上海市宝山区2016年数学一模解析版
2016年上海中考数学一模试卷和答案含奉贤,浦东,青浦,静安,闸北,嘉定,宝山,虹口,黄浦9区试卷和答案
2016年奉贤区调研测试九年级数学2016.01（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.用一个4倍放大镜照△ABC ，下列说法错误的是（▲） A ．△ABC 放大后，∠B 是原来的4倍； B ．△ABC 放大后，边AB 是原来的4倍； C ．△ABC 放大后，周长是原来的4倍； D ．△ABC 放大后，面积是原来的16倍2.抛物线()212y x =-+的对称轴是（▲）A ．直线2x =；B ．直线2x =-；C ．直线1x =；D ．直线1x =-．3.抛物线223y x x =--与x 轴的交点个数是（▲） A . 0个 ； B ．1个； C ． 2个 ； D ． 3个．4.在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且有12AD AE DB EC ==，BC =18,那么DE 的值为（▲）A ．3 ；B ．6 ；C ．9 ；D ．12． 5.已知△ABC 中,∠C =90°，BC =3，AB =4，那么下列说法正确的是（▲） A ．3sin 5B =； B ． 3cos 4B = ； C ．4tan 3B =； D ．3cot 4B =6.下列关于圆的说法，正确的是（▲） A ．相等的圆心角所对的弦相等；B ．过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦；C ．经过半径的端点且垂直于该半径的直线是圆的切线；D ．相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦．二.填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.已知3x =2y ，那么xy=▲； . 8.二次函数342+=x y 的顶点坐标为▲；9. 一条斜坡长4米，高度为2米，那么这条斜坡坡比i =▲；10.如果抛物线k x k y -+=2)2(的开口向下，那么k 的取值范围是▲；11.从观测点A 处观察到楼顶B 的仰角为35°，那么从楼顶B 观察观测点A 的俯角为▲； 12.在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （-1，3），如果AO 与y 轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为▲；13.如图，△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE//BC ，若DE =2AD ，AE=2，那么EC =▲； 14.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足BP APAP AB=，那么AP 的长为▲cm ；. 15.⊙O 1的半径11r =，⊙O 2的半径22r =，若此两圆有且仅有一个交点，那么这两圆的圆心距d =▲；16.已知抛物线(4)y ax x =+，经过点A (5,9)和点B （m,9）,那么m =▲；17.如图，△ABC 中，AB =4，AC =6，点D 在BC 边上，∠DAC =∠B ,且有AD =3，那么BD的长为▲；18.如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=AD =6，cotB =21，将边AB 绕点A 旋转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上，其对应点为B ’（点B ’不与点B 重合），那么 sin ∠CAB ’=▲. 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒--︒+︒60sin 260tan 2130cos 45sin 422．第13题图BA DC E第17题图B ADC第18题图B20.（本题满分10分，每小题5分）如图，已知AB//CD//EF ，AB:CD:EF=2:3:5，=. （1）=BD （用a 来表示）；（2）求作向量AE 在AB 、BF 方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21.（本题满分10分，每小题5分）为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB 进行改造，在斜坡中点D 处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（1）若修建的斜坡BE 的坡角为36°，则平台DE 的长约为多少米？（2）在距离坡角A 点27米远的G 处是商场主楼，小明在D 点测得主楼顶部H 的仰角为30°，那么主楼GH 高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin 36°=0.6，cos 36°=22.（本题满分10分，每小题5分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，点B 为CD 的中点，CD =AE =5. （1）求⊙O 半径r 的值；（2）点F 在直径AB 上，联结CF ，当∠FCD =∠DOB 时，求AF 的长.E AB F第20题图CD第21题图F E ABOCD23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，∠AEB =∠ADC . （1）求证：△ADE ∽△DBC ；（2）联结EC，若2CD AD BC =⋅，求证：∠DCE =∠ADB .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点A （2,0），直线AB 与抛物线交于点B ， 且∠BAO =45°.（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标； （2）在直线AB 上是否存在点D ，使得△BCD为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标， 若不存在，说明理由.25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，垂足为点C ，联结DE ，使得∠EDC =∠A ，联结BE . （1）求证：AC BE BC AD ⋅=⋅；（2）设AD =x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； （3）当ABC BDE S S ∆=41△时，求tan ∠BCE 的值.EA B第20题图CDAE第25题备用图A2016学年九年级第一学期期末测试参考答案与评分标准 2016.01一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23； 8．（0,3）；9．2k <-； 10．1 11．35°； 12．10103； 13．4； 14．5； 15．1或3； 16．-9； 17．72； 18．1010或2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（1）原式=2+24222⎛⨯ ⎝⎭...................................（4分）=(13+244-+（4分） = -1 .......................（2分） 20．解：（1）13a …………………………………………………（5分）（2）向量AE 在AB 、BF 方向上的分向量分别为GE 、AG．图形准确……………………………………………（3分） 结论正确……………………………………………（2分）21.解：（1）由题意得，AB =60米，∠BAC =30°，∠BEF =36°，FM//CG∵点D 是AB 的中点 ∴BD =AD =12AB =30................................................（1分） ∵DF//AC 交BC 、HG 分别于点F 、M ， ∴∠BDF =∠A=30°，∠BFE =∠C=90° 在Rt △BFD 中，∠BFD =90°，cos BDF DF BD ∠=，30DF =， 25.5DF =≈............（1分） sin BF BDF BD∠=1230BF =. 15BF =…………………………（1分）在Rt △BFE 中，∠BFE =90°，tan BEF BFEF ∠=，0.715EF =，EF =21.4………（1分） ∴DE=DF-EF =25.5-21.4=4.1≈4（米）答：平台DE 的长约为4米. ………………………………………………………（1分）（2）由题意得，∠HDM =30°，AG =27米，过点D 作DN ⊥AC 于点N在Rt △DNA 中，∠DNA =90°cos DAC AN AD ∠=30AN =AN =（1分）sin DN DAN AD∠= 1230DN = 15DN =...................（1分）∴27DM NG AN AG ==+=……………………………………（1分）在Rt △HMD 中，∠HMD =90° tan HDM HMDM ∠=15HM =+453930153915≈+=++=+=MG HM HG 米…（1分）答：主楼GH 的高约为45米………………………………………………………（1分） 22．解：(1) ∵OB 是半径，点B 是CD 的中点∴OB ⊥CD ，CE=DE =12CD =…（2分）∴222ODED OE =+ ∴()()2225-5r r =+ 解得 r =3…………（3分）(2) ∵OB ⊥CD ∴∠OEC=∠OED =90°……………………………………………（1分） 又∵∠FCE=∠DOE ∴△FCE ∽△DOE ∴EF CEED OE=…………………………（2分）= 得52EF =……………………………………………………（1分）∴ 52AF AE EF =-=……………………………………………………………（1分） 23.（1）证明：∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ………………………………………（2分） ∵ ∠ADC+∠C=180° ∠AEB+∠AED=180°又∵∠AEB =∠ADC ∴∠C =∠AED …………………………………………（2分） ∴△ADE ∽△DBC ……………………………………………………………（2分） （2） ∵△ADE ∽△DBC∴AD DBDE BC =∴AD BC DB DE ⋅=⋅…………………………………………（1分） ∵2CD AD BC =⋅ ∴2CD DB DE =⋅∴CD DEDB CD =………………………………………………………………………（1分） ∵∠CDB =∠CDE∴△CDE ∽△BDC ………………………………………………………………（2分） ∴ ∠DCE =∠DBC ………………………………………………………………（1分） ∵∠ADB =∠DBC∴∠DCE =∠ADB ………………………………………………………………（1分）24．解：（1）将原点（0,0）和点A （2，0）代入2y x bx c =++中0042cb c=⎧⎨=++⎩ 解得20b c =-⎧⎨=⎩ 22y x x =-………………………（3分）∴顶点C 的坐标为（1，﹣1（2）过点B 作BG ⊥x 轴，垂足为点G ∵∠BGA =90°，∠A =45° ∴∠GBA=45° 设点A （x ，22x x -） 则22x x -=2-x ∴点B （-1，3设直线AB ： 0y kx b k =+≠（） 将点A （2，0）、B （-1，3）代入203k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩ 直线AB ：y =设点D （x ，2x -+）则BC =CD =BD 若△BCD 为直角三角形①∠BCD =90° ∴222BC CD BD += 即(222+= 解得73x =∴7133D ⎛⎫⎪⎝⎭点，-……………………………………………（2分）② ∠BDC =90°∴222BDCD BC += 即(222+=解得 1221x x ==-，（舍去） ∴点D （2，0）…………………（2分）综上所述：()712,033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭点，-或25．解：（1）∵CE ⊥CD ∴∠DCE =∠BCA =90︒∵∠EDC =∠A ∴△EDC ∽△BAC ∴EC BCDC AC=……………（2分） ∵∠DCE =∠BCA ∴∠DCE -∠BCD =∠BCA -∠BCD 即∠BCE=∠DCA ……（1分）∵ECBCDC AC = ∴△BCE ∽△ACD ………………………………（1分）∴BCACBEAD= 即AC BE BC AD ⋅=⋅………………………………………（1分） （2）∵△BCE ∽△ACD ∴∠CBE =∠A ∵∠BCA=90° ∴4AC ，∠ABC+∠A=90°∴∠CBE+∠ABC=90°即∠DBE=90°……………………（1分）∴DE ==∵BC AC BE AD =，34BE x = ∴ 3=4BE x ()2113153==52248BDE x x S BD BE x x ∆-⋅-⋅=……………………………………（1分） ∵ △CDE ∽△CAB ∴22121165CDE ABC S DE x x S AB ∆∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ ∵11==43=622ABC S BC AC ∆⋅⨯⨯ ∴2312=685CDE S x x ∆-+……………………（1分） 即()21=S 60540BDE CDE S S x x ∆∆+=-<<……………………………（2分） （3）11==43=622ABC S BC AC ∆⋅⨯⨯ 由14ABC S S ∆=得 21531684x x -=⨯ ∴2540x x -+=1214x x ==，…………………………（1分）过点D 作DF ⊥AC 于点F ∴∠DFA=∠BCA =90°∴ DF ∥BC ∴DF AD AFBC AB AC == 当x =1时，3455DF AF ==，，165CF AC AF =-=………………………………（1分） 在Rt △DFC 中，∠DFC =90° t a n 3DF DCF ==∠∵∠BCE=∠DCA ∴3an 16t BCE =∠当x =4时，得121655DF AF ==， CF =3tan DCF DFCF∠==，即tan ∠∴综上所述：6an 331t BCE =∠或．2016浦东一模一. 选择题1. 如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的对应边上的中线之比是（ ） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:8； D. 1:16；2. 在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，若5AB =，4BC =，则sin A 的值为（ ）A.34； B. 35； C. 45； D. 43； 3. 如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE ∥BC 的条件是（ ） A. ::AD AB DE BC =； B. ::AD DB DE BC =； C. ::AD DB AE EC =； D. ::AE AC AD DB =；4. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A. 0a <，0b <，0c >； B. 0a <，0b <，0c <； C. 0a >，0b >，0c >； D. 0a >，0b >，0c <；5. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A. 2AC AD AB =⋅；B. 2CD CA CB =⋅； C. 2CD AD DB =⋅； D. 2BC BD BA =⋅； 6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似；B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似；D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；二. 填空题7. 已知13x y =，那么x x y =+ ； 8. 计算：123()3a ab -+=；9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1:5000000的地图上，上海与杭州的图 上距离约 厘米；10. 某滑雪运动员沿着坡比为100米，则运动员下降的垂直高度为 米；11. 