数学专业英语课文翻译2(吴炯圻)

7A

在日常使用的英文单词"序列"和

' '系列"是同义词，和他们用来建议一系列的事情或

按某种顺序排列的事件。在数学中，这句话有特别

技术的意义。"序列"一词被受雇如在共同使用

这一术语，传达的理念的一套东西排列顺序，但

"系列"一词用于稍有不同的意义。概念

在本节中，将讨论序列和系列将定义第11 节。

如果为每个正整数n 有关联的真实或复数a，那时有序的集据说是定义一个无限的序列。这里最重要的是每个成员集的已标记的整数，使我们可以发言的第一届、第二个任期，以及，一般的第n 个词。每个学期了继任者，因此，没有任何"最后"一词。

如果我们给一些规则或第n 个词描述的公式，可以构造序列的最常见的例子。因此，例如，公式= 1 定义的序列的第五个任期是1.有时两个或多个公式可受雇作为，例如，a=1.the 第一次在这种情况下被1 的一些术语。

另一种常见方法定义一系列是一套的说明解释了如何在一个给定的开始后进行的。因此，我们可能= 1。

此特定的规则被称为递归公式，它定义了著名的序列，其条款被称为斐波那契数。第一次的几个术语are1。

最重要的事情是序列的序列的这样f(n) 的每个n=1.In 事实的第n 个燕鸥是序列的序列的正整数上定义一些函数 f 的任何序列，这可能是序列的序列的最方便的方法，国家技术定义。

定义。其域是所有积极integers1 的一组函数f 称为一个无限的序列。函数值f(n) 调用序列的第n 个词。

通过按顺序，因此编写条款通常显示的功能（即，函数值的集合）的范围：f (2)。为简便起见，{f(n)} 符号用于指示第n 个任期是f(n) 的序列。由使用下标，很多时候表示，n 的依赖和我们写，或类似的而不是f (n0。除非另外指定，否则所有的序列，在这一章中假定有真实的或复杂的条款。

7B

我们担心在这里主要的问题在于决定是否条款f(n) 倾向于有限的n 无限增加。若要把这个问题，我们必须扩展序列的极限概念。这样做，如下所示。

定义。{F(n)} 序列据说有限制L 如果对于每一个积极的数字e，有另一个积极的号码N （这可能取决于电子），… …。

在这种情况下，我们说的序列{f(n)} 汇聚为L 和我们写… …...

不衔接的一系列被称为发散。

在此定义的函数值f(n) L 的限制可能是真实或复杂的数字，如果f 和L 极为复杂，我们可能其分解到他们真实和虚构的部件，说f u + 四和L = = + ib，那么我们有f(n) —— L = u(n) —— a + i [v (n)-b]。这种不平等

…………… 显示这两个关系的f(n)-> L 意味着u(n)-> 和v(n)-> b … …

换句话说，复值序列f 汇聚当且仅当真实部分u 和v 虚部分开，汇聚在这种情况下，我们有…

很显然所有积极真正x 定义的任何函数可用于构建一系列限制x 采取只为整数值。这就解释了刚才的定义和更一般的功能一节6.4 强类比。类比带出无限的限制，以及和我们留给读者去定义符号… …...

如第6.5 条，在工作时，f 是实数。F 是复杂的如果我们写f(n)-> … …

这句话的"收敛"仅用于序列，其限制是有限的。序列的无限的极限据说存在分歧。当然，有不同的序列不具有无限的限制。示例由以下公式定义：… … …

应付款项、产品等限制的基本规则限制的收敛的序列，还举行读者应该有没有为自己制定这些定理的困难。有点类似于3.5 节中给他们的证明。

7 C

{F(n)} 序列说如果不断增加… …

我们通过编写… … f(n) 简要说明这。如在另一只手。我们有… …

我们调用序列降低和写f(n) … …，如果它要增加或者它正在减少，称为单调序列。

单调序列是令人愉快的工作，因为他们的趋同或分歧就特别容易确定，事实上，我们有以下的简单准则。

7.1 定理。单调的序列汇聚当且仅当它为界。

注：{f(n)} 序列被称为有界如果存在积极的数米，… …，一个序列，不有界称为无界。

证明。很明显的无界的序列不可能达成一致。因此，我们要证明是有界的单调序列必须衔接。

假定… … f (n)，让L 表示至少上限的函数值的集合。（序列为界，因为它有公理10-实数系统的最上限。）然后f(n) < L 所有n，我们须证明序列汇聚到l。

