A(x0，y0)．
y′|
x＝
x0
＝ lim Δx→0
第一章 导数及其应用
1.1.3 导数的几何意义
目标导航 1．掌握曲线切线的概念，理解切线的斜率的含义和求 法； 2．通过对曲线的切线形成过程的分析，理解数学概念 的发生定义方式，认识数学推理的严密性和科学性； 3．结合导数的几何意义，会求曲线 y＝f(x)在某点处的 切线方程； 4．了解导函数的定义．
2．函数在某一点处的导数与函数的导数的区别与联系 (1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与 自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变 数． (2)函数的导数是对某一区间内任意一点 x 而言的，就是 函数 f(x)的导数 f′(x)． (3)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是导函数 f′(x)在点 x ＝x0 处的导数值.
y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′
＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
【练习2】 函数y＝3x2＋6x的导数是( )
1.1.3+导数的几何意义+课件
类似地，可以定义三阶导数f ′′′(x)等等．
02
新知探索
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导数的几何意义
斜抛或平抛的物体，例如炮弹在运动过程中，其速度方向时刻都在变 化．由物理常识可知，这时物体运动的轨迹是抛物线，而速度的方向线正 是抛物线的切线．
怎样作出抛物线的切线呢? 如图，P，Q1是曲线y =f (x)上的两个 点，直线 PQ1是曲线的一条割线，PT是曲 线的一条切线．让点Q1沿曲线趋近于点P， 割线PQ1如果趋近于一条直线，这条直线 就是曲线在点P处的切线．
f (x0 d ) d
f (x0 ) ．
当点Qn沿曲线越逼近于点P时，直线PQn的斜率越逼近曲线的切线
PT的斜率．即
kPT
lim d 0
f
( x0
d) d
f
(x0 )
f
(x0 )．
因此，函数f (x)在x = x0处的导数就是切线PT的斜率，即k = f ′(x0)．
导数的几何意义
例9求函数f (x)=x²－3x＋c的图象上点 P(u，f (u))处切线的斜率．
2
2
f (1 d) f (1) 1 d 1
因为 kAB 2 d
2 2
2
d
d
1
d( 1 d 1) 1 d 1
2
22
2
当d→0时，kAB→
2 ．因此，所求切线的斜率为 2 ．
2
2
导数的几何意义
例11若曲线y =x3存在斜率为1的切线，试求出切线的方程．
解：设在曲线y =x3在点(x0，x03)处的斜率为1．
解：在曲线上另取一点Q(u＋d，f (u＋d)) ．
因为
f (u d) f (u)
02
新知探索
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导数的几何意义
斜抛或平抛的物体，例如炮弹在运动过程中，其速度方向时刻都在变 化．由物理常识可知，这时物体运动的轨迹是抛物线，而速度的方向线正 是抛物线的切线．
怎样作出抛物线的切线呢? 如图，P，Q1是曲线y =f (x)上的两个 点，直线 PQ1是曲线的一条割线，PT是曲 线的一条切线．让点Q1沿曲线趋近于点P， 割线PQ1如果趋近于一条直线，这条直线 就是曲线在点P处的切线．
f (x0 d ) d
f (x0 ) ．
当点Qn沿曲线越逼近于点P时，直线PQn的斜率越逼近曲线的切线
PT的斜率．即
kPT
lim d 0
f
( x0
d) d
f
(x0 )
f
(x0 )．
因此，函数f (x)在x = x0处的导数就是切线PT的斜率，即k = f ′(x0)．
导数的几何意义
例9求函数f (x)=x²－3x＋c的图象上点 P(u，f (u))处切线的斜率．
2
2
f (1 d) f (1) 1 d 1
因为 kAB 2 d
2 2
2
d
d
1
d( 1 d 1) 1 d 1
2
22
2
当d→0时，kAB→
2 ．因此，所求切线的斜率为 2 ．
2
2
导数的几何意义
例11若曲线y =x3存在斜率为1的切线，试求出切线的方程．
解：设在曲线y =x3在点(x0，x03)处的斜率为1．
解：在曲线上另取一点Q(u＋d，f (u＋d)) ．
因为
f (u d) f (u)
课件6：1.1.3 导数的几何意义
第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义
1．知识与技能 理解导数的几何意义，并会用导数的定义求曲线的切线方 程． 2．过程与方法 能用导数的方法解决有关函数的一些问题． 3．情感态度与价值观 理解导数的几何意义，体会导数的思想及丰富内涵，感受 导数在解决实际问题中的应用．
本节重点：导数的几何意义． 本节难点：利用导数解决实际问题．
解得x0＝0或x0＝2， 所以切线方程的斜率为1或5， 所以所求切线方程为y＝x或y＝5x－4.