将抛物线2(1)y x =+向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是 ； 12. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴为直线2x =，若此抛物线与x 轴的 一个交点为(6,0)，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是 ；13. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，AD a = ，那么用向量a表示向量AG为 ；14. 如图，△ABC 中，6AC =，9BC =，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CAD B ∠=∠， 那么CD 的长是 ；15. 如图，直线1AA ∥1BB ∥1CC ，如果13AB BC =，12AA =，16CC =，那么线段1BB 的 长是 ；16. 如图是小明在建筑物AB 上用激光仪测量另一建筑物CD 高度的示意图，在地面点P 处 水平放置一平面镜，一束激光从点A 射出经平面镜上的点P 反射后刚好射到建筑物CD 的 顶端C 处；已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，且测得15AB =米，20BP =米，32PD =米，B 、P 、D 在一条直线上，那么建筑物CD 的高度是 米；17. 若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点(,0)A m 、(,0)B n ，与y 轴交于点(0,)C c ，则称 △ABC 为“抛物三角形”；特别地，当0mnc <时，称△ABC 为“正抛物三角形”；当0mnc > 时，称△ABC 为“倒抛物三角形”；那么，当△ABC 为“倒抛物三角形”时，a 、c 应分 别满足条件 ；18. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的 一点（D 、E 均与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE = ；三. 解答题19. 456tan302cos30︒︒︒+-；20. 二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴；21. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，联结BE 并延长交CD 的延 长线于点F ，交AC 于点G ；（1）若2FD =，13ED BC =，求线段DC 的长； （2）求证：EF GB BF GE ⋅=⋅；22. 如图，l 为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上 由西向东匀速行驶，依次经过点A 、B 、C ，P 是一个观测点，PC l ⊥，PC =60米，4tan 3APC ∠=，45BPC ︒∠=，测得该车从点A 行驶到点B 所用时间为1秒； （1）求A 、B 两点间的距离；（2）试说明该车是否超过限速；23. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，DE BC ⊥交AB 于点E ，AD AC =，EC 交AD 于点F ；（1）求证：△ABC ∽△FCD ； （2）求证：3FC EF =；24. 如图，抛物线22y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ； 问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的 三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；25. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与点A 、D 不重合），45EBM ︒∠=，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点M ；（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）联结EG ，如图2，设AE x =，EG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当M 为边DC 的三等分点时，求EGF S 的面积；21、22、23、24、25、2016青浦、静安一模一. 选择题 1.的相反数是（ ）A.B. C.2； D. 2-； 2. 下列方程中，有实数解的是（ ）A. 210x x -+=； B. 1x =-；C.210x x x -=-； D. 211xx x-=-； 3. 化简11(1)x ---的结果是（ ） A.1x x -； B. 1xx -； C. 1x -； D. 1x -； 4. 如果点(2,)A m 在抛物线2y x =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到 点A '，那么A '坐标为（ ）A. (2,1)；B. (2,7)；C. (5,4)；D. (1,4)-；5. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD 是高，如果AD m =，A α∠=，那么BC 的长为（ ）A. tan cos m αα⋅⋅；B. cot cos m αα⋅⋅；C.tan cos m αα⋅； D. tan sin m αα⋅；6. 如图，在△ABC 与△ADE 中，BAC D ∠=∠，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满 足下列条件中的（ ）A. AC AB AD AE =；B. AC BC AD DE =；C. AC AB AD DE =；D. AC BCAD AE=；二. 填空题7. 计算：23(2)a -= ； 8. 函数3()2x f x x -=+的定义域为 ；9. 1x =-的根为 ；10. 如果函数(3)1y m x m =-+-的图像经过第二、三、四象限，那么常数m 的取值范围为 ；11. 二次函数261y x x =-+的图像的顶点坐标是 ；12. 如果抛物线225y ax ax =-+与y 轴交于点A ，那么点A 关于此抛物线对称轴的对称点坐标是 ；13. 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，如果1AE =，2CE =，那么:EF BF 等于 ；14. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，点G 是重心，如果1sin 3A =，2BC =，那么GC 的长 等于 ；15. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，设AB a = ，BC b = ，那么CD =（用向量a 、b的式子表示）；16. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，6AB =，5BC =，4AC =，如果四边形DBCE 的周长为10，那么AD 的长等于 ；17. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，如果5AB =，8BC =，4sin 5B =，那么tan CDE ∠= ； 18. 将平行四边形ABCD （如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D '，点C 落到C '，且点C '、B 、C 在一直线上，如果13AB =，3AD =，那么A ∠的余弦值为 ；三. 解答题19. 化简：222266942x x x x x x x---++--，并求当123x =时的值；20. 用配方法解方程：22330x x --=；21. 如图，直线43y x =与反比例函数的图像交于点(3,)A a ，第一象限内的点B 在这个反比 例函数图像上，OB 与x 轴正半轴的夹角为α，且1tan 3α=：（1）求点B 的坐标；（2）求OAB ∆的面积；22. 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向 前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°，求该电 线杆PQ 的高度（结果精确到1米）；（备用数据：sin 26.60.45︒=，cos 26.60.89︒=，tan 26.60.50︒=，cot 26.6 2.00︒=，sin 33.70.55︒=，cos33.70.83︒=，tan 33.70.67︒=，cot 33.7 1.50︒=）23. 已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD AD AC ==，AD 与CE 相交于点F ，2AE EF EC =⋅； （1）求证：ADC DCE EAF ∠=∠+∠；（2）求证：AF AD AB EF ⋅=⋅；2124. 如图，直线112y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相 交于点C ，与直线112y x =+相交于点A 、D ，CD ∥x 轴，CDA OCA ∠=∠；（1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；25. 已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角 线AC 上，且CE AD =，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ，设AD x =，△AEF 的面积为y ；（1）求证：DCA EBC ∠=∠；（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积；22静安区2015学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2016.1一、选择题：1．D ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．C ． 二、填空题：7．68a -； 8．2-≠x ； 9．4=x ； 10．31<<m ； 11．（3, -8）； 12．（2, 5）； 13．31； 14．2； 15．b a 21--； 16．2； 17．21； 18．135． 三、解答题：19．解：原式＝ )2()3()2)(2()3)(2(2--÷-+-+x x x x x x x ············································································ （4分） ＝)3()2()2)(2()3)(2(--⋅-+-+x x x x x x x ··············································································· （1分） ＝3-x x． ········································································································ （2分） 当3321==x时，原式＝231311333+-=-=-． ································· （3分） 20．解：023232=--x x , ····································································································· （1分） 23232=-x x , ············································································································ （1分） 16923)43(2322+=+-x x , ······················································································· （2分） 1633)43(2=-x , ·········································································································· （2分） 43343±=-x , ········································································································· （2分）433231+=x ,433232-=x ． ·············································································· （2分）2321．解：（1）∵直线x y 34=与反比例函数的图像交于点A （3，a ）， ∴334⨯=a =4，∴点的坐标A （3，4）． ······························································ （1分） 设反比例函数解析式为xky =， ············································································· （1分）∴12,34==k k ，∴反比例函数解析式为xy 12=． ··········································· （1分）过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， 由31tan ==OB BH α，设BH =m ，则OB =m 3，∴B （m 3，m ） ························ （1分） ∴mm 312=，2±=m （负值舍去）， ······································································ （1分） ∴点B 的坐标为（6，2）． ······················································································ （1分）（1） ····································· 过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，OBH AEHB OAE OAB S S S S ∆∆∆-+=梯形············································································ （1分） =BH OH EH BH AE OE AE ⋅-⋅++⋅21)(2121 ··············································· （1分） ==⨯⨯-⨯++⨯⨯26213)24(2143219． ······················································ （2分）22．解：延长PQ 交直线AB 于点H ，由题意得．由题意，得PH ⊥AB ，AB =30，∠PAH =26 .6°，∠PBH =45°，∠Q BH =33.7°， 在Rt △QBH 中，50.1cot ==∠QHBHQBH ，设QH =x ，BH =x 5.1， ···················· （2分） 在Rt △PBH 中，∵∠PBH =45°，∴PH = BH =x 5.1，··············································· （2分） 在Rt △PAH 中，00.2cot ==∠PHAHPAH ，AH =2PH =x 3， ··································· （2分） ∵AH –BH =AB ，∴305.13=-x x ，20=x ． ························································· （2分） ∴PQ =PH –QH =105.05.1==-x x x ． ····································································· （1分） 答：该电线杆PQ 的高度为10米． ················································································· （1分）2423．