第五章 债券价格波动性的衡量
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可见，D*是价格-收益曲线的斜率，凸度 等于D*对y的导数 D *。
y
求出 收益率为y的债券的凸度计算公式如下：
D * y ，可得付息周期数为n，周期
1 凸度 P(1 y)2
t (t 1)Ct (1 y)t t 1
n
其中， Ct为t时刻的现金支付。 利用下面的公式可把分期限计算的凸度 转化为按年计算的凸度： 凸度(分期限算) 凸度(按年算) m2 其中m为每年的付息次数。 对于零息票债券，有
n(n 1) 零息票债券凸度 (1 y )2
５.3.3
考虑凸度的利率敏感性
考虑凸度后，式（５-3’）可以修正为：
P 1 D * y 凸度 (y ) 2 （５-4） P 2
由式（５-4）可知，对于有一正的凸度 的债券（不含期权的债券都有正的凸度）， 无论收益率是上升还是下降，第二项总是正 的。这就解释了久期近似值为什么在收益率 下降时低估债券价格的增长程度，而在收益 率上升时高估债券价格的下跌程度。
表５-２ 两种债券的久期计算
名称 债券A 8％债券 (1) (2) (3) 至支付的 支付/美元 半年5%折现 时间/年 支付/美元 0.5 1.0 1.5 2.0 40 40 40 1040 38.095 36.281 34.553 855.611 964.540 0 822.70 822.70 (4) 权重 (5) (1)×(4)
10.00 61.39 23.14 5.35 92.28
84.63 81.07 100.00 100.00 100.00
9.00 64.39 26.70 7.13 96.04
91.86 89.68 103.96 108.14 110.32
8.00 67.56 30.83 9.51 100.00
100.00 100.00 108.11 117.29 122.62
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。 久期法则8：由于息票债券以面值出售， 法则7可简化为
1 y 1 [1 ] T y (1 y )
５.3 债券的凸度
５.3.1
久期的局限性
根据式（５-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。 例如，图５-3中的债券A为30年期、8％ 息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知 其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上 升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001 ＝0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修 正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据价格计算公式可以计算出此时的价格 为998.875元。
第５章 债券价格波动性的衡量
５.1 债券价格的利率敏感性 ５.2 基点价格值和价格变化收益值 ５.3 债券的久期和凸度
５.１ 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
５.１.１
债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明： 1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时， 债券价格上升。 2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
Ct P (1 y)t t 1
T
（５-1）
债券久期为
Ct T (1 y )t D t[ ] P t 1
（５-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表５-２给出了这两种债券久期的计算。结 果表明，零息票债券的久期就等于它的到期 期限，而息票债券的久期比它的到期期限短。 思考：结合上例，如何来理解久期与到期期 限的区别？
然而，从图５-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是 线性的，这使得对于债券收益的较大变化， 利用久期对利率敏感性的测度将产生明显 的误差。图５-3表明了这一点。债券A和债 券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲 线在这一点相切，同时也与久期法则预期 的价格变化百分比的直线相切于该点。这 说明，对于债券收益的微小变化，久期可 以给出利率敏感性的精确测度。但随着收 益变化程度的增加，对应于债券A和债券B 的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔” 不断扩大，表明久期法则越来越不准确。
从图５-3还可以看到，久期近似值总是 在债券实际价格的下方。也就是说，当收益 率下降时，它低估债券价格的增长程度，当 收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。 债券A和债券B在初始处有相同的久期， 但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相 同。对于较大的收益变化，债券A比债券B 有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是 因为债券A比债券B具有更大的凸度。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。 久期法则5：无限期债券的久期为
1 y 。 y
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y T y (1 y )T 1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y 1 y T (c y ) y c[(1 y )T 1] y
５.3.2
债券凸度的计算
价格-收益曲线的曲率就称为债券的凸度 （convexity）。凸度意味着债券的价格-收益 曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益 率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较 低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。 因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率 的变化率。由式（５-3’）可以得 1 dP D* P dy
基点价格值是指收益率变化一个基点，也就是 0.01个百分点时，债券价格的变动值。 基点价格值与价格变动百分比的不同：前者是绝 对值，后者是相对值。 价格变动百分比＝基点价格值／初始价格 对比收益率变动１、１０、１００个基点时，债 券价格的变动情况。