选择任何积极的数字e、L e 不能为所有号码f(n) 上限，因为我们必须有L e < 一些北美（此N 可能依赖电子），为f(n) 如果n > N，我们有f(N) < f(n) 自f(n) … …，因此，我们有L e < < L 所有n > f(n) N铝在图2-7-1 所示。从这些不平等现象，我们发现，0 < < 所有n e > L-f(n) N

而这意味着该序列收敛为L，断言。

………

如果f (n) … …，证明是类似的在这种情况下是最大的一组函数值的下限的限制。

9B

当我们使用微分方程(9.1）等时，这是习惯写流行的位置的y 和y' f'(x)，正在由y 表示的更高的衍生品的位置'，y '' 等。当然，其他字母如u、v、z 等也使用的y，而不是由方程的顺序是最高的衍生品的出现，例如，(9.1) 的顺序是一阶方程的可写为y' = y。微分方程y' = … … 是第二个命令之一。

在这一章中，我们将开始研究时，一阶方程所能解决的y' 写，如下所示：

Y'=f(x,y)

在右侧的表达式f (x，y) 具有各种特殊形式，一次可微函数y = Y(x) 将间隔调用(9.2) 解我如果函数Y 和Y 及其衍生物' 满足relation……

我在每个x，最简单的情况发生时f (x，y) 是独立的y，在这种情况下，(9.2) 成为y'= Q(x)。说，凡Q 假定为给定的函数定义一些区间上我，解决发现的Q，基元的微分方程(9.3) 手段微积分第二基本定理告诉我们如何去做Q 时连续开区间上我。我们只需将集成Q 并添加任何常量。因此，每个解决方案的(9.3) 包括在公式中… …...

其中c 是任何常量（通常称为集成任意常数）。微分方程(9.3) 有无穷多的解决方案，为C.的每个值之一

如果不可能熟悉的功能，如多项式，有理函数、三角函数的角度评估(9.4) 中的积分和反三角函数、对数及指数，还是我们考虑微分方程已解决id，该解决方案可以表示的积分的已知函数，在实际执行时，有各种方法获得积分解决方案相关的有用信息导致的近似评价，这位国王的头脑中的问题的经常设计自动高速计算机。

示例。直线运动速度，从确定，假设一个粒子沿着一条直线，这样在时间t 其速度是2sint，确定其位置在时间t。

解决方案。如果Y(t) 表示的位置从开始计算的时间t 一些起始点，然后衍生的Y'(t) 表示，时间t 的速度，我们给… …

集成，我们发现… …

这就是我们可以推断Y(t) 单；速度的知识某些其他部分的信息需要修复的阵地作用。我们可以确定C 如果我们知道Y 的值在一些特定的时刻，例如，如果Y(0) = 2，则 c = 2 和位置的功能是Y(t) = 2 2cost。但如果Y (0) = 2，则 c = 4 和位置的功能是Y(t) = 4-2cost。

在某些方面只是解决了该示例是典型的一般会发生什么情况。一些-凡第一–order 差分方程求解的过程中，集成是需要删除衍生y' 和在此步骤中任意常数c 显示的方式中的任意常数C 进入该解决方案将取决于给定的微分方程的性质，它可能显示为添加剂的常量，如在Equation(9.4)但它更有可能出现以某种其他方式，例如，当我们方程求解

y' = y 在9.3 条，我们会发现每个解决方案有窗体y = Cex。