证明：（1）∵EC EF AE ⋅=2，∴AEECEF AE =． ·························································· （1分） 又∵∠AEF =∠CEA ，∴△AEF ∽△CEA ． ······················································· （2分） ∴∠EAF =∠ECA ， ··························································································· （1分） ∵AD =AC ，∴∠ADC =∠ACD ， ······································································· （1分） ∵∠ACD =∠DCE +∠ECA =∠DCE +∠EAF ． ····················································· （1分）（2）∵△AEF ∽△CEA ，∴∠AEC =∠ACB ． ······························································· （1分）∵DA =DB ，∴∠EAF =∠B ． ················································································ （1分） ∴△EAF ∽△CBA ． ····························································································· （1分）∴ACEFBA AF =． ··································································································· （1分） ∵AC =AD ，∴ADEFBA AF =． ················································································ （1分） ∴EF AB AD AF ⋅=⋅． ···················································································· （1分）24．解：（1）∵直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （–2，0）、B （0，1）．∴OA =2，OB =1． ······················································ （2分） ∵CD //x 轴，∴∠OAB =∠CDA ，∵∠CDA =∠OCA ，∴∠OAB =∠OCA ． ············· （1分） ∴tan ∠OAB =tan ∠OCA ， ························································································· （1分） ∴OCOA OA OB =，∴OC 221=， ·················································································· （1分） ∴4=OC ，∴点C 的坐标为（0，4）． ································································ （1分） （2）∵CD //x 轴，∴BOBCAO CD =． ················································································· （1分） ∵BC =OC –OB=4–1=3,∴132=CD ，∴CD =6，∴点D （6，4）． ························ （1分） 设二次函数的解析式为42++=bx ax y ， ···························································· （1分）⎩⎨⎧++=+-=,46364,4240b a b a ………………（1分） ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.23,41b a ········································· （1分） ∴这个二次函数的解析式是423412++-=x x y ． ················································· （1分）25．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ． ········································································ （1分）又∵AD =CE ，AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB ． ······························································ （2分） ∴∠DCA ＝∠EBC ． ··································································································· （1分） （2）过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．AE =AC –CE =x -10．。
2016年宝山初三一模
2015学年第一学期期末考试九年级数学试卷（宝山）一. 选择题1. 如图，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，1tan 2A =，下列判断正确的是（ ） A. 30A ∠=︒； B. 12AC =； C. 2AB =； D. 2AC =；2. 抛物线245y x =-+的开口方向（ ）A. 向上；B. 向下；C. 向左；D. 向右；3. 如图，D 、E 在△ABC 的边上，如果ED ∥BC ，:1:2AE BE =，6BC =，那么DE的模为（ ）A. -2；B. -3；C. 2；D. 3；4. 已知○O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为(3,4)-，则点M 与○O 的位置关系 为（ ）A. M 在○O 上；B. M 在○O 内；C. M 在○O 外；D. M 在○O 右上方；5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，26A ∠=︒，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于 点D 、点E ，则弧BD 的度数为（ ）A. 26°；B. 64°；C. 52°；D. 128°；6. 已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. 0ac >；B. 当1x >-时，0y <；C. 2b a =；D. 930a b c ++=； 二. 填空题 7. 已知32a b =，那么a b b-= ； 8. 两个相似比为1:4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ；9. 如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，当 时（填一个条件），△DEA 与△ABC 相似；10. 如图△ABC 中，90C ∠=︒，若CD AB ⊥于D ，且4BD =，9AD =，则CD = ；11. 计算：2(34)5a b a +-=；12. 如图，菱形ABCD 的边长为10，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为 ； 13. 抛物线22(3)4y x =--+的顶点坐标是 ；14. 若(1,2)A ，(3,2)B ，(0,5)C ，(,5)D m 是抛物线2y ax bx c =++图像上的四点，则m = ； 15. 已知1(4,)A y 、2(4,)B y -是抛物线2(3)2y x =+-的图像上两点，则1y 2y ； 16. 已知○O 中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 ；17. 如图，在等边△ABC 内有一点D ，5AD =，6BD =，4CD =，将△ABD 绕A 点逆时针旋转， 使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则CDE ∠的正弦值为 ；18. 如图，抛物线223y x x =--交x 轴于(1,0)A -、(3,0)B ，交y 轴于(0,3)C -，M 是抛物线的顶点， 现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为 （面积单位）；三. 解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）19. 计算：2tan 45cos 303tan 302sin 45cot 30︒︒-︒-︒︒；20. 已知某二次函数的对称轴平行于y 轴，图像顶点为(1,0)A ，且与y 轴交于点(0,1)B ； （1）求该二次函数的解析式；（2）设C 为该二次函数图像上横坐标为2的点，记OA a = ，OB b = ，试用a 、b 表示OC；21. 如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC 的坡度为1:2，AC 的长度为米，AB 为底楼地面，CD 为二楼侧面，EF 为二楼楼顶，当然有EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，过C 的直线EG AB ⊥于G ，在自动扶梯的底端A 测得E 的仰角为42°，求该商场 二楼的楼高CE ；（参考数据：2sin 423︒=，cos 42︒=，tan 42︒=）22. 如图，以AB 为直径的○O 与弦CD 相交于点E ，若AC =3AE =，CE = 求弧BD 的长度；（保留π）23. 如图，D 为△ABC 边AB 上一点，且CD 分△ABC 为两个相似比为（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD 与△ACD 的面积比；（2）△ABC 的各内角度数；24. 如图，△ABC 中，6AB AC ==，F 为BC 的中点，D 为CA 延长线上一点，DFE B ∠=∠；（1）求证：CD BFDF EF=； （2）若EF ∥CD ，求DE 的长度；25.（1）已知二次函数(1)(3)y x x =--的图像如图，请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样的 左右平移，新图像通过坐标原点？（2）在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线2y ax bx c =-+（0a ≠）和抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）关于y 轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a 、c 不变，b 相反” 供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a 、c 相反，b 不变”，并按此法误写，然而按此误写 的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物线(1)(3)y x x =--的对称图形的解 析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；（3）抛物线(1)(3)y x x =--与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，M 是其对称轴上一点， 点N 在x 轴上，当点N 满足怎样的条件，以点N 、B 、C 为顶点的三角形与△MAB 有可能相似，请写 出所有满足条件的点N 的坐标；（4）E 、F 为抛物线(1)(3)y x x =--上两点，且E 、F 关于3(,0)2D 对称，请直接写出E 、F 两点的 坐标；26. 如图点C 在以AB 为直径的半圆的圆周上，若=4=30AB ABC ∠︒，， D 为边AB 上一动点，点E 和D 关于AC 对称 ，当D 与A 重合时，F 为EC 的延长线上满足CF EC =的点，当D 与A 不重合时，F 为EC 的延长线与过D 且垂直于DE 的直线的交点，（1）当D 与A 不重合时，CF EC =的结论是否成立？试证明你的判断． （2）设=,,AD x EF y = 求y 关于x 的函数及其定义域；（3）如存在E 或F 恰好落在弧AC 或弧BC 上时，求出此时AD 的值；如不存在，则请说明理由． （4）请直接写出当D 从A 运动到B 时，线段EF 扫过的面积．2015学年第一学期期末考试九年级数学评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． D ； 2． B ； 3． C ； 4．A ； 5． C ； 6． D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．21； 8．1:4； 9．B AED ∠=∠等； 10．6； 11．8+； 12．16； 13．)4,3(； 14．4； 15．＞； 16．13； 17．873； 18． 9. 三、简答题（本大题共8题，第19--22题每题8分；第23、24题每题10分．第25题12分；第26题每题14分；满分78分）19．解：原式=3)23(22233312--⋅……………………5分 =4323-+=2343+. …………………8（2+1）分 20．解：对称轴平行于y 轴，图像顶点为A(1，0) 的2)1(-=x a y ………2分将B(0，1)代入易知1=a ，因此所求二次函数为2)1(-=x y ……4分∵1)2(=f ，∴C （2,1）． ……………………………6分 ∴=+2 ……………………………8分21. 解：∵EH ⊥AB ,EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，∴EC ⊥CD, ……………………………2分 ∵在直角△ACH 中，AC 的坡度为1:2，AC=55，∴CH=5，AH=10， ……………………………5分 ∵在直角△AEH 中∠EAH=42°∴EH=AH 5442tan tan 0=⋅=∠⋅AH EAH ，……………………7分 ∴EC=554- ……………………………8分22.解：∵△ACE 中，AC =2，AE =3，CE =，∴AC 2=12=AE 2+CE 2…………………………2分∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD （E 为垂足） 在直角△AEC 中，21sin ==AC CE A ，∴∠A =30°……4分 联接OC ，∵O A =OC ∴∠COE =2∠A =60° ∴=sin ∠COE ，解得OC =2 …………………6分∵AE ⊥CD ，∴==ππ32180260=⋅．…………………8分 其他方法，请参照评分.23.（1）一对相似比为1：3的△BCD 与△ACD 的面积比为1：3……………4分 （2）如图， ∵∠ADC ＞∠B （∠ADC ＞∠BCD ），∴∠ADC=∠CDB =90°∴斜边BC 和AC 为这对相似三角形的对应边 ………………………6分 若∠B=∠A ，则BC=AC ，这样和BC ：AC=1：3（相似比）矛盾． ∴∠BCD=∠A ，∠C =90° …………………8分 ∵在直角△A B C 中，A tan =33=AC BC ∴∠A=30°∠B=60° ……………………10分△ABC 的各内角∠A=30°∠B=60°∠C =90° 其他方法，请参照评分.24. (1)∵AB=AC ∴∠B=∠C ……………………1分∵∠DFB =∠C+∠CDF,∠DFE=∠B=∠C ………2分 ∴∠CDF=∠EFB ……………………3分 ∴△BEF ∽△CFD ……………………4分∴EFBFDF CD = ……………………5分 (2) ∵EF ∥CD ， ∴∠EFB=∠C∵∠CDF=∠EFB, ∴∠CDF=∠C ……………………6分 ∵F 为BC 的中点，∴E 为AB 中点，FB=FC=FD …………7分 联接DB ，∠FDB =∠FBD ； ……………………8分∴∠CDB==2180090°， DE= 21AB=3 ……………………10分 其他方法，请参照评分.25．解：（1）二次函数)3)(1(--=x x y 的图像向左平移1个或3个单位，新图像通过坐标原点………………………………………………………………2分 （2）小胡所写的抛物线为342---=x x y ，……………………………4分其图像与原抛物线（342+-=x x y ）的图像关于坐标原点对称。