５.２.２ 价格变化的收益值
价格变化的收益值是度量债券价格波 动性的另一种工具，它是债券价格变动一 定数量时，对应的收益率变动值。 价格变化的收益值越小，意味着价格 变动一定数量时，收益率的变动越小；反 过来，收益率变动一个基点时，价格的变 动越大，即基点价格值越大。
５.１.２影响利率敏感性的因素
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、 息票利率和到期收益率。从表５-１中的数 据可以看出这三个因素是如何影响利率敏 感性的。同时，第1条和第2条法则也能够 由表中的数据得到体现。
表4-1 9种债券的价格
息票利率 到期期限 （％） （年） 到期收益率（％）
５.３ 债券的久期 ５.３.１ 久期的含义
久期也称为麦考利期限，或有效期限， 它是债券的每次息票利息或本金支付时间的 加权平均，权重则是每一时点的现金流的现 值在总现值（即债券价格）中所占的比例。 一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。 4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。 5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。 6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。 图５-１中四种债券的收益-价格关系曲线 可以说明上述6条法则。
7.00 70.89 35.63 12.69 104.16
109.20 112.47 112.47 127.57 137.42
0.00 0.00 0.00 8.00
8.00 8.00 10.00 10.00 10.00
5 15 30 5
15 30 5 15 30
５.２基点价格值和价格变化的收益值 常用的价格波动性的衡量方法有：基点价格值， 价格变化的收益值，久期和凸性。 ５.２.１基点价格值
T tCt dP 1 PD t 1 d (1 y ) 1 y t 1 (1 y )
对于P和1+y的微小变化，有
P (1 y) D （５-3） P 1 y 这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（５-3） 可以写为
总计
0.0395 0.0376 0.0358 0.8871 1.0000 0 1.0 1.0
0.0198 0.0376 0.0537 1.7742 1.8853 0 2 2
债券B 零息票债券 0.5～1.5 2.0 总计
0 1000
５.2.2
利用久期测度利率敏感性
将式（５-1）看作P与1+y之间的wenku.baidu.com数， 可以有
P D * y P
（５-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
５.2.3
什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限、 息票利率和到期收益率。以下的8个法则归 纳了久期与这三个因素之间的关系。图５-2 表明了这些法则。 久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。 久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。 久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
y
求出 收益率为y的债券的凸度计算公式如下：
D * y ，可得付息周期数为n，周期
1 凸度 P(1 y)2
t (t 1)Ct (1 y)t t 1
n
其中， Ct为t时刻的现金支付。 利用下面的公式可把分期限计算的凸度 转化为按年计算的凸度： 凸度(分期限算) 凸度(按年算) m2 其中m为每年的付息次数。 对于零息票债券，有
n(n 1) 零息票债券凸度 (1 y )2
５.3.3
考虑凸度的利率敏感性
考虑凸度后，式（５-3’）可以修正为：
P 1 D * y 凸度 (y ) 2 （５-4） P 2
由式（５-4）可知，对于有一正的凸度 的债券（不含期权的债券都有正的凸度）， 无论收益率是上升还是下降，第二项总是正 的。这就解释了久期近似值为什么在收益率 下降时低估债券价格的增长程度，而在收益 率上升时高估债券价格的下跌程度。
表５-２ 两种债券的久期计算
名称 债券A 8％债券 (1) (2) (3) 至支付的 支付/美元 半年5%折现 时间/年 支付/美元 0.5 1.0 1.5 2.0 40 40 40 1040 38.095 36.281 34.553 855.611 964.540 0 822.70 822.70 (4) 权重 (5) (1)×(4)
10.00 61.39 23.14 5.35 92.28
84.63 81.07 100.00 100.00 100.00
9.00 64.39 26.70 7.13 96.04
91.86 89.68 103.96 108.14 110.32
8.00 67.56 30.83 9.51 100.00
100.00 100.00 108.11 117.29 122.62
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。 久期法则8：由于息票债券以面值出售， 法则7可简化为
1 y 1 [1 ] T y (1 y )
５.3 债券的凸度
５.3.1
久期的局限性
根据式（５-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。 例如，图５-3中的债券A为30年期、8％ 息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知 其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上 升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001 ＝0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修 正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据价格计算公式可以计算出此时的价格 为998.875元。
第５章 债券价格波动性的衡量
５.1 债券价格的利率敏感性 ５.2 基点价格值和价格变化收益值 ５.3 债券的久期和凸度
５.１ 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
５.１.１
债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明： 1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时， 债券价格上升。 2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
