2.1.4函数的奇偶性

2.1.4函数的奇偶性
基础练习
1.已知函数
()0)f x x =≠，则这个函数（ ）
A . 是奇函数
B . 既是奇函数又是偶函数
C .是偶函数
D .既不是奇函数又不是偶函数
2.奇函数y =f (x )(x ∈R )的图象必经过（ ）
A . (a ，f (－a ))
B . (－a ，f (a ))
C . (－a ,－f (a ))
D . 1(,())a f a 3.下面四个结论，其中正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ).
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，x ≥0时，f (x )=x 2―2x ，则在R 上f (x )的表达式是（ ）
A . y =x (x －2)
B . y =x (|x |－2)
C . y =|x |(x －2)
D . y =|x |(|x |－2) 5.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )=ax 3+bx 2+cx 是（ ）
A . 奇函数
B .偶函数
C .既奇又偶函数
D .非奇非偶函数 6.下列函数为偶函数的是（ ）
A .f (x )=|x |+x
B . f (x )=21x x +
C . f (x )=x 2+x
D . f (x )=2||x x
7.已知函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 为偶函数，其定义域为[a ―1,2a ]，则a =______，b =______ 8.判断下列函数的奇偶性
(1) f (x )=x 3+x 5;
(2) 222()1x x f x x +=+ (3)()f x =
(4)()|2|2f x x =+- (5) f (x )=|x +b |－|x －b | (6) f (x )=x 2－|x |+1,x ∈[－1,4]
9.已知函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数且f (x )+g (x )=x 2－x +2，求f (x ),g (x )的解析式。

10.已知函数f (x )=2223(0)23(0)
x x x x x x ⎧++<⎪⎨-+->⎪⎩，判断f (x )的奇偶性
11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x 2+3x －1，求f (x )的解析式。

提高练习
1.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x
的取值范围是（
） A .（－∞，2） B .（2，+∞） C . (－∞,－2)∪(2,+∞）D .（－2，2）
2.设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数。

若x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，则（ ）
A . f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>0
B . f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)<0
C . f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)=0
D . f (x 1)+f (x 2)>f (x 3)
3.如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在[－7,－3]上是（ ）
A .增函数且最小值为－5
B . 增函数且最大值为－5
C .减函数且最小值为－5
D . 减函数且最大值为－5
4.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞）上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13
)的x 的取值范围（ ） A . (13,23) B . [13,23) C . (12,23) D . [12,23
) 5.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1、x 2∈[0,+∞）(x 1≠x 2)，有2121
()()0f x f x x x -<-，则( ) A .f (3)<f (－2)<f (1) B . f (1)<f (－2)<f (3) C . f (－2)<f (1)<f (3) D . f (3)<f (1)<f (－2)
6.已知y =f (x )和y =g (x )都是定义在[－π,π]上的函数，y =f (x )是偶函数，y =g (x )是奇函数，x ∈[0,π]上的图象如图所示，求不等式()0()
f x
g x <的解集为____________ 7.定义在(－1,1)上的奇函数2()1
x m f x x nx +=
++，则常数m 、n 的值分别为
___________
8.若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0,+∞)上是减函数，则f(－3
4
)与f(a2－a+1)的大小关系
是___________
9.（1）函数f(x)，x∈R，若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。

（2）函数f(x)，x∈R，若对任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1－x2)=2f(x1)·f(x2).求证：f(x)为偶函数。

（3）设函数f(x)定义在(－l，l)上。

证明f(x)+f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数。

10.若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，f(－3)=m，求f(12)
11.已知f(x)定义在R上，对任意x,y∈R，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
(1)求证：f(0)=1; (2)求证：y=f(x)为偶函数。

12.函数2()1ax b f x x +=
+是定义在（－1，1）上的奇函数，且f (12)=25
. （1）确定函数f (x )的解析式；
（2）用定义证明f (x )在（－1，1）上是增函数；
（3）解不等式f (t －1)+f (t )<0
13.已知y =f (x )是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且f (x )<0，试问1()()
F x f x =在(－∞,0)上是增函数还是减函数？证明你的结论。

14.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).如果x ∈R +，
f (x )<0，并且f (1)=12
-,试求f (x )在区间[－2,6]上的最值。