上海市宝山区2016届高考数学一模试卷(解析版)
2016年市宝山区高考数学一模试卷一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为．2．：〔i是虚数单位〕，那么z=．3．以点〔1，2〕为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．4．数列所有项的和为．5．矩阵A=，B=，AB=，那么x+y=．6．等腰直角三角形的直角边长为1，那么绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．7．假设〔x﹣〕9的展开式中x3的系数是﹣84，那么a=．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9．ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f〔x〕的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，那么t的最小值为．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪〞、“捷达〞两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，那么不同的乘车方法种数是．11．向量，满足，，与的夹角为60°，那么=．12．数列，那么是该数列的第项．13．直线〔1﹣a 〕x+〔a+1〕y ﹣4〔a+1〕=0〔其中a 为实数〕过定点P ，点Q 在函数的图象上，那么PQ 连线的斜率的取值围是．14．如图，抛物线y 2=x 及两点A 1〔0，y 1〕和A 2〔0，y 2〕，其中y 1＞y 2＞0．过A 1，A 2分别作y 轴的垂线，交抛物线于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与y 轴交于点A 3〔0，y 3〕，此时就称A 1，A 2确定了A 3．依此类推，可由A 2，A 3确定A 4，…．记A n 〔0，y n 〕，n=1，2，3，…． 给出以下三个结论： ①数列{y n }是递减数列； ②对∀n ∈N *，y n ＞0； ③假设y 1=4，y 2=3，那么．其中，所有正确结论的序号是．二．选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15．如图，该程序运行后输出的结果为〔 〕A．1 B．2 C．4 D．1616．P是△ABC所在平面一点，假设，其中λ∈R，那么P点一定在〔〕A．△ABC部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上17．假设a，b是异面直线，那么以下命题中的假命题为〔〕A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直18．王先生购置了一部手机，欲使用中国移动“神州行〞卡或参加联通的130网，经调查其收费标准见下表：〔注：本地费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．〕网络月租费本地话费长途话费甲：联通130 12元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行〞无0.60元/分0.07元/秒假设王先生每月拨打本地的时间是拨打长途时间的5倍，假设要用联通130应最少打多长时间的长途才合算．〔〕A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒三．解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC 的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．20．设a、b、c分别是△ABC三个角∠A、∠B、∠C的对边，假设向量，且，〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．21．某市2013年发放汽车牌照12万，其中燃油型汽车牌照10万，电动型汽车2万．为了节能减排和控制总量，从2013年开场，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．〔1〕记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成以下表格，并写出这两个数列的通项公式；a 1=10 a2=9.5 a3= a4= …b 1=2 b2= b3= b4= …〔2〕从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开场超过200万？22．椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．〔1〕假设，M为椭圆上动点，证明：；〔2〕数m的取值围；〔3〕求△AOB面积的最大值〔O为坐标原点〕．23．函数f〔x〕=logk x〔k为常数，k＞0且k≠1〕，且数列{f〔an〕}是首项为4，公差为2的等差数列．〔1〕求证：数列{an}是等比数列；〔2〕假设bn =an+f〔an〕，当时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；〔3〕假设cn =anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？假设存在，求出k的围；假设不存在，说明理由．2016年市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为log23 ．【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得〔2x〕2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得〔2x〕2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2〔舍去〕，3．∴x=log23．故答案为：log2【点评】此题考察指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．2．：〔i是虚数单位〕，那么z= ﹣3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩大和复数．【分析】把的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案．【解答】解：由，得：，∴z=﹣3﹣4i．故答案为：﹣3﹣4i．【点评】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察共轭复数的概念，是根底的计算题．3．以点〔1，2〕为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=25 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【解答】解：以点〔1，2〕为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=25故答案为：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=25【点评】此题考察圆的标准方程，直线与圆相切，是根底题．4．数列所有项的和为 2 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．【解答】解：数列前n项和：==2[1﹣〔〕n]，Sn∴数列所有项的和为：S===2．故答案为：2．【点评】此题考察等比数列的前n项和的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．矩阵A=，B=，AB=，那么x+y= 8 ．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵乘法法那么求解．【解答】解：∵矩阵A=，B=，AB=，∴AB===，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=8．故答案为：8．【点评】此题考察代数式的值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法那么的合理运用．6．等腰直角三角形的直角边长为1，那么绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2×[×]•=．故答案为：【点评】此题考察的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于根底题．7．假设〔x﹣〕9的展开式中x3的系数是﹣84，那么a= 1 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．r x9﹣2r【解答】解：展开式的通项为=〔﹣a〕r C9令9﹣2r=3得r=33〔﹣a〕3=﹣84a3=﹣84，∴展开式中x3的系数是C9∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考察二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决此题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=﹣x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60°=．故答案为：．【点评】此题考察三角形形状确实定和面积的求解，考察双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考察学生直线方程的书写，考察学生分析问题解决问题的能力，属于基此题型．9．ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f〔x〕的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，那么t的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；二阶矩阵．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．【解答】解： ==．∵f〔x〕的最小正周期为2π，∴，得ω=1．将f〔x〕的图象向左平移t个单位，得f〔x+t〕=．∵函数f〔x+t〕为偶函数，∴，那么t=．取k=0时，t的最小值为．故答案为：．【点评】此题考察三角函数中的恒等变换应用，考察了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪〞、“捷达〞两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，那么不同的乘车方法种数是48 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．假设奥迪车上没有小孩，那么有=10种方法；假设奥迪车上有一个小孩，那么有=28种；假设奥迪车上有两个小孩，那么有=10种．综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为 48．【点评】此题主要考察排列与组合及两个根本原理的应用，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．向量，满足，，与的夹角为60°，那么=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出，对两边平方，解出||．【解答】解： =||×=||．∵，∴〔〕2=．∴﹣2+=．∴1﹣||+||2=．解得||=．故答案为：．【点评】此题考察了平面向量的数量积运算，是根底题．12．数列，那么是该数列的第128 项．【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，由此可知：分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；即可得出是分子、分母之和为17的第8项．【解答】解：观察数列，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，∴分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；其中是分子、分母之和为17的第8项；．故共有项．故答案为128．【点评】此题考察了通过观察所要解决的提问转化为利用等差数列的前n项和公式解决，属于中档题．13．直线〔1﹣a〕x+〔a+1〕y﹣4〔a+1〕=0〔其中a为实数〕过定点P，点Q在函数的图象上，那么PQ连线的斜率的取值围是[﹣3，+∞〕．【考点】恒过定点的直线；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】直线方程即 x+y﹣4+a〔﹣x+y﹣4〕=0，由，求得定点P的坐标，设点Q〔m，m+〕，m≠0，那么PQ连线的斜率为为=﹣3，再利用二次函数的性质求得它的围．【解答】解：直线〔1﹣a〕x+〔a+1〕y﹣4〔a+1〕=0即 x+y﹣4+a〔﹣x+y﹣4〕=0，由，解得，故定点P 的坐标为〔0，4〕．设点Q 〔m ，m+〕，m≠0，那么PQ 连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ 连线的斜率的取值围为[﹣3，+∞〕， 故答案为[﹣3，+∞〕．【点评】此题主要考察直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．14．如图，抛物线y 2=x 及两点A 1〔0，y 1〕和A 2〔0，y 2〕，其中y 1＞y 2＞0．过A 1，A 2分别作y 轴的垂线，交抛物线于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与y 轴交于点A 3〔0，y 3〕，此时就称A 1，A 2确定了A 3．依此类推，可由A 2，A 3确定A 4，…．记A n 〔0，y n 〕，n=1，2，3，…． 给出以下三个结论： ①数列{y n }是递减数列； ②对∀n ∈N *，y n ＞0； ③假设y 1=4，y 2=3，那么．其中，所有正确结论的序号是 ①②③ ．【考点】数列与解析几何的综合． 【专题】计算题；压轴题．【分析】先确定直线B n ﹣1B n ﹣2的方程，求得，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n ﹣1〔〕，B n ﹣2〔〕，那么直线B n ﹣1B n ﹣2的方程为令x=0，那么，∴∴∴∵y 1＞y 2＞0，∴y n ＞0，故②正确；，∴y n ＜y n ﹣1，故①正确；假设y 1=4，y 2=3，那么，y 4=，，故③正确．故答案为：①②③．【点评】此题考察数列与解析几何的综合，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15．如图，该程序运行后输出的结果为〔 〕A ．1B ．2C ．4D ．16【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序完毕得到答案．【解答】解：由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b的数值为16．应选D．【点评】此题考察的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的方法．16．P是△ABC所在平面一点，假设，其中λ∈R，那么P点一定在〔〕A．△ABC部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，那么，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，应选B．【点评】此题主要考察向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．属于中档题．17．