Ct P (1 y)t t 1
T
（５-1）
债券久期为
Ct T (1 y )t D t[ ] P t 1
（５-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表５-２给出了这两种债券久期的计算。结 果表明，零息票债券的久期就等于它的到期 期限，而息票债券的久期比它的到期期限短。 思考：结合上例，如何来理解久期与到期期 限的区别？
然而，从图５-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是 线性的，这使得对于债券收益的较大变化， 利用久期对利率敏感性的测度将产生明显 的误差。图５-3表明了这一点。债券A和债 券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲 线在这一点相切，同时也与久期法则预期 的价格变化百分比的直线相切于该点。这 说明，对于债券收益的微小变化，久期可 以给出利率敏感性的精确测度。但随着收 益变化程度的增加，对应于债券A和债券B 的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔” 不断扩大，表明久期法则越来越不准确。
从图５-3还可以看到，久期近似值总是 在债券实际价格的下方。也就是说，当收益 率下降时，它低估债券价格的增长程度，当 收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。 债券A和债券B在初始处有相同的久期， 但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相 同。对于较大的收益变化，债券A比债券B 有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是 因为债券A比债券B具有更大的凸度。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。 久期法则5：无限期债券的久期为
1 y 。 y
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y T y (1 y )T 1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y 1 y T (c y ) y c[(1 y )T 1] y
５.3.2
债券凸度的计算
价格-收益曲线的曲率就称为债券的凸度 （convexity）。凸度意味着债券的价格-收益 曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益 率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较 低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。 因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率 的变化率。由式（５-3’）可以得 1 dP D* P dy
基点价格值是指收益率变化一个基点，也就是 0.01个百分点时，债券价格的变动值。 基点价格值与价格变动百分比的不同：前者是绝 对值，后者是相对值。 价格变动百分比＝基点价格值／初始价格 对比收益率变动１、１０、１００个基点时，债 券价格的变动情况。
５.２.２ 价格变化的收益值
价格变化的收益值是度量债券价格波 动性的另一种工具，它是债券价格变动一 定数量时，对应的收益率变动值。 价格变化的收益值越小，意味着价格 变动一定数量时，收益率的变动越小；反 过来，收益率变动一个基点时，价格的变 动越大，即基点价格值越大。
５.１.２影响利率敏感性的因素
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、 息票利率和到期收益率。从表５-１中的数 据可以看出这三个因素是如何影响利率敏 感性的。同时，第1条和第2条法则也能够 由表中的数据得到体现。
表4-1 9种债券的价格
息票利率 到期期限 （％） （年） 到期收益率（％）
５.３ 债券的久期 ５.３.１ 久期的含义
久期也称为麦考利期限，或有效期限， 它是债券的每次息票利息或本金支付时间的 加权平均，权重则是每一时点的现金流的现 值在总现值（即债券价格）中所占的比例。 一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。 4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。 5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。 6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。 图５-１中四种债券的收益-价格关系曲线 可以说明上述6条法则。
7.00 70.89 35.63 12.69 104.16
109.20 112.47 112.47 127.57 137.42
0.00 0.00 0.00 8.00
8.00 8.00 10.00 10.00 10.00
5 15 30 5
15 30 5 15 30
５.２基点价格值和价格变化的收益值 常用的价格波动性的衡量方法有：基点价格值， 价格变化的收益值，久期和凸性。 ５.２.１基点价格值
T tCt dP 1 PD t 1 d (1 y ) 1 y t 1 (1 y )
对于P和1+y的微小变化，有
P (1 y) D （５-3） P 1 y 这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（５-3） 可以写为
总计
0.0395 0.0376 0.0358 0.8871 1.0000 0 1.0 1.0
0.0198 0.0376 0.0537 1.7742 1.8853 0 2 2
债券B 零息票债券 0.5～1.5 2.0 总计
0 1000
５.2.2
利用久期测度利率敏感性
将式（５-1）看作P与1+y之间的wenku.baidu.com数， 可以有
P D * y P
（５-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
５.2.3
什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限、 息票利率和到期收益率。以下的8个法则归 纳了久期与这三个因素之间的关系。图５-2 表明了这些法则。 久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。 久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。 久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。