[例3] 已知抛物线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋4平
行．求点P的坐标和切线方程．
[解析] 设点 P(x0，y0)，
则 y′|x＝x0＝Δlixm→0
(x0＋Δx)2－x20 Δx
＝Δlixm→0 2x0ΔxΔ＋x (Δx)2＝2x0.
[例2] 若上例中曲线方程不变，求过点(2,5)的切线的方 程．
[解析] 设曲线过点(2,5)的切线的切点坐标为(x0，y0)，
y′|x＝x0
＝lim Δx→0
(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)＋1－(x20＋3x0＋1) Δx
＝lim Δx→0
(2x0＋3)ΔΔxx＋(Δx)2＝2x0＋3.
∴切线方程为 y－(x20＋3x0＋1)＝(2x0＋3)(x－x0)． 又此切线过点(2,5)， ∴5－x02－3x0－1＝(2x0＋3)(2－x0)， 解得 x0＝2± 6. ∴切线方程为 y＝(7＋2 6)x－9－4 6或 y＝(7－2 6)x－9＋4 6.
[说明] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定 义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线 与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所 示．
(2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若ΔΔyx(当 Δx 无 限趋近于 0 时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋 近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于 x 轴的 直线)；其二是ΔΔyx既不是趋近于某一常数也不趋近于∞，则 此时切线不存在．
1．知识与技能 理解导数的几何意义，并会用导数的定义求曲线的切线方 程． 2．过程与方法 能用导数的方法解决有关函数的一些问题． 3．情感态度与价值观 理解导数的几何意义，体会导数的思想及丰富内涵，感受 导数在解决实际问题中的应用．
本节重点：导数的几何意义． 本节难点：利用导数解决实际问题．
解得x0＝0或x0＝2， 所以切线方程的斜率为1或5， 所以所求切线方程为y＝x或y＝5x－4.
[例3] 已知抛物线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋4平
行．求点P的坐标和切线方程．
[解析] 设点 P(x0，y0)，
则 y′|x＝x0＝Δlixm→0
(x0＋Δx)2－x20 Δx
＝Δlixm→0 2x0ΔxΔ＋x (Δx)2＝2x0.
[例2] 若上例中曲线方程不变，求过点(2,5)的切线的方 程．
[解析] 设曲线过点(2,5)的切线的切点坐标为(x0，y0)，
y′|x＝x0
＝lim Δx→0
(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)＋1－(x20＋3x0＋1) Δx
＝lim Δx→0
(2x0＋3)ΔΔxx＋(Δx)2＝2x0＋3.
∴切线方程为 y－(x20＋3x0＋1)＝(2x0＋3)(x－x0)． 又此切线过点(2,5)， ∴5－x02－3x0－1＝(2x0＋3)(2－x0)， 解得 x0＝2± 6. ∴切线方程为 y＝(7＋2 6)x－9－4 6或 y＝(7－2 6)x－9＋4 6.
[说明] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定 义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线 与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所 示．
(2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若ΔΔyx(当 Δx 无 限趋近于 0 时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋 近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于 x 轴的 直线)；其二是ΔΔyx既不是趋近于某一常数也不趋近于∞，则 此时切线不存在．
课件7：1.1.3 导数的几何意义
(3)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角， 所以其斜率为－1， 即 2x0＝－1，得 x0＝－12，y0＝14， 即 P－12，14.
变式训练2：已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－ 2x2＋3相切． (1)求切点的坐标； (2)求a的值．
解：(1)设直线 l 与曲线 C 相切于 P(x0，y0)点．
(2)教材用割线的极限位置上的直线来定义切线：“当点 B
沿曲线趋近于点 A 时，பைடு நூலகம்线 AB 绕点 A 转动……”，许多同学容
易忽视“沿曲线”而说成“当点 B 趋近于点 A 时”，这就不准确了．
(3)函数 y＝f(x)在点 x0处导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点
(x0，f(x0))切线的斜率，也就是说，曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))
3．求切点的坐标 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率， 然后利用两直线平行、垂直等条件求出切点的坐标．
求切点坐标的一般思路：
(1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0得切点坐标．
即 y＝2x－1.
两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形 如图所示， 所以 S＝12×1×(2－12)＝34，故三角形的面积为34.
变式训练3：曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求 出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
解：令 y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3， ΔΔyx＝Δx2，当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔyx无限趋近于常数 0， 这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在 x＝0 处的切 线存在，此时切线的斜率为 0(ΔΔyx无限趋近于 0)，又曲线过点 (0,0)，故切线方程为 y＝0.