假设a，b是异面直线，那么以下命题中的假命题为〔〕A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面平行于b；在B中，只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直；在C中，由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距；在D中：假设存在平面α与直线a、b都垂直，那么a∥b．【解答】解：由a，b是异面直线，知：在A中：a，b是两异面直线，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a只能作出1个平面平行于b，故A正确；在B中：只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否那么过直线a不可以作一个平面α与直线b垂直，故B正确；在C中：由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距，故C正确；在D中：假设存在平面α与直线a、b都垂直，那么直线与平面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．应选：D．【点评】此题考察命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．18．王先生购置了一部手机，欲使用中国移动“神州行〞卡或参加联通的130网，经调查其收费标准见下表：〔注：本地费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．〕网络月租费本地话费长途话费甲：联通130 12元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行〞无0.60元/分0.07元/秒假设王先生每月拨打本地的时间是拨打长途时间的5倍，假设要用联通130应最少打多长时间的长途才合算．〔〕A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒【考点】函数与方程的综合运用；函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准，可知所需花费=月租费+本地话费+长途话费，可求所需话费y〔元〕与通话时间x〔分钟〕的函数关系式；将乙方式所需话费y〔元〕与通话时间x 〔分钟〕的函数关系式求出，将两个式子进展比拟，可得出较为省钱的入网方式．【解答】解：每月接打本地的时间是接打长途的5倍，王先生每月拨打长途时间为x〔分钟〕，他所需话费y〔元〕，联通130他所需话费y〔元〕与通话时间x〔分钟〕的函数关系式为y=12+0.36×5x+3.6x〔x＞0〕；移动“神州行〞他所需话费y〔元〕与通话时间x〔分钟〕的函数关系式为：y=0.6×5x+4.2x，假设要用联通130应最少打多长时间的长途才合算，可得：12+0.36×5x+3.6x＜0.6×5x+4.2x，解得：x＞〔分钟〕=400秒．应选：B．【点评】此题主要是应用数学模型来解决实际问题，考察一次函数的应用．三．解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC 的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，那么∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，∴，解得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，那么∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，，DA=5，∵QD⊥平面PAC，∴QD⊥AD，∴tan∠AQD=2，∴异面直线PB，AQ所成的角为arctan2．【点评】此题考察异面直线所成角的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．20．设a、b、c分别是△ABC三个角∠A、∠B、∠C的对边，假设向量，且，〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】〔1〕由，化简得 4cos〔A﹣B〕=5cos〔A+B〕，由此求得tanA•tanB的值．〔2〕利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用根本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．【解答】解：〔1〕由，得．…即，亦即 4cos〔A﹣B〕=5cos〔A+B〕，…所以．…〔2〕因，…而，所以，tan〔A+B〕有最小值，…当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan〔A+B〕，那么tanC有最大值，故的最大值为．…【点评】此题主要考察两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及根本不等式的应用，属于中档题．21．某市2013年发放汽车牌照12万，其中燃油型汽车牌照10万，电动型汽车2万．为了节能减排和控制总量，从2013年开场，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．〔1〕记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成以下表格，并写出这两个数列的通项公式；a 1=10 a2=9.5 a3= 9 a4= 8.5 …b 1=2 b2= 3 b3= 4.5 b4= 6.75 …〔2〕从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开场超过200万？【考点】数列的应用．【专题】应用题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】〔1〕利用从2013年开场，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；〔2〕利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：〔1〕a 1=10 a2=9.5 a3=9 a4=8.5 …b 1=2 b2=3 b3=4.5 b4=6.75 ……当1≤n≤20且n∈N*，an=10+〔n﹣1〕×〔﹣0.5〕=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，an=0．∴an=…而a4+b4=15.25＞15∴bn=，…〔2〕当n=4时，Sn =a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，Sn =〔a1+a2+…+an〕+〔b1+b2+b3+b4+b5+…+bn〕=10n+++6.75〔n﹣4〕=﹣n2+17n﹣…由Sn≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万．…【点评】此题考察数列的应用，考察利用数学知识解决实际问题，考察数列的求和，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．〔1〕假设，M为椭圆上动点，证明：；〔2〕数m的取值围；〔3〕求△AOB面积的最大值〔O为坐标原点〕．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔1〕设M〔x，y〕，那么+y2=1，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．〔2〕由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．与椭圆方程联立得．△＞0，再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出．，再利用二次函数的单调性即可得出．〔3〕利用弦长公式、点到直线的距离公式可得S△AOB【解答】〔1〕证明：设M〔x，y〕，那么+y2=1，于是===，∵﹣1≤y≤1，∴当时，．即．〔2〕解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．由消去y，得．∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即①将AB中点，代入直线方程解得②由①②得或．〔3〕解：令，即，那么，且O到直线AB的距离为，设△AOB的面积为S〔t〕，∴，当且仅当时，等号成立．故△AOB面积的最大值为．【点评】此题考察了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考察了推理能力与计算能力，属于难题．23．函数f〔x〕=logk x〔k为常数，k＞0且k≠1〕，且数列{f〔an〕}是首项为4，公差为2的等差数列．〔1〕求证：数列{an}是等比数列；〔2〕假设bn =an+f〔an〕，当时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；〔3〕假设cn =anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？假设存在，求出k的围；假设不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；对数函数的图像与性质．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】〔1〕运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得an=k2n+2，再由等比数列的定义即可得证；〔2〕求得a n ，f 〔a n 〕，再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值； 〔3〕由题意可得〔n+1〕lgk ＜〔n+2〕•k 2•lgk 对一切n ∈N *成立．讨论k ＞1，0＜k ＜1，运用数列的单调性即可得到所求k 的围．【解答】解：〔1〕证明：由题意可得f 〔a n 〕=4+2〔n ﹣1〕=2n+2，即log k a n =2n+2，∴，∴．∵常数k ＞0且k≠1，∴k 2为非零常数，∴数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列；〔2〕当时，，f 〔a n 〕=2n+2，所以，因为n≥1，所以，是递增数列， 因而最小值为S 1=1+3+﹣=． 〔3〕由〔1〕知，，要使c n ＜c n+1对一切n ∈N *成立， 即〔n+1〕lgk ＜〔n+2〕•k 2•lgk 对一切n ∈N *成立．当k ＞1时，lgk ＞0，n+1＜〔n+2〕k 2对一切n ∈N *恒成立；当0＜k ＜1时，lgk ＜0，n+1＞〔n+2〕k 2对一切n ∈N *恒成立，只需， ∵单调递增， ∴当n=1时，．∴，且0＜k＜1，∴．综上所述，存在实数满足条件．【点评】此题考察等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考察数列的单调性的判断和运用，以及数列不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
2016年上海市宝山区高考一模数学试卷【解析版】
第 2 页（共 18 页）
A．1
B．2
C．4
D．16
16．（5 分）P 是△ABC 所在平面内一点，若 ＝λ + ，其中 λ∈R，则 P 点一
定在（ ）
A．△Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 内部
B．AC 边所在直线上
C．AB 边所在直线上
D．BC 边所在直线上
17．（5 分）若 a，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）
第 1 页（共 18 页）
＞y2＞0．过 A1，A2 分别作 y 轴的垂线，交抛物线于 B1，B2 两点，直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3（0，y3），此时就称 A1，A2 确定了 A3．依此类推，可由 A2， A3 确定 A4，…．记 An（0，yn），n＝1，2，3，…． 给出下列三个结论：
2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每
①数列{yn}是递减数列； ②对∀n∈N*，yn＞0；
③若 y1＝4，y2＝3，则
．
其中，所有正确结论的序号是
．
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、 D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用 2B 铅笔将正确结论 的代号涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零 分．
是首项为 4，公差为 2 的等差数列．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若 bn＝an+f（an），当
时，求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值；
（3）若 cn＝anlgan，问是否存在实数 k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出 k 的范围；若不存在，说明理由．
2016年上海宝山区初三一模数学试卷答案
答案
−−→
． OC = b ⃗ + 2a ⃗
解 析 ∵C 为该二次函数图象上横坐标为2的点，
∴ ， 2 y = (2 − 1) = 1
∴C 点坐标为：(2, 1)，
∴BC //x轴，
−−→
−−→
∴ ， BC = 2OA = 2a⃗
−−→ −−→ −−→
∴ ． OC
= OB + BC
=
⃗ b
+
2a ⃗
/04
目录
一．选择题 二．填空题 三．解答题
16. 已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为
学生版
教师版
答案版
答 案 13
2018．/12/04
编辑
解析
如图所示，
， ∵OC ⊥AB
， 1
∴AC = BC = AB = 12 2
在 中， ， ， Rt△AOC
．
答 案 1:4
解 析 ∵两个相似三角形的相似比为1 : 4， ∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为1 : 4， 故答案为：1 : 4．
9. 如图，D、E分别是△ABC 的边AB、AC 上的点，则使△AED ∽ △ABC的条件是
．
编辑
答案
或 或 ∠AED = ∠B ∠ADE = ∠C
AD
AE
=
AC = 12 OC = 5
根据勾股定理得： ， AO = √− O−C −− 2− + −− A−C −− 2 = √− 5− 2− +−− 1− 2− 2 = 13
即此圆的半径长为13；
故答案为：13．
17. 如图，在等边△ABC 内有一点D，AD = ， 5 BD = ， 6 CD = 4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC 重合，点D旋转
(定稿)宝山区2016学年度第一学期期末高三数学质量监测试卷
宝山区2016学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1. 231n n limn →∞+=+． 2. 设全集U R =，集合{}10123A =-，，，，，{2}B x x =≥，则U A B = ð． 3. 不等式102x x +<+的解集为． 4. 椭圆54x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为．5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =．6. 若函数cosxsinx y sinx cosx=的最小正周期为a π，则实数a 的值为 ． 7. 若点(84)，在函数()1a f x log x =+图象上，则()f x 的反函数为．8. 设向量a →(12)=，，b →(03)=，，则b →在a →的方向上的投影为． 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为．10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女 生均有的概率为．（结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()ax x +的二项展开式中5x 的系数为144，则a = ．12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列．则2668型标准数列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）（A ）80 （B ）96（C ）108 （D ）11015. 设M N ，为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M N ，为互斥事件，且11()()54P M P N ==，，则9()20P M N = ； （2）若111()()()236P M P N P MN ===，，，则M N ，为相互独立事件； （3）若111()()()236P M P N P MN ===，，，则M N ，为相互独立事件； （4）若111()()()236P M P N P MN ===，，，则M N ，为相互独立事件； （5）若115()()()236P M P N P MN ===，，，则M N ，为相互独立事件． 其中正确命题的个数为 （）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k l ，均为常数，且k l <）之间 的点所组成区域（含直线y k =、直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”．设()f x 为二次函数，三点(2(2)2)f --+，、(0(0)2)f +，、(2(2)2)f +，均位于“04⊕型带状区域”，如果点(1)t t +，位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数()y f t =的最大值为（） （A ）72（B ）3（C ）52（D ）2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为，侧面积为36． （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小．18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分已知椭圆C 的长轴长为(20)-，．（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A B ，两点，且AB =求直线l 的倾斜角．19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足*1()n n n y y x n N +-=∈，且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值．20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．设函数()()f x lg x m =+（m R ∈）．（1）当2m =时，解不等式1()1f x >；（2）若(0)1f =，且方程()x f x λ=+在闭区间[]23，上有实数解，求实数λ的取值范围；（3）如果函数()f x 的图象过点(982)，，且不等式((2))2n f cos x lg <对任意n N ∈均成 立，求实数x 的取值集合．21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分． 设集合A B ，均为实数集R 的子集，记：{}A B a b a A b B +=+∈∈，． （1）已知{012}A =，，，{13}B =-，，试用列举法表示A B +； （2）设123a =，当n N *∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 {}12n A a a a = ，，，，122993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，，，A B +中的所有元素之和为n S ．对满足 3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m n k ，，，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ 的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”；若任意一个正整数均为整数集合2A 的某个不含零的非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“N *的基底集”．问：是否存在 一个整数集合既是自生集又是N *的基底集？请说明理由．。
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。
宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷
宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷（2016年12月）一、填空题（本大题共12题，满分54分，其中低1至第6题填对得4分，第7题至第12题填对得5分）1、23lim 1n n n →∞+=+ 。
2、设全集U R =，集合{}{}1,01,2,3,2A B x x =-=≥，则U A C B = 。
3、不等式102x x +<+ 的解集为 。
4、椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为 。
5、设复数z 满足23z z i +=-，（i 为虚数单位），则z = 。
6、若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为 。
7、若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为 。
8、已知向量()()1,2,0,3a b == ，则b 在a 方向上的投影为 。
9、已知一个地面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为 。
10、某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中，男、女生均有的概率为 。
11、设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a = 。
12、如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如：2，3，4，5，6为20型标准数列。
则2668型标准数列的个数为 。
二、选择题（共4题，满分20分）13、设a R ∈，则“1a =”是“()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、 充要条件D 、 既非充分也非必要条件14、某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人。
为了了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中高二学生人数为（ ）A 、80B 、96C 、 108D 、 11015、设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题： （1）若M 、N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==，则()920P M N = ； （2）若()()11,23P M P N ==，()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若()()11,23P M P N ==， ()56P MN =，则M 、N 为相互独立事件。
2016年上海各区数学一模18题汇编(含解析)(1)
2016年上海各区县一模数学第18题汇编（含分析）例2016年上海市崇明县中考一模第18题如图I.等边•二角形中,。
是8r边上的一点，E BD : DC= 1 :3.把AdBr折都使点d落在6C边上的点D处,那么_ 的佗为如图2,因为/A/Z>C=/B+/l=6(r +/1, NA/DC=/A/PN+/2=6(r +/2, 所以Nl = /2.又因为NE = NC=6(r ,所以△MBD S ADCN.由3 DM 413/向周长TB + BD所以 --- = -------------- = ----------ND △ZXW的周长JC+DC如图3,设等边三角形ABC的边长为4, "1BD ：。
「=1 ：3时,—=—AM ND 4 + 3 7图图例 2016年上海市奉贤区中考一模第18题如图1.已知平行四边形,45。
［）中，.48:2/,,3=6.8由='.将边绕点」旋*）转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上,其对应点为F （点£不与点S 瓯合），那么 sin ZC-fB r = .如图2.在Rtzk/HE 中,由T5=2，7, covB- 1 .可得2E=3 .正=4.在RlA/fCE 中,由.dE=4. CE=BC-BE=6-2-4.可得/C= 4应.乙4CE75 .①如图3,当点用在灰:,边上时,B 任=BE=2.在等腰直角—.用形中,B fC=2.所以8H=CH=J 三. 管1△ABH R'H= JI, AH=AC-CH = 372 .所以-虫?'=26.此时向“用=型=£=巫. AB' 2V5 10②如图4.当点？在HD 边上时，ZCJ5r=45 .此时sin/CH3=^. ?图12016年上海市虹口区中考一模第18题如图1,在矩形JBCD中，.48=6,初=10,点E是SC的中点,联结HE.若将&4的沿HE翻折，点8落在点广处，联结FC.贝iJco$NECF= __________ .B E图I如图2.由EB=EC=EF.可知N3尸C=90 .又因为.在戊直平分BF.所以NRO£=90° .所以如O/JE所以NECF=N8E4.在R【ZLd%？I。
2016宝山一模数学试卷解析各区一模在此集结
2016宝山一模数学试卷解析各区一模在此集结
点评：试卷不难，题目多一题（宝山区特色啊）
17题：七八年级的等边旋转题，旋转出4/5/6三边的三角形再求角度的三角比，挺好的
18题：应该是今年最简单的18题了（也有可能是之一）
25题：一二问比较有两点，上海常出抛物线平移，但是对称翻折倒是很少，三小问回归相似存在和等腰存在，老生常谈，四小问更是不知道在考什么，感觉有点傻傻的。
26题：第一问说明角ACB为直角时，上海教材并无圆周角和直径所对圆周角为90度的知识点，所以应该还要证明一下；二小问勾股定理秒杀掉吧，不难不难；三小问的对称落在弧上说明的时候有点困难，倒是不难求；四小问动图形扫过的面积很少见，不过把握住点的轨迹基本上是没有问题的，况且是直接写出，你们懂得！！
试卷得分预测：题量有点多，140算是不错的了
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2016上海市各区一模分类整理(第25题压轴题)
2016年初三一模知识点分类整理——压轴题压轴题1. （宝山）如图，点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB= 4，∠ABC=30°，D为边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点,（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判定。
,（2）设AD=x，EF=y，求y关于x的函数及其定义域；（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．2. （崇明） 如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF AE ⊥交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG AC ⊥，垂足为G ，BG 交AE 于H ； （1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE x =，EHy EM=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长；3. （奉贤）已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，垂足为点C ，联结DE ，使得∠EDC =∠A ，联结BE . （1）求证：AC BE BC AD ⋅=⋅；（2）设AD =x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； （3）当ABC BDE S S ∆=41△时，求tan ∠BCE 的值.第25题图AE第25题备用图A4. （虹口）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ，设AD EFx AB AF==； （1）当1x =时，求:AG AB 的值； （2）设GDHEBAS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当3DH HC =时，求x 的值；5. （黄浦）A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC ⊥BC ，∠ABC =60°，AB =4，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合 （1）如图12，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长； （2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N .① 如图13，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；② 若DON ∆的面积为323时，求AE 的长. B CD 'D O1l 2l A图12A BCD 'D O1l 2l MNE图136. （嘉定）已知：△ABC ，90ABC ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，点D 在边AC 上的延长线上， 且2DB DC DA =⋅（如图）； （1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ； ① 如图1，当3CE BC =时，求BFFG的值；② 如图2，当CE BC =时，求BCD BEG S S ∆∆的值；7. （闵行）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点G ，已知3AB BC ==，1tan 2BDC ∠=，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF DE ⊥，垂足 为点P ，交射线AC 于点M ，射线DC 于点H ； （1）当点F 是线段BH 中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE x =，CM y =，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值；MEM E8. （浦东）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点(与点A 、D不重合)，45,EBM BE ∠=︒交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点.M (1) 如图1，联结BD ，求证：DEBCGB ∆∆，并写出DECG的值； (2) 联结EG ，如图2，若设,,AE x EG y ==求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； (3) 当M 为边CD 的三等分点时，求EGF S ∆的面积。
09-16年上海宝山区数学一模考点汇编及试卷