课件9：1.1.3 导数的几何意义
Δx→0
Δx
问题探究
探究点一
问题1
导数的几何意义
如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋
近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
答
当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．
这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
问题2
答
曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
lim
Δx→0
Δx
__________________.
(2)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在
点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．也就是说，曲线y＝
f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)．相应地，
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
lim
Δx
＝Δx→0
lim (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝202 －7代入上式，
率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；
若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0
附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上
升和下降的快慢．
跟踪训练1
(1)根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4
附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
Δx
问题探究
探究点一
问题1
导数的几何意义
如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋
近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
答
当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．
这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
问题2
答
曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
lim
Δx→0
Δx
__________________.
(2)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在
点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．也就是说，曲线y＝
f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)．相应地，
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
lim
Δx
＝Δx→0
lim (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝202 －7代入上式，
率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；
若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0
附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上
升和下降的快慢．
跟踪训练1
(1)根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4
附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
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当点Pn无限趋近于P时 点,kn无限趋近于切 PT线
的斜率 .因此,函数f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率 k.即
k
f lim
x0
x0
x
x
f
x0
f
'x0.
继续观察1图.12或动画演示 ,可以发现,
在点P附近, PP2比PP1更贴近曲线f x, PP3 比PP2 更贴近曲线f x 过点P的切线 PT最贴近点P附近的曲线f x.因此,在点 P附近,曲线f x就可以用过点 P的切线
所,在 以 tt2附近曲 ,即 线 函 h下 t在 数 t降 t1附近
单调. 递减
从1图 .13可见 ,直线 l1的倾斜程度l2的 小倾 于斜 直
程度 ,这说明h曲 t在t线 1附近比 t2附在 近下降. 得
cm/gml
例 3 如图 1 . 1 4 , 它 1.1
表示人体血管中药
图象 . 根 据图象 , 请描
O
述、比较曲线
h t 在 t0 ,
t 1 , t 2 附近的变化情况
.
l0 l1
t0
t1
t2
图1.13
t
l2
利用曲线在动点,刻 的画 切曲 线线在动点附
的变化情 . 况
解我们用 hx曲 在 t0线 ,t1,t2处的,切 刻线 画曲 线 ht在上述三个变 时化 刻.情 附况 近的
沿着曲线
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfx
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
T x
P4 P
O
T x
4 3
图1.12
动画演示割线变化趋势 .
我们发 ,当现点 Pn趋近于 P时 点 ,割线 PP n趋近于确
f'0.81.4.
下表给出了药时 物变 浓化 度率 瞬的,验 估证 计值 一下 ,这些值是.否正确
t
0.20.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬 f't时 0.4变0化 0.率 71.4
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以 看到,当x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这 样,当 x 变化时, f 'x 便是x的一个函数,我
0.2
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
0.6
0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t min
图1.14
解 血管中某一时 度刻 的药 瞬物 时浓 ,就 变是 化
药物浓 ft度 在此时刻.从 的图 导象 数,它 上表 看示
曲线ft在此点处的切线. 的斜率
如图 1.14,画出曲线上某点线 处,利的用切网格 估计这条切线的 ,可斜 以率 得到此刻药瞬 物浓度 时变化率的近. 似值 作 t0.8处的,切 它线 的斜 率 1.4,约 所为 以
PT近似代替.
数学上常用简单的刻 对画 象复杂的对.例象
如,用有理数 3.1416近似代替无理数 .这里,
我们用曲线上某点切 处线 的近似代替这点
附近的曲线 ,这是微积分中重要想 的方 思法 以直代曲 .
例 2 如图 1 . 1 3 , 它表 h
示跳水运动中高度随
时间变化的函
数 h t
4 . 9 t 2 6 . 5 t 10 的
1.1.3 导数的几何意义
我们知道,导数f 'x0表示函数f x
在x x0 处的瞬时变化,率 反映了函
数 f x在x x0 附近的变化情.况 那 么,导数f 'x0的几何意义是什么?呢
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
定的位 ,这置个确定位置P的 T称直 为线 过 P的 点
切线 tangenlitn.e值得关注的,割 问线 题 PP n的 是
斜率与P 切T的 线斜k率 有什么关?系呢
此处切线定义与过以的前切学线定义有同什 ? 么不
容易 ,割 P n 知 的 线 P 道 斜 k nfx 率 x n n x f0 x 0 是 .
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
们称它为f x的导函数 (derivative function)
(简称导数 ). y f x的导函数有时也记作
y',即 f 'x y' lim f x x f x.
x0
x
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当 tt1时 ,曲h线 t在 t1 O
t0
t1
t2
图1.13
t
l2
处的l切 1的线 斜 h`t率 10.所,以 在 tt1附近曲线
降 ,即函 ht数 在 tt1附近单.调递减 3当 tt2时 ,曲h线 t在 t2处的l2的 切斜 线 h`t2率 0.
1.0
物浓度
c f t (单
0.9 0.8
位 : mg / ml ) 随时间
0.7
t 单位 : min 变化的
0.6
函数图象
. 根据图象
0.5
,
0.4
估计 t 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 6 . 0.3
0 . 8 min 时 , 血管中药 物浓度的瞬时变化
率 精确到 0 . 1 .