2009-2010 年上海市宝ft 区中考数学一模试卷考点汇编及试卷；） 2009 年上海市宝ft 区中考数学一模试卷 2010 年上海市宝ft 区中考数学一模试卷选择题 题号 考察知识点 考察知识点1 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式 二次根式的混合运算；有理数的加法；完全平方公式2 二次根式的加减法不等式的性质 3 二次函数的图象 相似三角形的性质；命题与定理 4 相似三角形的判定 锐角三角函数的定义 5 锐角三角函数的定义；勾股定理 平面向量 6 比较线段的长短 二次函数的性质填空题 7 平面向量 平方根 8 分式的加减法 解一元一次不等式9 无理方程 解分式方程 10 点的坐标 点的坐标11 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数的性质 12 二次函数的性质 二次函数图象与几何变换 13 根据实际问题列二次函数关系式二次函数的性质 14 二次函数图象与几何变换 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 15 解直角三角形的应用 平面向量 16 作图—相似变换 相似三角形的判定与性质 17 一次函数综合题 锐角三角函数的定义；正方形的性质；直角梯形 梯形中位线定理 18 相似三角形的判定与性质；旋转的性质 旋转的性质；菱形的性质解答题 19 相似三角形的判定与性质 分式的化简求值；特殊角的三角函数值 20 平面向量 平面向量 21 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质 相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 22 三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股 定理；锐角三角函数的定义 反比例函数的应用 23 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解直角三角形的应用-方向角问题 24 相似三角形的判定；正方形的性质；解直角三角形 相似三角形的判定与性质；解直角三角形 25 二次函数的应用；二次函数综合题 26 相似三角形的判定；梯形；轴对称的性质； 平行线分线段成比例． 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变 换（折叠问题。
2016上海各区县数学一模填空选择难题解析
宝山12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 128 项. 解析：有理数按对角线排序，是等差数列求和（1+2+……+15）+814. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．解析：11(0,),(0,)n n n n A y A y ++，则22111(,),(,)n n n n n n B y y B y y +++ 直线1n n B B +为211()n n n n y x y y y y +=-+，可得到121n n n n n y y y y y +++=+，数学归纳法可证明①②，可验证③成立 崇明1. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,.若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为 .1或5解析：由题意，可知，当n a 取值某个奇数时，其后的所有奇数都相等 设21n a m =-，则123162,2n n km a m a +++=+=（存在自然数k ，使2n a +为奇数），可知31212km m +-=即31221k m m +=-，1m =时1n a =;1m >时，31321m m +<-，只能是31221m m +=-，此时3m =，5n a =2. 设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都有•()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f x x =（）是“似周期函数”；③函数2x f x =﹣（）是“似周期函数”； ④如果函数f x cos x ω=（）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”．其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）解析：①③④正确，①③容易判断，④易漏选cos()cos()x T T x ωωω+=，1T =±1,2;1,T k T k ωπωπ===-=（定义中是存在T 即可）3. 若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ D ）(A)1 (B)4 (C)5 (D)9解析：a b ，为正，所以4ab =，不妨设2a b -<<，等差数列22a b =-，解出1,4a b == 奉贤13、不等式()()21430x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题： 设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=___-1_______． 解析：一定存在0x ≤，使得2ax +为正，因此0b <。
【K12教育学习资料】高考数学一模试卷(含解析)
2016年上海市宝山区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为．2．已知：（i是虚数单位），则z= ．3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．4．数列所有项的和为．5．已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= ．6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．7．若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9．已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是．11．向量，满足，，与的夹角为60°，则= ．12．数列，则是该数列的第项．13．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是．14．如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n（0，y n），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N*，y n＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．1616．P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上17．若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直18．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．设a、b、c分别是△AB C三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．21．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．23．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n+f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n的最小值；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．2016年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为log23 ．【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），∴x=log23．故答案为：log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．2．已知：（i是虚数单位），则z= ﹣3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案．【解答】解：由，得：，∴z=﹣3﹣4i．故答案为：﹣3﹣4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【解答】解：以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切，是基础题．4．数列所有项的和为 2 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．【解答】解：数列前n项和：S n==2[1﹣（）n]，∴数列所有项的和为：S===2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= 8 ．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵乘法法则求解．【解答】解：∵矩阵A=，B=，AB=，∴AB===，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=8．故答案为：8．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法则的合理运用．6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2×[×]•=．故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于基础题．7．若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= 1 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=﹣x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．9．已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；二阶矩阵．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．【解答】解： ==．∵f（x）的最小正周期为2π，∴，得ω=1．将f（x）的图象向左平移t个单位，得f（x+t）=．∵函数f（x+t）为偶函数，∴，则t=．取k=0时，t的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是48 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．若奥迪车上没有小孩，则有=10种方法；若奥迪车上有一个小孩，则有=28种；若奥迪车上有两个小孩，则有=10种．综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为 48．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．向量，满足，，与的夹角为60°，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出，对两边平方，解出||．【解答】解： =||×=||．∵，∴（）2=．∴﹣2+=．∴1﹣||+||2=．解得||=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．12．数列，则是该数列的第128 项．【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，由此可知：分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；即可得出是分子、分母之和为17的第8项．【解答】解：观察数列，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，∴分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；其中是分子、分母之和为17的第8项；．故共有项．故答案为128．【点评】本题考查了通过观察所要解决的提问转化为利用等差数列的前n项和公式解决，属于中档题．13．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】恒过定点的直线；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】直线方程即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，求得定点P的坐标，设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为为=﹣3，再利用二次函数的性质求得它的范围．【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．14．如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n（0，y n），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N*，y n＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是①②③．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先确定直线B n﹣1B n﹣2的方程，求得，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n﹣1（），B n﹣2（），则直线B n﹣1B n﹣2的方程为令x=0，则，∴∴∴∵y1＞y2＞0，∴y n＞0，故②正确；，∴y n＜y n﹣1，故①正确；若y1=4，y2=3，则，y4=，，故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．16【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案．【解答】解：由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b的数值为16．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法．16．P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，则，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，故选B．【点评】本题主要考查向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．属于中档题．17．若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面平行于b；在B中，只有a、b 垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直；在C中，由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距；在D中：若存在平面α与直线a、b都垂直，则a∥b．【解答】解：由a，b是异面直线，知：在A中：a，b是两异面直线，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a 只能作出1个平面平行于b，故A正确；在B中：只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过直线a不可以作一个平面α与直线b垂直，故B正确；在C中：由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距，故C正确；在D中：若存在平面α与直线a、b都垂直，则直线与平面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．18．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒【考点】函数与方程的综合运用；函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准，可知所需花费=月租费+本地话费+长途话费，可求所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式；将乙方式所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式求出，将两个式子进行比较，可得出较为省钱的入网方式．【解答】解：每月接打本地电话的时间是接打长途电话的5倍，王先生每月拨打长途电话时间为x（分钟），他所需话费y（元），联通130他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为y=12+0.36×5x+3.6x（x＞0）；移动“神州行”他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为：y=0.6×5x+4.2x，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算，可得：12+0.36×5x+3.6x＜0.6×5x+4.2x，解得：x＞（分钟）=400秒．故选：B．【点评】本题主要是应用数学模型来解决实际问题，考查一次函数的应用．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD 为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，∴，解得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，，DA=5，∵QD⊥平面PAC，∴QD⊥AD，∴tan∠AQD=2，∴异面直线PB，AQ所成的角为arctan2．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．20．设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】（1）由，化简得 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．【解答】解：（1）由，得．…即，亦即 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），…所以．…（2）因，…而，所以，tan（A+B）有最小值，…当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．…【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．21．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】数列的应用．【专题】应用题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：（1）…当1≤n≤20且n∈N*，a n=10+（n﹣1）×（﹣0.5）=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，a n=0．∴a n=…而a4+b4=15.25＞15∴b n=，…（2）当n=4时，S n=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+b3+b4+b5+…+b n）=10n+++6.75（n﹣4）=﹣n2+17n﹣…由S n≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），则+y2=1，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．（2）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．与椭圆方程联立得．△＞0，再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出．（3）利用弦长公式、点到直线的距离公式可得S△AOB，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】（1）证明：设M（x，y），则+y2=1，于是===，∵﹣1≤y≤1，∴当时，．即．（2）解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．由消去y，得．∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即①将AB中点，代入直线方程解得②由①②得或．（3）解：令，即，则，且O到直线AB的距离为，设△AOB的面积为S（t），∴，当且仅当时，等号成立．故△AOB面积的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n+f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n的最小值；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；对数函数的图像与性质．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得a n=k2n+2，再由等比数列的定义即可得证；（2）求得a n，f（a n），再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值；（3）由题意可得（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．讨论k＞1，0＜k＜1，运用数列的单调性即可得到所求k的范围．【解答】解：（1）证明：由题意可得f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log k a n=2n+2，∴，∴．∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，∴数列{a n}是以k4为首项，k2为公比的等比数列；（2）当时，，f（a n）=2n+2，所以，因为n≥1，所以，是递增数列，因而最小值为S1=1+3+﹣=．（3）由（1）知，，要使c n＜c n+1对一切n∈N*成立，即（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k2对一切n∈N*恒成立；当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k2对一切n∈N*恒成立，只需，∵单调递增，∴当n=1时，．∴，且0＜k＜1，∴．综上所述，存在实数满足条件．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，以及数列不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
2016上海各区县数学一模填空选择难题解析分析
宝山12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 128 项. 解析：有理数按对角线排序，是等差数列求和（1+2+……+15）+814. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =.给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．解析：11(0,),(0,)n n n n A y A y ++，则22111(,),(,)n n n n n n B y y B y y +++ 直线1n n B B +为211()n n n n y x y y y y +=-+，可得到121n n n n n y y y y y +++=+，数学归纳法可证明①②，可验证③成立 崇明1. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,.若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为 .1或5解析：由题意，可知，当n a 取值某个奇数时，其后的所有奇数都相等 设21n a m =-，则123162,2n n km a m a +++=+=（存在自然数k ，使2n a +为奇数），可知31212km m +-=即31221k m m +=-，1m =时1n a =;1m >时，31321m m +<-，只能是31221m m +=-，此时3m =，5n a =2. 设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都有•()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f x x =（）是“似周期函数”； ③函数2x f x =﹣（）是“似周期函数”；④如果函数f x cos x ω=（）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”．其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）解析：①③④正确，①③容易判断，④易漏选cos()cos()x T T x ωωω+=，1T =±1,2;1,T k T k ωπωπ===-=（定义中是存在T 即可）3. 若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ D ）(A)1 (B)4 (C)5 (D)9解析：a b ，为正，所以4ab =，不妨设2a b -<<，等差数列22a b =-，解出1,4a b == 奉贤13、不等式()()21430x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题： 设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=___-1_______． 解析：一定存在0x ≤，使得2ax +为正，因此0b <。
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2015-2016学年第一学期期末考试九年级数学试卷（宝山）
一. 选择题
1. 如图，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，1
tan 2
A =，下列判断正确的是（ ） A. 30A ∠=︒； B. 1
2
AC =
； C. 2AB =； D. 2AC =；
2. 抛物线2
45y x =-+的开口方向（ ）
A. 向上；
B. 向下；
C. 向左；
D. 向右；
3. 如图，D 、E 在△ABC 的边上，如果ED ∥BC ，:1:2AE BE =，6BC =，那么DE 的模为
（ ）
A. -2；
B. -3；
C. 2；
D. 3；
4. 已知○O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为(3,4)-，则点M 与○O 的位
置关系为（ ）
A. M 在○O 上；
B. M 在○O 内；
C. M 在○O 外；
D. M 在○O 右上方；
5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，26A ∠=︒，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、
AC 于点D 、点E ，则弧BD 的度数为（ ）
A. 26°；
B. 64°；
C. 52°；
D. 128°；
6. 已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 0ac >； B. 当1x >-时，0y <； C. 2b a =； D. 930a b c ++=； 二. 填空题 7. 已知
32a b =，那么a b b
-= ； 8. 两个相似比为1:4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ；
9. 如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，当 时（填一个条件），△DEA 与
△ABC 相似；
10. 如图△ABC 中，90C ∠=︒，若CD AB ⊥于D ，且4BD =，9AD =，则CD = ；
11. 计算：2(34)5a b a +-= ； 12. 如图，菱形ABCD 的边长为10，3
sin 5
BAC ∠=
，则对角线AC 的长为 ； 13. 抛物线2
2(3)4y x =--+的顶点坐标是 ；
14. 若(1,2)A ，(3,2)B ，(0,5)C ，(,5)D m 是抛物线2
y ax bx c =++图像上的四点，则
m = ；
15. 已知1(4,)A y 、2(4,)B y -是抛物线2
(3)2y x =+-的图像上两点，则1y 2y ；
16. 已知○O 中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 ；
17. 如图，在等边△ABC 内有一点D ，5AD =，6BD =，4CD =，将△ABD 绕A 点逆时针旋
转，
使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则CDE ∠的正弦值为 ；
18. 如图，抛物线2
23y x x =--交x 轴于(1,0)A -、(3,0)B ，交y 轴于(0,3)C -，M 是抛物线
的顶点，
现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为 （面积单位）；
三. 解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）
19. 计算：2tan 45cos 303tan 302sin 45cot 30︒︒
-︒-︒︒
；
20. 已知某二次函数的对称轴平行于y 轴，图像顶点为(1,0)A ，且与y 轴交于点(0,1)B ； （1）求该二次函数的解析式；
（2）设C 为该二次函数图像上横坐标为2的点，记OA a =，OB b =，试用a 、b 表示OC ；
21. 如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC 的坡度为1:2，AC 的长度为
AB 为底楼地面，CD 为二楼侧面，EF 为二楼楼顶，当然有EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC
的最
高端C 的正上方，过C 的直线EG AB ⊥于G ，在自动扶梯的底端A 测得E 的仰角为42°，求该
商场 二楼的楼高CE ；
（参考数据：2
sin 423
︒=，cos 423︒=tan 425︒=）
22. 如图，以AB 为直径的○O 与弦CD 相交于点E ，若AC =3AE =，CE =
求弧BD 的长度；（保留π）
23. 如图，D 为△ABC 边AB 上一点，且CD 分△ABC 为两个相似比为（不妨
如图假设左小右大），
求：（1）△BCD 与△ACD 的面积比；（2）△ABC 的各内角度数；
24. 如图，△ABC 中，6AB AC ==，F 为BC 的中点，D 为CA 延长线上一点，DFE B ∠=∠；
（1）求证：
CD BF
DF EF
=； （2）若EF ∥CD ，求DE 的长度；
25.（1）已知二次函数(1)(3)y x x =--的图像如图，请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样
的
左右平移，新图像通过坐标原点？
（2）在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线2
y ax bx c =-+（0a ≠）和抛物线
2y ax bx c =++（0a ≠）关于y 轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a 、c 不变，b
相反”
供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a 、c 相反，b 不变”，并按此法误写，然而
按此误写
的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物线(1)(3)y x x =--的对称图
形的解
析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；
（3）抛物线(1)(3)y x x =--与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，M 是其对称轴
上一点，
点N 在x 轴上，当点N 满足怎样的条件，以点N 、B 、C 为顶点的三角形与△MAB 有可能相似，
请写
出所有满足条件的点N 的坐标；
（4）E 、F 为抛物线(1)(3)y x x =--上两点，且E 、F 关于3(,0)2
D 对称，请直接写出
E 、
F 两点的 坐标；
26. 如图点C 在以AB 为直径的半圆的圆周上，若=4=30AB ABC ∠︒，， D 为边AB 上一动点，点E 和D 关于AC 对称 ，当D 与A 重合时，F 为EC 的延长线上满足CF EC =的点，当D 与A 不重合时，F 为EC 的延长线与过D 且垂直于DE 的直线的交点，
（1）当D 与A 不重合时，CF EC =的结论是否成立？试证明你的判断． （2）设=,,AD x EF y = 求y 关于x 的函数及其定义域；
（3）如存在E 或F 恰好落在弧AC 或弧BC 上时，求出此时AD 的值；如不存在，则请说明理由． （4）请直接写出当D 从A 运动到B 时，线段EF 扫过的面积．
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、A
5、C
6、D。